TAC) = TL

GROUPES CYCLIQUES GÉNÉRALISÉS SANS TORSION. — Dans tout ce qui suit E désigne un groupe généralisé sans torsion. Le quotient de E par un

nine

sous-groupe est encore un groupe cyclique généralisé. En parliculier faisons le quotient E/(u). Soit e&E; on a (u, v) —(#), d’où u — aw, 6 — bw, d’où aæe(u) ce qui montre que l’annulateur de e(— classe de s)est;<o. Ej(u) est donc un groupe cyclique généralisé avec torsion, ce qui va nous permettre de ramener dans une certaine mesure le cas sans torsion au Cas avec Lorsion.

Le groupe E/(4) est caractérisé à une isomorphie près par une fonction v(p) définie plus haut; nous noterons cette fonction v(4, p). Comparons les fonctions v(4, pet v(e, p). Nous supposerons (4) 3 (+), le cas général se ramenant à ce cas en introduisant la fonction inter-

médiaire y(#, p), où (æ)—={(u)n(e). On a OU =D mal eu, lies pre ID

Posons EX(u)=D +F, et soit weF,, d’annulateur (p*); cela pell L À

entraine que p*w E(u), soit p*æ — bu; on doit avoir (p, b)—(1) car

dans le cas contraire p*!# € (u); il existe À, Le R tels que Ap*+ub=—1,

d’où p* (uw + Àu)= u, ee qui montre que l’on pouvait supposer

p*# = u. On en déduit aussitôt :

(9,2) = v(u;n) si D Pier.

V(6, Di) = VU, pi) Fa; CET ES

On en déduit que si & et v sont quelconques on a la condition

(L) D vu, p)—v(v,p}|<o pEll (on convient que & — æ—0o).

La condition (Fyest une relation d'équivalence dans l’ensemble des fonctions y(p); nous désignerons par y la classe de v. Si w parcourt E, y(u, p) parcourt une classe v ce qui permet de faire correspondre à tout groupe E une classe ». Nous allons montrer qu'inversement toute classe y est associée à un groupe E défini de façon unique à une isomorphie près. Pour cela nous allons utiliser une construction généralsant la notion de somme directe de groupes.

Soit Ki, :EI une famille de groupes abéliens ayant un même anneau R d'opérateurs ; on suppose de plus que F; contient un groupe Cr;

tive

isomorphe à un groupe donné H, et l’on identifie G; à H au moyen d’un isomorphisme bien déterminé.

Posons K > +F;, G De + G:;; si u E(u;) est un élément de G

la correspondance DE u; est un homomorphisme de G sur H ;

nous poserons ie V'u=ol. Nous allons étudier le

groupe quotient E = F/G:.

E contient quel que soit : un sous-groupe isomorphe à F;, à savoir l’image canonique F; de 'F; (F; Firrésuhentdercetque FA G'=G;nG'—0).Ona FnF,= G;= Gi, j El), ce qui montre que l'intersection des groupes F; est un groupe isomorphe à H, etque

nous identifierons à H; de plus E/H © > + FE.

Le groupe E que nous venons de construire généralise bien la

notion de somme directe que l’on retrouve en prenant H= {0}.

Reprenons une classe v dont y est un représentant et à tout pEl associons le groupe E, défini comme suit : E, contient un sous-groupe

ñn

(u,) d'annulatenr-o;s2y(p)=r estfim, EE, (4 hetu = pra" si

VipY=ior Et LU Bron lonpose Pt) pu ue n

On peut identifier les sous-groupes (4,) en posant u,— u, où u est un générateur d’un groupe K (UN) EAN. | Définissons à partir des E, un groupe E comme plus haut. Il est facile de vérifier que E est un groupe cyclique généralisé sans torsion auquel est associée la classe v. u et les #, [pelT, i—71, ..., v(p) forment ce que nous appellerons un système de générateurs canoniques de E. I nous reste à montrer l’'unicité de E. Soit E/telquev(u!,p)—=%(p); en se reportant à l’étude des fontions v(u, p) faite plus haut on voit quilexistenpouratoutip [tx 5, n(p)]latelssquerpr ut, pau’, Onvérile que ulet les uw} forment un système de généra-

teurs de E’ ce qui permet d'établir un isomorphisme entre E et E’. Tout est démontré.

Nous allons maintenant étudier le treillis des sous-groupes d’un

groupe cyclique généralisé. Nous démontrerons le théorème suivant

dû à O. Ore[15]().

Tuéorème 36. — Soit E un groupe abélien vérifiant (1), (2), (3), les propriétés suivantes sont équivalentes :

a. E est un groupe cyclique généralisé;

b. le treillis des sous-groupes de E est distributif.

«non a » -> «non b ». — Soit w, v tels que l’on n'ait pas(u,v)=(#). Comme nous avons déjà démontré le théorème pour un groupe de torsion on peut supposer que l’annulateur de # par exemple est nul. (u, #) étant somme directe de groupes monogènes nous pouvons encore supposer que (4)N(e)—o. Nous avons alors

((u)n(v), (u+v))=(u+r), (Cu), (u+v))n((), (u+r))=(u, v),

ce qui montre que la condition de distributivité pour £ n’est pas toujours remplie.

a b. — Il nous reste à faire la démonstration pour E sans torsion. Soit F, G, HE £. On a FRAGNH Zo et il suffit de vérifier la condiüuon de distributivité modulo FNAGNH. Cette condition est vérifiée car EFNGAH est un groupe cyclique généralisé de torsion.

Etudions maintenant l’anneau des endomorphismes d’un groupe cyclique généralisé sans torsion E. Soit v la classe de fonctions

associées à E et ve ».

Tuéorime 37. — Une condition nécessaire et suffisante pour que la multiplication par p e W soit un endomorphismeinversible est que (p)}—« . On a en outre

REP ND (D) Eco

Si p est un endomorphisme inversible, p"u existe pour tout 4€E, donc y(p)—«. Inversement si y(p)—%, on a y(u, p)—= pour tout

(*) O. Ore considère des groupes quelconques, mais sans opérateurs.

uE&Ë, c’est-à-dire qu'il existe € E (nécessairement unique) tel que ps = u : p est imversible.

Pour la deuxième partie du théorème nous utiliserons le lemme : Soit 0, 5e R'; s’il existe u€&E tel que Ou = su, on a 0 — 6. Soit en effet EE ; on a be — au, d'où 0be — obv, d'où 0 — 6.

Soit 0ER'; de p0 —Üp(pell) résulte y(u, p)ZY(0u, p). On en déduit

DU pe NS pee, où aek, (PO EE SSN PRES

Pour A le théorème 37 signifie que tout commutant de A est une fraction rationnelle en A.