I. — Espaces vectoriels. Opérateurs linéaires
Soit E un groupe abélien sur un anneau R. Si R est un corps commutatif K on dit que E est un espace vectoriel sur K.
Un opérateur linéaire sur E est un endomorphisme de E.
L'ensemble des opérateurs linéaires À qui sont des applications biunivoques de E sur E est le groupe linéaire général de E; on Île note GL(E, K); lorsque E à » dimensions, on utilise aussi la notation GL(n, K); l'opérateur identique Ï est l’unité de ce groupe.
Deux opérateurs linéaires A et A’ sont dits semblables si il existe SE GL(E, K) tel que A'—S "AS. La relation de similitude est une relation d'équivalence. La relation A'= SAS peut aussi être interprétée comme suit : Si A est représenté par la matrice As dans la base > —/}7,, ..:,u, } Asera représenté par la matrice ÀA;5—5S "Ass
Mere
dans la base SÈ—{Su,, ..., Su,}. Notons que si /(A) est un polynomeren A MAIS AS'entraine (A) S%:/(A)S;:
Dans toute la suite on étudie les propriétés des opérateurs linéaires qui se conservent par similitude, ou comme on dit aussi, qui sont invariantes relativement à GL(E, K).
L'étude d’un opérateur linéaire A, à une similitude près, peut être ramenée à l'étude d'un groupe abélien à opérateurs, à une isomorphie près. Soit R—K{x] l'anneau des polynomes en æ à coefficients dans K. On peut construire un groupe abélien sur R en posant
LIU = TAN, [/(x)ER, ueE |.
On obtient bien ainsi un groupe abélien à opérateurs E,.
Soit E, le groupe à opérateurs construit de façon analogue à partir de l'opérateur linéaire A’ (E’ désigne l’espace E lorsque A’ opère sur lui). |
Supposons que A= S-'AS où SEGL(E, K). S-! définit un isomorphisme de E, sur E; car
STt(u+p)=STtu + Sp (u, EE), ST'(f(æ)u) SC) Su—)(H)S eu (ER, ueE).
Inversement si S7* est un isomorphisme de E; sur E, on peut Échro AS TAS et Se CGETE NN):
L'étude de À à une similitude près se ramène donc à l'étude d’un groupe abélien à opérateurs à une isomorphie près. Ce point de vue très intéressant a été introduit par W. Krull [12], [13]; nous Padopterons dans toute la suite.
