II. — Étude d'un opérateur linéaire
Soit À un opérateur linéaire et E,le groupe à opérateurs construit à partir de À. On sait que :
1° R—K{x]est commutatif contient un élément unité et est sans diviseurs de zéro; 2° Tout idéal de R= K{x | est principal ;
3° L'unité de R — K[æ] est opérateur identique.
RE
Supposons maintenant que E a » dimensions. L’annulateur de E, est un idéal (©) de R—K{x]; nous allons montrer que o(x) 0. Entre les »°+1 opérateurs linéaires [, A, ..., A" :1l existe une relation
linéaire TU, A;A;—= 0. Le polynome f(x) est Æo et E(o): donc (9) < 0 ou si l’on préfère p(x) o.
Finalement nous n’utiliserons pas en général l'hypothèse que E a n dimensions, mais la condition légèrement plus large;
4 L’annulateur de E est un idéal (0) 0.
Le polynome © qui engendre N(E) n’est défini qu'à un facteur constant près. Nous fixerons ce facteur constant en convenant de prendre pour © un polynome dont le coefficient de la plus haute puissance de æ vaut 1 (on dira que © est normalisé). On peut définir @ comme le polynome normalisé non nul de degré minimum parmi ceux qui vérifient o(A)— 0. On appelle o(x) le polynome minimal de A.
COMPOSANTES PRIMAIRES DE À. — T'HÉORÈME 5. — Soit © — 9,02, ...,0, la décomposition de © en facteurs primaires (o;, polynome premier à la 1 ! ) puissance a;). Ex est somme directe des sous-groupes = | : o® i) E. De JA
plus l’annulateur de E; est (o:).
Posons d;— [| o;. On vérifie que E;= ÿE est un sous-groupe de E,.
Montrons que Ex + E; :
tel La somme est bien directe car si u&E;N({E;lj<t}), on a qu — 0 etbu— 0, d'où (p;, bi)u—(1)u = 0, d'où u —0. Les E;engendrentE,
en effet : D’après le théorème 3 on peut écrire 1 Dit avec /;€ Ki.
On en déduit pour EE,
nee x “= fiiu et YWuedE—=E,
ti
