III. — Groupes cycliques généralisés

Soit E un groupe cyclique généralisé, c’est-à-dire vérifiant (1), (2), (3) et la condition : Tout sous-groupe de E qui a un nombre fini de générateurs est cyclique (= monogène).

Il se peut que E soit un groupe de torsion. S'il n’en est pas ainsi il existe 4€ E d’annulateur zéro; nous allons montrer que dans ce cas E est nécessairement sans torsion. Soit e€E; on a (u,,e)—(#) et (u)E(w) entraîne N(w)— 0. Comme + — aw avec a€R et que R n’a pas de diviseurs de zéro l’annulateur de 6 est aussi zéro. Nous avons donc démontré le résultat suivant :

Taéorème 34. — Sr E est un groupe cyclique généralisé, E est un groupe de torsion, ou un groupe sans lorsion.

(TROUPES CYCLIQUES GÉNÉRALISÉS DE TORSION. — SOIL ES +E, la Plesr

décomposition de E en somme directe de groupes primaires. E, sera

aussi un groupe cyclique généralisé, donc nécessairement du type p”

ou du type p” d’après l’étude faite au paragraphe 3. Inversement il est

facile de vérifier qu’une somme directe de groupes E, du type p” ou p°

(un seul groupe parélément premier) est un groupe cyclique généralisé.

Ceci permet de caractériser très simplement un groupe cyclique généralisé au moyen d’une fonction v(p) définie sur IT et à valeurs dans ensemble 6,7, .."00.Poureelfon pose y(p)=n tb resrdu type p" et v(p)— «. Il y a correspondance biunivoque entre les foncuons y(p)et les groupes cycliques généralisés de torsion.

Étudions maintenant le treillis £ des sous-groupes d’un groupe cyclique généralisé. Dans ce but commençons par considérer un groupe abélien quelconque de torsion E. £ est isomorphe au produit direct des treillis ©, des sous-groupes des composantes primaires E,.. Pour que ©, soit distribuuf il est en particulier nécessaire que P—IueE,|pu—o} soit un espace vectoriel de dimension r sur le corps R/(p). On vérifie sans peine que dim P —1 si et seulementsiE,

est du type p" ou du type p”. Dans ces deux derniers cas £, est un

Tire

ensemble totalement ordonné, donc est distributif. Pour un groupe de torsion il y a ainsi équivalence entre les propriétés :

(1) E est un groupe cyclique généralisé ;

(2) Le treillis £ est distributif.

Etudions l'anneau des endomorphismes d’un groupe cyclique généralisé. 0€ R’ conserve les composantes primaires E, et aussi tous les

sous-groupes de E, car ces derniers sont de la forme p(o)n Es ilen résulte que R'—R.

Inversement R'— R entraine (pour un groupe avec torsion) que E est un groupe cyclique généralisé. En effet si E, n’est pas du type p” ou p° c’est un groupe décomposable en E,—= KF-+ FF", considérons la projection sur F qui est un endomorphisme VER’. Soitu£<o, eFet telquepu—o;u'<o, eF'ettel quepu'—0. Onal(u+u)—Ou—=u et, comme (u—+u)Nn(u)=o, on a D(u+u)&(u+u!). Cela entraîne RER;

Résumons les résultats qui précèdent :

THéorèue 35. — Pour un groupe abélien de torsion les propriétés sutvantes sont équivalentes :

a. E est un groupe cyclique généralisé;

b. Les composantes primaires de E sont du type p" ou p° (ou encore sont indécomposables );

c. Le treillis des sous-groupes de E est distribuuf :

GATE dre

Tuéorème 35'. — Pour un opérateur linéaire de torsion les propriétés suivantes sont équivalentes :

a. À est non dérogatotre;

b. Les composantes primaires de À sont du type p' ou p” (ou encore sont indécomposables);

c. Le treillis des sous-espaces stables pour À est distributi f ;