AS NULS
Reste à montrer que N(E;)—(®;). On a o&E;= o;dE =9E—o, donc N(E;)3(v;). D'autre part de N(E;)4;E = o on tire
N(E)He(?)=(p)(), d'où N(E:)C (qi),
d’où finalement N(E;)—(o;).
Traduisons le théorème 5 pour A. On dit qu’un sous-espace F de E est stable pour À si AFCKF. On voit que la notion de sous-espace stable pour À coïncide avec la notion de sous-groupe de Ex. E est
s N somme directe des sous-espaces stables E;: E=S +E;:. Dans E,;,
el :
A induit un opérateur A; dont le polynome minimal est +;. On dira que A; est un opérateur primaire. À est somme directe des opéra-
teurs A;, ce qu’on écrit DE Les A; sont les composantes DA primaires de A.
L'étude d’un opérateur quelconque se trouve ramenée à celle d’un opérateur primaire.
Tuéorime 6. — J{ existe un polynome gi(A) qui induit zéro
dans E;(j Æi) et 1 dans E;.
Partons de d;(æ) qui vérifie déjà du — 0, uEE jt). Comme (œi, Vi) = (1) il existe ER tel que f;b:=1 (@;:); on a alors Jfidtiu = 0 [ueËE,;(y i)] car déjà du = 0; out (ueE;) car Jidi=1 (mod 6;).
Le polynome fiC(A)D;(A) répond à la question.
ETUDE D'UN OPÉRATEUR PRIMAIRE. — Soit À un opérateur primaire de polynome minimal %, d polynome premier de R.
TuéorÈme 7. — E, est sonune directe de sous-groupes monogènes isomorphes à R}(W)(B a). Le nombre n3 de sous-groupes isomorphes à RJ(®) est unique (c’est-à-dire la décomposition est unique à une isomorphie près).
RC es
Pour la démonstration nous aurons besoin de la notion suivante : On appelle hauteur h(u) de u&ëE et <o la borne supérieure des entiers n tels que de = u soit résoluble en + dans E. On n’exclut pas que h(u)—=, mais ici Ÿ*E — o entraîne que h(u) € «.
Posons
Be fvEeB duo" et E=luvel |A(u)=T—-1) (=7T,.., #1). On vérifie que les E; sont des sous-groupes de E, et que releases 0
N(E, ) est un diviseur de (4) puisque LE, — 0; comme d est premier on a N(E,)—(Ÿ). On peut considérer E, comme groupe abélien sur R/(4); R/(Ÿ) étant un corps E, est un espace vectoriel. Il existe donc dans E; des éléments ; formant une base et tels que
F7—= ur > 2e (ui).
iElk
Dans cette formule il n’est plus nécessaire de préciser si l’on considère E, comme groupe abélien sur R ou sur R/(4).
Sirel, on a A(u;)—k—1, donc il existe ,€E tel que Lte; = ui. Nous allons montrer que (première partie du théorème) :
En= > +(#1) +. + D + (e) =D +(s).
el, ‘et, i
La somme est directe. Supposons que(#;)n({+; STE) = < lo; on a FNE, 0 car si N(F)—({f) on a ff tF-Zoet CE,. En remarquant que (#)N EE — (u;)onobuent (4)Nn(u;/jt)=FNE;Z0); ce qui est une contradiction.
Les v; engendrent Ex. Soit EE et N(r)—(b);onaditveE, et comme A(ŸE 16) £— 1, on aura
0, OR o pr fut + fu (RER),
iElk iEl, RE Q :
gi p — LS 1N Jivi+ ee ee 1 Y fivi= Vans L'.
itElx iEI,
Le]
ce OS:
On a YE (6 — 6) —o ce qui vous ramène à exprimer en fonction des +; un élément annulé par Ÿ". La propriété est démontrée par récurrence.
Soit #tel que N(e;)— (48). D'après le théorème 1 on a (:) © R/(4P). Le nombre 4 de sous-groupes (e;) isomorphes à R/(4°) est la puissance de l’ensemble d'indices [4 ou encore la dimension de Eg/E3,4 considéré comme espace vectoriel sur R/(L). On voit que 3 est indépendant de la décomposition, ce qui achève la démonstration du théorème. à
Avec Mc Duffee[5 | nous dirons que A est un opérateur compagnon du polynome © si E, est monogène et si le polynome minimal de A est 9; cela se traduit par E;—(u) © R/(o). On voit que dans (w:), 1€]; l'opérateur induit par A est un opérateur compagnon du polynome f.
INVARIANTS DE STRUCTURE D'UN OPÉRATEUR LINÉAIRE. — Des théorèmes 5 et 7 on déduit :
La
TuéorÈme 8. — Sort À un opérateur linéaire et p— 4%... di la
décomposition de son polynome minimal o en produit de facteurs premers. À est déterminé à une similitude près par les nombres n;is d’opérateurs compagnons des diviseurs prématres VP(B—1,...,œ31—1,..,8) de 9.
La décomposition de À en somme directe d'opérateurs compagnons des diviseurs primaires de © est ce qu'on appelle la deuxième forme normale de À. La première forme normale s'obtient en faisant des regroupements : On obtient un opérateur compagnon de 9 soit A, en faisant une somme directe d'opérateurs compagnons de L(1=1,...,s). On forme ensuite À, opérateur compagnon de ©’ où 9’ est de degré
maximum, ete. ®, 9, ... sont les diviseurs élémentaires de A. La décomposition A—A,+A,+... est la première forme normale;
c’est elle que l’on obtient quand on utilise la méthode des diviseurs élémentaires.
L'étude de la structure de À est ramenée à lPétude de la structure
