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qui est l’occasion de rectifier une erreur d’un Mémoire de C. Jordan[9]. A la fin du chapitre on précise les relations entre l'étude des anneaux commutatifs et celle des systèmes hypercomplexes. On en tire quelques applications : Énoncé d’un critère de maximalité qui, en particulier, permet toujours de conclure lorsque l’espace a moins de six dimensions; formation d’un exemple général d’anneau commutatif tel quant).

Dans le chapitre IV on passe à l’étude d’un opérateur linéaire sur un espace vectoriel quelconque. On utilise presque exelusivement le langage des groupes abéliens à opérateurs. Deux cas sont surtout envisagés, qui correspondent à un groupe primaire ou à un groupe de rang 1. Dans le premier cas on montre que r"(A) coïncide avec la fermeture de r(1, A) pour la topologie finie, résultat qui à notre connaissance n’avait pas encore été publié (!). Dans le deuxième cas on montre que la plupart des propriétés des opérateurs linéaires non dérogatoires se généralisent.

Dans le chapitre V on s’occupe des anneaux commutatifs dont les projecteurs forment un treillis complet. Les propriétés démontrées présentent une certaine analogie avec celles de l’anneau engendré par un opérateur autoadjoint dans un espace de Hilbert. Par exemple R’ coïncide avec la fermeture de r(R, 1) pour la topologie finie, on peut aussi décomposer le spectre de R en une partie ponctuelle et une partie continue. Mais tout ce qu’on fait ici a un caractère purement algébrique.

Les principaux résultats de ce travail ont été résumés dans quelques Notes aux Comptes rendus de l’Académie des Sciences (?).

Je uens à remercier M. J. Dixmier de ses conseils amicaux et de ses encouragements constants, M. le professeur N. Jacobson des indications précieuses qu'il m'a données, M. le professeur P. Dubreil de sa bienveillance et des suggestions qu’il a bien voulu me faire.

(:) M. 1. Kaplansky nous signale qu’il a obtenu ce résultat, indépendamment et sous une forme un peu différente. Nous démontrons d’ailleurs un résultat un peu plus général au théorème 33.

CHRCMREACATIRSCENP 2801000 1De 990, 1122-1223, 1722-1723, 1839-1837 et 2027-2020.

APR LL re bis ET AE,

CARE VPÉES

J’exprime toute ma reconnaissance à M. le professeur G. Julia qui m'a fait le grand honneur d'accepter la présidence de cette thèse. Je tiens aussi à remercier M. le professeur L. Schwartz d’avoir bien voulu s'intéresser à ce travail.

Nous pensons utile de préciser maintenant quelques notations et résultats qui seront utilisés dans la suite.

Un groupe abélien à opérateur est un groupe abélien E, noté additivement, sur lequel opèrent les éléments d’un anneau R avec les conditions :

(1) a(u+v)—=au + ay (aeR; u,rEeE);

(2) (a+ bu = au + bu (a, bER; ueËE); (3) (ab)u — a(bu) (a, bER; ueEËE); (4) R contient un élément unité qui est opérateur identique.

Nous dirons brièvement que E est un groupe abélien sur R. Si plusieurs anneaux opérent sur le même groupe E, nous utiliserons la notation É, pour désigner E considéré comme groupe abélien sur R. Enfin si E n’a pas d’anneau d’opérateurs, on considérera l’anneau des nombres entiers comme anneau d'opérateurs.

Un sous-groupe de E est une partie F de E qui possède les pro-

priétés :

(5) u,veF entraîne uwu—verF; (6) ue”, aeR entraîne aueF.

Soit E et F deux groupes abéliens sur le même anneau R. T étant un homomorphisme de E dans K posons

T(o)={ueE|Tu—o})— ensemble des ueE tels que Tu—o.

=. A) ATEN — T(o) est un sous-groupe de E. Soit w la classe de u modulo T(o), en

posant u+e—=u—++, au— au, on obtient un groupe sur R que l’on —1 3 Æ

note E/T(o), ou si il n’y a pas de confusion à craindre E. La trans- a __ 1 " formation T : u > Tu est un isomorphisme de E/T(o) dans K.

F,,...., F, étant des parties de E on note (F,, ..., F,)lepluspetit

sous-groupe de E qui contient F;, ...,F, Silona E—({wl1el})

où les w; sont des éléments de E, on dira que les 4; forment un système

HN

de générateurs de E; ss E—(u), où ueE on dira que E est monogène ou cyclique.

Soit F une partie de E, S une partie de R, on pose

SF—{au|laes,uer).

S1 E est monogène on peut écrire E = (u) = Ru.

N(F) = {agR|aF —o) est un idéal gauche de R appelé annulateur de F. FCG entraîne N(F)35 N(G).

N(E) est un idéal bilatère de R, soit a la classe de 4 € Rmodulo N(E) et R l’anneau de ces classes, obtenu en posant a + b= a + b, ab — ab. On peut considérer E comme groupe abélien sur Ren posant au = au. On voit que les notions de sous-groupe dans E, et Ex coïncident. On a d’autre part :

Tuéorème 1. — Si E est monogène 1l est isomorphe à R—RIN(E) considéré comme groupe abélien sur R.

Démonstration. — R peut être considéré comme groupe abélien sur R en posant ba— ba. Si E—(u) on vérifie que la correspondance T(a) = au est un homomorphisme de R sur E, on achève en

remarquant que T(o)= N(E).

Si E est somme directe des sous-groupes E;, €, on écrit

El

Supposons que E—E'+E". La transformation T définie par T(u+u!)=u/,u el, u"eE/ est un endomorphisme de E que nous appellerons projection sur E’ parallèlement à E/, ou simplement projection sur E’ si il n’y a pas de confusion possible.

Rappelons maintenant quelques résultats d’algèbre.

Taéorème 2. — Si E—(u) et si R est commutatif, tout endomorphuisme de E est de la forme Ve — av où a ER.

Démonstration. — On a Tu—au, tout FE&E est de la forme bu, d’où

No PAT bau — abu — ar.