O1, = RP
et p sera un nouveau invariant ; puis Do — nn 1 — k, GRADE in à — Où ro 0 k, étant un troisième invariant, etc. ..; on posera finalement Dee Uni a0 un — kyes À, k,3 k,2 étant également des invariants projectifs. &, sera alors une différentielle exacte, que nous pourrons désigner par do, le
paramètre s« ainsi déterminé sera »l’arc projectif. de la courbe gauche considérée.
II°. Tous les &, sont nuls. On a alors pe — 0 et par dérivation extérieure on obtient des relations de la forme OO
Dans ce cas une nouvelle distinction pourra se présenter suivant que les /; ne sont pas, cu sont tous nuls. Dans le premier cas nous retrouvons les courbes de 1" espèce). Des particularisations successives, analogues à celles considérées précédemment nous conduiront à poser dans ce cas
On Of Un fn — 0 (O7 = (O7T = ON O,0 ==) p W;
40 = On,n er — k, Oy , Vi —.. — On -1,n-5 = 0 Du in 2 OS 0 Oo Bye OR
Dans le second cas on aura
lo, 0, Ex .… , k, + étant des invariants projectifs.
W30 = (Or = |, On o— 0
et ainsi de suite, En posant dans tous les cas &, — d « nous arriverons à écrire pour toutes les courbes gauches, sauf pour les courbes normales, les formules de Frenet suivantes: d'A d 5 = npA + a
1) Il sera, en effet, facile de montrer que le système différentiel qui les définit et qu’on obtient de cette manière est identique à celui qu'on obtient par la voie du $ précédent.
— = kA+LZ2(n—1)p4A, + A,
LS — LA Sin = 2)pA; FA y UT = nes À + 2 (n — 1)p Ans + An d Au
Te = En A + ke 9 A, + fe -4 A+... Age + ke A\,. 2 + np A? 1
où l’on a
pour les courbes générales k = 1; 0, k, = ,.., k, + étant des invariants; pour les courbes de 1" espèce k = 0, ki — 1; p, k,, ...,k, 2 étant des invariants, etc. |
pour les courbes de la (n—2)" espèce k=k=...—=k, ;=0 ki, = 1 ; p étant un invariant.
230, — On voit immédiatement qu’a un repère ainsi déterminè correspond par dualité un repère de même nature. D’après ce qu’il à été dit précédemment ($ 5°), les coordonnées tangentielles des faces a, 41, ..., a, du repère sont les mêmes que les coordonnées homogènes des sommets 40, A;,..., À, du repère transformé et entre les composantes du mouvement instantané des deux repères il y a les relations (8). Mais comme le KE, osculateur de la courbe donneé c’est a,, le E,, esculateur l’intersection de a,, et a, 1, le E, + osculateur l'intersection de A, An 1, An e, etC, .., on voit que pour l’hypersurface développable transformée À, sera le point de l’arête de rebroussement, An An1 la tangente, A,, A, 1 A, 2 le E osculateur en A,, etc. En changeant alors les indices
RNGELLET ESA 00
en 0e LT NEA
les relations (8) deviendront (40) Gi = — On; n—i
et on passera des composantes du mouvement instantané du repère de Frenet d’une courbe à celles relatives à la courbe dualistique par une symétrie par rapport à la seconde diagonale et
un changement de signe du tableau de ces composantes. Cette remarque met en évidence le caractère dualistique d’une point singulier d'espèce quelconque.
240. — Pour les courbes normales on ne peut pas achever la détermination du système de référence mobile; toutes les courbes normales sont projectivement égales entre elles ; de plus elles admettent chacune un groupe projectif à trois paramètres de transformations en elles mêmes et en chaque point de la courbe il existe «Ÿ transformations de ce groupe qui laissent ce point invariant. On peut achever arbitrairement la détermination du repère en ajoutant, par exemple, aux conditions du $ 20°, les conditions supplémentaires
19 = 0, y == Ogg —= 0 &, sera alors une différentielle exacte: nous pourons poser
&, = ds et l’on aura d A dA,
ST ii US
d’où l’on déduit facilement
RÉ 0 1 À 4.0 u 0 eo OR ya LE Tor A, + LG we Ne
A, A ,..., AO étant la position du repère pour $ — 0, qu’on peut d’ailleurs faire coïncider avec un quelconque des repères du (n+2)"° ordre attachés à la courbe normale en un point quelconque de cette courbe.
Il en résulte que les équations paramétriques de la courbe normale s’écriront par rapport à un repère d’ordre n +2 en coordonnées homogenès
Le =l, 1e
S La DTA
et en coordonnées non homogènes 1e 1
LI= SH, M 4 Re e ent On voit par conséquent qu'une courbe normale est une
courbe algébrique de degré n, c’est à dire telle que tout E,; la
coupe en n# points distincts ou confondus. On démontre aussi facilement que par un point quelconque de l’espace on peut mener, en général, n E,, osculateurs à une courbe normale quelconque.
250.— Deux courbes gauches arbitraires C et C, peuvent toujours être amenées par un déplacement projectif convenable de l’une d'elles de manière qu’un point M, de C, vienne coiïncider avec un point déterminé M de G et que les deux courbes aient, au point commun, un contact d'ordre n + 2. Il suffit, en eftet, de considérer l’homographie qui amène un quelconque des c* repères‘) d'ordres n +2 de C; en M, en coïncidence avec un repère d'ordre n +2 déterminé de C en M. On cbtient évidemment de cette manière toutes les transformations homographiques qui réalisent le contact voulu,
En particulier on peut amener une courbe normale à avoir un contact d’ordre n +2 avec une courbe donnée C en un point donné M mais cette courbe normale sera unique car les c? transformations de la courbe normale en elle-même maintiennent évidemment le contact d'ordre n +2. On appelle la cour be normale ayant un contact d'ordre n +2 avec une courbe donné C en un point donné, la courbe normale surosculatrice *).
26°.—Les équations d’une courbe par rapport à un repère d'ordre n +2 s’écriront d’aprés les considérations précédentes.
Lau
T=g Li + M; @ air +...
DÉS D | En = y) Li + Mn An 17 +.
1, Par un déplacement QE 219, ona en à n 1 ee ÊA = 69 A, à Ai = 60 À rs © exo Ai, dr €10 A1 + 7 €00 A2, n—it+1) —?i d Ai Lim Ai-1 + Ge 0 An = 630 Ân- -4 — €090 An ; il y a donc bien oo? repères d'ordre n + 2 attachés à une courbes gauche en un point
donné.
2) cf. Berzolari (3) p. 13.
Mg, M3, 1, étant certaines constantes numériques, C, day, a, étant les quantités introduites plus haut (& 21°).
270,—I1 y aurait intérêt à attacher à une courbe gauche un repère satisfaisant à des conditions dualistiques par rapport à celles que nous avons établies au $ 20°. Nous supposerons pour cela que les équations de la courbe s’écriront par rapport à un tel repère, en coordonnées tangentielles non homogènes
a£ EE TE NC NS EUR
nes, 3 5 35 tm Eee
RARETE sn sn+3 Re je 6 Hmanan 7 +.
les composantes &;, du mouvement instantané de ce repère satisferont comme on sait aux relations qu’on déduira de celles imposées au $ 20° par la substitution (40),
La courbe qui par rapport à un tel repère aura comme équations en coordonnées tangentielles
SARÉLs = G EE ET
est une courbe normale. C’est la seconde courbe normale surosculatrice à la courbe donnée au point considéré; elle joint de la propriété d’avoir avec cette courbe n +3 hyperplans (E,;) osculateurs confondus en ce point.
28. — Nous voulons écrire les équations des deux courbes normales surosculatrices par rapport à un même repère que nous choisirons pour la symétrie des résultats être le repère de Frenet ($ 22,). J’indique sans développer les calculs, les moyens d’obtenir ces équations.
Remarquons d’abord que les équations dela courbe s’écriront par rapport à un repère de Frenet, en coordonnées ponctuelles non homogènes, sous la forme (d’après K 2°)
{ 2 — ae + mu 2$ + mas a Æ Mas. af mis af + … 1È— = 1x + M3 &; —- mMA3 6 — oz a + tot à j ;
LE : n+ —- M oi DA —- MA; us L ne æ Mi LEE D +- Hi
1 De Mon LT + Min LE La 33
où m,, est une expression linéaire à coéfficients HUE des termes de la forme
dk, \% di k | e Ha Es | À É d 51 X d 5" 1e a(a+p) HE + Er (CHE = hi en particulier m,; ont certaines valeurs numériques, les m, sont à des facteurs numériques près égaux à k, etc.
Nous écrirons ensuite les équations d’une courbe normale sous la forme
| Ln —=
avec
y + Qui 4 + Que de din An
a ee mme
n + Ant A + Ana T2 + .. + Ann Ln
Tr
ces relations exprimant que la courbe normale est le lieu des intersections des rayons homologues de deux gerbes homographiques, le sommet d’une de ces gerbes étant l’origine").
En remplaçant dans ces équations préalablement mises sous forme entière, % %3,.…, %, par les expressions (41 bis) et en identifiant jusqu'aux termes en x## inclus*), on trouvera (n—1). (n+4-2), équations linéaires et homogènes des [n (n+-1)—1] quantités in léterminées a, a; (i:<j), 4, —a;, qui les définiront complètement. On obtiendra de cette manière les équations de la courbe normzle surosculatrice R, qui s’écriront avec un paramètre n, sous la forme
1) Berzolari (3) p. 7.
?) Un calcul analogue pour n=3, se trouve dans le celèbre mémoire de Halphen (13) p. 360 et pour n quelconque dans Berzolari (8) p. 18.
dog = À + Mg 8 Mio 0 + HN nf, di = Mon nt Ms + Mon nf;
à == 1—3 \ , (42) ni = (n—3)! ui an Mo,n—3 n" ’
Ln—2 = m3 LE £
Mel ji
PE ul me À
MN arr
où les M,; ont la même forme que les M,
Si dans les équations (42) on change æ& x, , æ, respectivement en &,, &,; .…ë& ou obtient les équations paramétriques de la seconde courbe normale surosculatrice r, en coordonnées tangentielles. Les équations de r en coordonnées ponctuelles s’obtiendront ensuite facilement ; elles auront la forme
| To = LE Mo U ox Mo ne QE + My -3,0 ne J À |
| HE Mn
les M,; étant analogues aux m;,
29°. — Des équations (41) on peut tirer sans complications les deux théorèmes suivants déjà énoncés par M. BERZOLARI ) :
4) Dans un point singulier d'espèce k le E, principal”) de la courbe donnée et de la courbe normale surosculatrice est situé dans le E,. osculateur commun aux deux courbes, mais coupe le E,, , osculateur commun suivant la tangente, et
2) Si nous projettons suivant le KE, ; 4 osculaleur sur un E,,, arbitraire la courbe donnée, la projection du point considéré M étant l'intersection M’ de ce K,,, avec le K, ;, osculaleur en M, on oblient une courbe pour laquelle M° est un point singulier seslatique.
309.—-Nous ajoutons à ces théorèmes, deux autres, que nous démontrerons facilement avec les considérations du $ 28°.
1) Berzolart 13) p 17—21.
2) On appelle ainsi, pour deux courbes ayant au plus un contact d'ordre p, le Ea tel que les projections à partir d’un point de ce E2 des deux courbes aient un contact d'ordre p + 4 au moins Cf. Berzolari (3)-p. 18.
na
3) En un point singulier d’espéce k, les lieux géométriques des points d’intersection des E,,, osculaleurs à chacune des deux courbes normales surosculatrices avec le E,,2 osculateur en M à la courbe donnée forment une mème courbe normale R;4, (ou r; 12) de ce E,42, passant par M, et
4) Les lieux des intersections des E,,, osculateurs à chacune des deux courbes normales avec le K,,, osculat ur en M sont deux courbes normales R,,3 el r,,3 de ce E,,:, passant par M et situées sur un même cône C3 (à deux dimensions] du second ordre ayant son sommet au point M.
Pour les demontrer nous remarquerons d’abord que, d’après leurs expressions, les M;; et M,, sont nuls pour h < k. Les équations de R,4 et r,42 qui se déduisent facilement de (42) et (43) seront les mêmes ce qui démontre le théorème 3. Ces équations s’écrivent.
Î E ù 2 Ê 2 CRM po nr ONE en mettant
He 1 1 ] | , a 1 On — FINE 7 Len Et l -55)
Les épuations de R, et r,,+ S'obtiennent aussi immédiatement. Ce sont.
! A | Lo —= | — (EAU M; . one k) 20 pin
E a Es Del — (SA Moine
(Ryxs) T'ES SE SA LL "7 £> 1 (k43) He (&) LE | To —= Û Le A k+1 M, dl (A) T1 — 0 k+1 n (Ty48) 1 + ee — — — — | 1 (k+3) k +3
| Her pet mktt 1 ,
elles permettent de vérifier immédiatement le théorème 4.
Ou remarque qu’à l’encontre des théorèmes de M. BERZOLARI, les propriétés de ce paragraphe montrent bien le caractère dualistique que possède un point singulier de n'importe qu’elle espèce et par conséquent les courbes singulières correspondantes.
B. L'applicahilité projective des courbes gauches. Les c rrespondances T, To Ts, Ts Paramètres projectifs.
31°. — En nous rapportant aux notions et méthodes envi sagés au K 7°, sur l’applicabilité projective des variétés d’un E,, nous commencerons par l’étude de Papplicabilité Ce, , 4° entre deux courbes gauches données G et C,. Nous choisirons pour cela le long de C un repère particulier (r) ou AA,.... À, satisfaisant aux conditions (37;), (372)..…., (37,42) qui définissent le long de C un repère d’ordre n +2; nous ajouterons pour achever de le déterminer la condition supplémentaire.
One Ou 040
et d’autres conditions qu'il est inutile de préciser, Les composantes du repère BB... BŸ ou (R!) qui se déduit de (r) par l'application Co, ,49, devront satisfaire à des relations analogues aux relations (37,), (372), . . . , (37,43) c’est Ê dire se déduisant de celles-ci en remplaçant les &,; par les 7! ROSE et les paramètres «; par des nouveaux de AM, Les x) étant supposées être les composantes des repères (R!") les plus généraux satisfaisant à ces conditions, les seules équations qui résolvent
l’applicabilité Ce, ,:9 sont celles de la C, c’est à dire (44) = Qi, Th — 700 — Di — 00 qui conduisent à la scule équation extérieure qui ne soit pas identiquement vérifiés = (1) .
or (riv Le Go) ] 0 d’où l’on tire (45) 7) a 10 — a 1 a étant un certain paramètre.
Le système (44) est donc en involution et sa solution dépend d’une fonction arbitraire d’un argument. On peut poser. i À dé { ésant un paramètre de position sur le courbe C. Si & —dT, l'équation {= & —d7 nous donne {—f(r). La correspondance ponctuelle qui réalise l'application peut être une correspondance arbitraire entre les deux courbes.
Nous aurons besoin d'écrire le système différentiel qui donne le repère (R®) sous une forme équivalente nouvelle. En posant
Ex = Ti = OQjx
où r;, sont les composantes du repère le plus général attaché à Cu ce système s’écrira
{ (roy [10 G< I) Rat | Leo = Eu =... = Eur =0 Eto Eor DE (1) — — = = —— (10) (T??) mn 2(n—1) n | Ci0 Evo TROT __ Eu,ne on ASE DAME
rp(i à A à { te) n Ex-1,0 7 Eu
Nous remarquerons en plus, qu’en vertu des relations (T®), (37,43) et (45) on aura toujours des relations telles que
Imaginons alors le »mouvement projectifs de la courbe C, sur la courbe C, qui à chaque instant réalise application Co, ; &;, sont les composantes du mouvement absolu, x! celles du mouvement relatif, par conséquent — E,, celles du mouvement d'entrainement du repère (R(°) suposé invariablement lié à (r). Si nous appellons A un déplacement d’entraînement laissant fixe le point À (&, (A)— 0), ‘on aura d’après (46).
(47) NN ei
antrement dit la position du repère (R®) est parfaitement déterminée par rapport à (r), par le systéme (T°). On voit de plus que dans le mouvement le E, osculateur [B° BŸ ... B®] à C coincide à chaque instant avec le E; osculateur [A À, ... A;] à C au point correspondant.
32°. — La transformation homographique qui réalise Papplication Cosse est d’après (47) unique pour chaque couple de doints correspondants. On déduit de ce fait une correspondance
bien déterminée entre lès éléments plans générateurs [A A,...A;l et [B®B©...B(°] des deux variétés développables à i+1 dimensions v;4, et Vi (1 2 <n — 2), ayant Get C; comme arêtes de rebroussement. Nous appellerons (T,) cette correspondance, que nous recontrerons plus tard ($ $ 420 — 48) dans plusieurs propriétés interessantes relativement à l’applicabilité projective des hypersurfaces développables.
33°. -— Nous nous occuperons en second lieu de l’applicabilité C,1,,1. Nous choisirons le long de la courbe C le même repère {r) du $ 12°, Le repère B® B®... B® ou (R®) qui se déduit le long de C, par la transformation homographique qui réalise l'application C,1,,1 devra être du (n + 1)" ordre; les composantes x{ du repère (R°) seront supposées assujetties à vérifier les relations (37;), (37e) ,..., (37yy) qui par dérivation extérieure nous conduiront aux relations.
= Geek in 41 io = B, nn à : ; 2) , — (n —1 + Sp Ro rs, Ac C —i+3 ire LUS
D (2) — rl) — À (2 FT Le = h # LENS —9 LAN n—3 Ba Pt
(37, 42 bis) e fs
Le système de Pfaff imposé par l’applicabilité C, 1 s'écrit
| RO — @, = 0, 9 — a) — y — Go (48) | TD) — 2 a — D, — 2 Gym e...t, CA] ns (n — 9) 7 — yo, — (n — 2) ns, 0
il donne lieu à la seule équation extérieure non identiquenent vérifiée
; ds ; Tite | (59) [5 (T1 "bat (0 à ua 2 (1x = Oui, 1 He Er ETS 4 18
qui montre que le système (48) auquel se réduit le système de la C, 1n41 St aussi en involution et sa solution dépend d’une fonction arbitraire d’un argument. Comme pour La Ce ,4e l'application peut être réalisée avec une correspondance ponctuelle arbitraire entre les deux courbes.
Nous écrirons également le système de la C,:,,4, sous la forme équivalente:
{ (TS?) te in G <h) | Eco == Hi Tr m0 — nn =— 0) NE) bee ET Fu, n=1 (TP) lo D na = n Do — Es = Bo Es MA) NU NE É 3 (i (
(1 ) 1 2 n D — (15.3) E Be 1 54, 2 Ee
RON EERS so driuo = 3 . Cn1 CU, (TA ) E & | n—A,1 Es 2 n—2 1n— 2, 0 1 2 { ' Ce En vertu de (1%), (37,2 bis) et (49) on aur fee Re ie (0) La a DE FA | A DE ÈS HE À) À ) A AE > Are ne E, —1, o ). A,
ce qui montre que la transformation ns qui effectue l'application C,,1,41 n’est plus unique ; elle dépend, pour chaque couple de points correspondants de deux paramètres arbitraires ; il existe par conséquent œ° transformations qui effectuent l’application. Toutes ces transformations, pourtant, déterminent comme on le voit facilement une même correspondance ponctuelle entre les éléments générateurs [A A,...A;]et[B BŸ.. BP](i<n— 2) des deux varietés développables v,:, et V,s, qui ont été considérées précédemment ($ 32°). Nous désignerons par (T.) cette correspondance.
34°. — Les correspondances dualistiques T; et T,. Remar-quons que chacune des homographies qui réalisent les deux applicabilités Coyye et C,114:1, font correspondre à des E,, passant par le E,;, osculateur à G (1 < i < n—2) des E, ; bien déterminés passant par les E,;, osculateur à C. En effet les relations (47) ou (50) montrent qu'on a
À [A A An … Atwel—0,
quelque soient les indices 4, … , ,2 différents de O et 4 et cela démontre immédiatement la propriété. Appellons 8, et 6, les deux correspondaic®s d’hyperplans que nous venons de mettre en évidence.
Soient alors y et y;les transformées de C et C, par une même corrélation; de toute correspondance ponctuelle entre Cet C, on déduit une correspondance ponctuelle entre y et 1. Envisageons les correspondances 0, et 0, qui se rapportent aux courbes y et y. Par la corrélation envisagée plus haut on déduira de 9, et 0,, inversement, deux correspondances ponctuelles nouvelles entre les éléments osculateurs [A A, … A;]et [B B, … B,|, correspondances que nous désignerons par T, et T,; elles vont jouer un rôle analogue aux correspondances T, et Ts
Pour écrire les systèmes différentiels de la T, et T;, considérons les homographies (h,) et (h.) qui réalisent les applications Conso €t Curny entre y et y; (par conséquent les correspondances 0, et %) et soient (H,) et (Ho) les homographies qui se déduisent cn sens inverse par la corrélation envisagée ((H,) et (H) réaliseront par conséquent T; et T,); soient enfin B° … BŸ ou (R®) et B°.… BŸ ou (R®) les repères qui se déduisent de (r) ($ 31°) par (H,) et (H:).Comme il a déjà été expliqué ailleurs (( 23°) les systèmes qui donnent (R°)) et (R(°) se déduiront des systèmes (T®) et (TŸ) en échangeant partout d’après (40)
Ex en — En-x, ni ces systèmes s’écriront par conséquent (157) { pe = Eu EE —— Es, 1 7 CR ds nav MIRE free
CU 3 (n—92) | ni
TG 2 (124) 2 En 4,0 = nn Eu
= Eix — 0 Œ< k) (TA Eoo ete En = 0
et
Fo Lot *L a: er m2
350. — Paramètres projectifs. Considérons en détnier lieu l'applicabilité Cs,,12. Le système qui résout cette applicabilité s’obtiendra en ajoutant aux équations (44) de la C,,32 et aux conditions envisagées au K 31°, l’équation nouvelle
TA — D) TN) — Or Ca B) ©10 qui en vertu des relations (T{°) devient
(51) + rene 00.
On trouve facilement que le système formé par (44) et (51) est complétement intégrable ; sa solution dépend de trois constantes arbitraires.
En particulier l’applicabilité C3, +4 entre une courbe quelconque C, et une courbe normale C conduit à une notion nouvelle interessante.
Choisissons, en effet, pour la courbe normale le repère défini plus haut ($ 24°). Les conditions auxquelles doivent satisfaire les x{} ($ 31°) nous permettront facilement de poser succesivement
ldu ue Y(L) Her A Ti0 — -, n Rs de + F cle
La résolution du système complètement intégrable formé par (44) et (51) qui dans notre cas s’écrit
4 1) «a 1 m'—ds, ai —70 = 0, mio =
nous donne SE A OL) Re
far (L) " 3 [2 (1) 9 y Fe A0) AT) Re (Le
La forme de cette équation nous montre que si t ({) en est une solution particulière toutes les autres solutions sont des fonctions homographiques de +. Nous pouvons prendre + comme paramètre dela courbe C, ; nous l’appellerons paramètre projectif. Tous les paramètres projectifs sont des fonctions homographiques
de l’un d’entre eux. Cette notion nous permettra entre autres de définir la notion de »rapport anharmonique de quatre points« de la courbe C4, d’une manière intrinsèque, comme étant le rapport anharmonique des quatre valeurs de + correspondant à ces points.
Il est évident qu’en prenant + comme paramètre de la courbe C, les points se correspondants par la C3, se déduisent d’une même valeur donnée au paramètre commun s—= 7. Mais s est un paramètre rationnel:de la courbe normale. Tout autre paramètre rationnel se déduit de s par une substitution homographique: On peut donc dire qu’une correspondance réalisant la C3 , 1e étant donnée, ou obtient toutes les autres en effectuant une substitution homographique sur un des paramètres rationnels de la courbe normale. Si C, est elle même normale on a W (rt) — 0 et + est un paramètre rationnel.
D’une manière analogue la C3, ,12 entre deux courbes quelconques C et C, s’obtiendra en établissant une relation homographique arbitraire entre les paramètres projectifs des deux courbes. Car de la forme des conditions imposées par l’application, on voit immédiatement que Si une correspondance entre Cet une courbe normale let une C; ,12. la Correspondance qui s’en déduit entre F et C, sera une C; ,,42 pour ces deux derniéres.
CEA PELERE "LIT Les hypersurfaces développables À. Détermination du repère mobile
36°. — Nous désignerons par w,, les composantes du repère mobile À 4, 4, ou (r) attaché en chaque point d'une hypersurface. En faisant coïncider À avec le point considéré et en prenant A A Ant dans le £, à tangent nous obtenons un repère déterminé au 4’ ordre par la condition
(51 A y —= 0 &1,..., ®, 4 seront alors n—1 formes de Pfaff finéarements indépendants par rapport aux différentielles des n—1 paramètres définissant la position du point sur l’hypersurface,
Si l'hypersurface est dévelopoblle, c’est-à-dire que son E, tangent dépen 1 d’un paramètre, on peut rameuer la forme.
n —1 p —= >> oO; O;»
CAES, |
assymptotique du 1” ordre (K 4°) à la forme a p=0 ce qui revient à poser
(519) Oin = , Don = On =... Op, — 0
L’équation de l’hypersurface par rapport à un repère quelconque du 2° ordre s’écrira alors
1 22, en 1 Lin = TL, RE D (Li: En 41) +
23 %4 (ss ONE +) AE
Da, Dy - . étant des polynomes du 3”, 4", ... degréen &,, Ze ..., %,1. Suivant Ja méthode générale indiquée au début ($ 2°), nous devons, pour déterminer le repère au 3", ."*, ... ordre, simplifier successivement 9, #,, etc. ... Nous pouvons d’abord prendre 23 = 0, Ce qui revient à poser,
1 Onn — 2 041 + pp = 0
Von = dy =... == 0
puis ramerer ?, à la forme.
en posant
£ [9] 9 Oyg — 9 Oui =
Do O0, , Dag = : +: — Oy-1, 0 — 0
et l’on excepte par cette particularisation le cas d'une hypersurface dont le E,;, tangent passe par un E, à fixe.
370. — Pour rendre plus facile l'étude de la corespondance Cas (8 7°) nous poursuivrons un peu différemment les particularisations successives du repère mobile.
Nous remarquerons d’abord que les relations
O0 = O0 = — Op 1,0 écrites sous (51,) nous donnent par dérivation extérieure
Uno — Us D), Ugo = y O), ..., Op 19 = 1
Gil il nous sera permis de prendre a, = {, 04 —...— conséquent
0,1 = 0, par
(51:) een et LT net id ul,
si nous écartons le cas des hypersurfaces développables dont le E,, tangent contient un E, , fixe.
De la même manière nous pourrons poser pour toutes les hypersurfaces à arôte de rebrouss ment proprement dite, successivement les conditions suivantes :
{ Oy3 = O , Dig =... = Oy 13 — 0
Da —= Of y D =. —=Gy4r—0
GI L------ - - -- On-9,n-3 = Wy, On—1, n—3 = 0
| On1,n-92 — W,
38°. Dans le repère ainsi déterminé, le point A, 1 décrit
toujours l’arête äe rebroussement car DA or Ah e + @n 1, n-1 A 40 ou S'apercoit aussi immédiatement que le sommet À, , est sur la tangente en 4,, à l’arête de rebroussement, le sommet 4, ; dans le E, asculateur en ce point, d’une manière générale le sommet À, ,4 est situé dans le E, osculateur au point 4,, à l’arête de rebroussement ; le E,e NA: An-2 DEC À; A |
Là Là
étant osculateur en À, : c’est l’éléméat générateur de l’hypersurface développable.
La dérivation extérieure des relations
Dny — 09 np =... — Op in — 0 (51 bis) &;x = 0 ON PE OM ES RE On —= On == &op —— O5 0) -1,n-9
qui figurent parmi les conditions écrites, entraine des relations de la forme Woo — 2 &9 + Ou = lo,
Lg .
Das 2 Woo + Wog — ba,
ee
Ont, n--1 7 À Dy 9, n—2 + Ones, n 3 — bn 1)
et la dérivation extérieure de ces nouvelles relations nous donnera n—2 relations telles que
Lo, (bi — bo, —06 + B w + B; O0 + Be 11e
D CERN PET k—2
8, , B;,... étant certains coéfficients numériques. Si nous désignons maintenant par à un déplacement compatible avec toutes les conditions écrites et laissant en plus le point A fixe, (c’est-à-dire tel que «4 (à) = w (Ô) =... —w, 1 (à) —0) et par e;; les quantités w,, (2), nous aurons
Pr. ! Ch 1) Gb = — (Bi HB)e0 — B; j ex kEt + Di (e;1 — 60) £
avec n—2 paramètres indépendants e10 9 QE , (27 2) ln - 9, DE | ; nous pourrons annuler tous les b; et poser par conséquent.
{ 5 — 2610 +o,, = 0 : | Was — 2 O5 + Dog = Ù (51:) À , | On—A,n-1 — 2 Oy—9, n—92 + Ont, n—3 — 0
et par suite des dérivations extérieures n—92 " !! . k 1) B; On + B; O0 + B; Ont + D pi de on. EM = Ci &; = Entlesnee) Ces relations et la relation
= O] a (52) 9 Oyp — D On1
qui figure sous (5{,) nous permettront d’écrire
LE Cu cp À — 5,
Op, ki = Ci ; — x Op (k = “4 Nes n—?)
Diy Co + Po Lo » Ont
(52 bis)
les c; étant des combinaisons linéaires à coéficients numériques connus des c;, les G, étant des nouvelles constantes numériques. On a d’ailleurs
RS Use Po Fi ne 3 ;
La dérivation extérieure de la relation (52) nous donne (53) 6 6,9 — À O9 — À Oy — 03
et la dérivation extérieure des relations (52 bis) nous montrera mise SMS Pr qu on peut annuler Cas Casse, Cn 2 et nous aurons
(513) D, k44 —$; OP (k — PAUTE n — 2).
En dérivant extérieurement ces relations, ou trouvera en tenant compte de (53), des relations telles que |
0 € o; + Yo O3 1 V2 = 01 + V1 Os f Où, 149 — Ex O1 + Tr O3 (k= 2, n—3) avec Ge—4e, —a et 6 Yo — 4% + 1 —0,
les ;; étant certaines constantes numériques. Nous pourrons annuler e&, &,.., e,;et tirer
- | (515) MO FAC + T0 Op = Ÿy Ga, (54) da Ox, k42 = Ÿk O3 (Re? 0 n— 3)
et la dérivation extérieure de (54,) nous donnera
(51,0) Dh 9 —= 7) 04 + Ep dy — x ®)
Oja = [1 y + Ej O4 Ok, k43 = /x O1 + ëk Dr Mat Di NA) les & étant des cocfficients numériques.
En annulantf, ,…, f,, Ce qui est possible, nous aurons
(ol 16) Dj — € O4, Op, n+3 — Ex y (Eh 9;..,n-—4)
et ainsi de suite. On arrivera finalement aux relations Out) On, 3 = Mo di + 0 On 1 — Fo Vus D, n0 = My O1 + À On À et À étant deux nombres déterminés. Nous pourrons annuler 14 et nous aurons La OT 45) 04, n=2 = À On et en dérivant extérieurement
OU APT) ae hr, de tonton.
GA
B. La coorespondarce Ca. L'homographie
39°, — Supposons choisi sur une hypersurface développable (s) en chaque point un repère (r) dont les composantes w,, soient restreintes en particulier à toutes las conditions (51,), (512), …, (51 ,4:). Nous considérerons alors en chaque point d’une deuxième hypersurface (S) le repère B B, … B, ou (R) qui se déduit de (r) par la transformation homographique qui réalise l'application Ca de (s) sur (S) supposée possible.
Les composantés &;;, du repère (À) devront satisfaire à des conditions analogues à (514), (512), (514:) et (51). L’applicabilité Ce impose les relations *)
Do 00, 0,10, Où — Oo = ui — dpi = 1,2 …,n—1) Doi 0, (tel 2. 271 1) et cela montre d’abord que les &;; devront satisfaire en plus aux relations analogues à (51:), (515), … , (51 ,42). Nous considérerons en fin de compte les repéres les plus généraux attachés à (S) et satisfaisant à toutes ces conditions. Celà est toujours possible si (s) est une hypersurface développable à arête de rebroussement proprement dite. Si celà est les Q,;; satisferont également à toutes les relations analogues à (51:),… , (51,,:) et (51,4) qu’on déduit par dérivation extérieure.
Dans ces conditions le système de Pfaff qui résout l’applicabilité C4 Se réduit aux seules équations > Qi, O0 RO UE (54) Lu mont ME an l
qui conduisent à la seule equation extérieure | ü; (O5, nt = Ün, n—] +- À, On) | —= (1) OÙ A0 — Co — & et UC est le paramètre analogue à c, relatif à (S) (S 38°).
Le système (54) est en involution et sa solution depend d’une fonction arbitraire d’un argument.
40°. — De toutes les relations écrites on déduit facilement quesit <nona
1) Cartan (8) p. 272.
de même O91) Qu —ou = Anne ; (= 0,1) d’autre part (992) Qui — On = Ann O1 — À 39 ©n LORS À Si nous considérons alors un mouvement d’entrainement
qui laisse le point 4,, de l’arête de rebroussement fixe, c’est à dire tel que w, = 0 on aura |
QU — Ojj = 0 QG n)
autrement dit la correspondance entre les arêtes de rebroussement (peut qui être arbitraire) étant donnée, la correspondance ponctuelle entre les E,+ générateurs est projective. De plus si on considère un déplacement laissant le point À Jui méme fixe (4 — .… — %,1— 0) on a pour toute (ij)
QG; T @ij = 0
Il en résulte qu’il y a une seule transformation homographique qui amène deux points correspondants en coïncidence de facon que l’application C4 ait lieu. Nous appellerons H cette homographie, dont nous verrons plus loin ($ 51° et suivants) des propriétés projectives intéressantes.
41°, — Considérons maintenant le long de la cowbe C, arête de rebroussement de (s) le repère (r) qui se déduit de (r) en faisant d'écrire au point À une certaine courbe de (s) non situé dans un E,» générateur et soit m,—=dTt ét w;;,—a;; dt, T étant un paramètre de position sur C; les «;; sont des fonctions bieu déterminées de t. Soient A, A;,..., À, les sommets du repère (r) que nous allons faire correspondre respectivement à
PCR A EN OP Pr EN ES
et nous allons désigner par &;; les composantes du mouvement instantané de (r), Les &,, se déduisent des w,; —a;, dr par la substitution d'indices
net 02, 0, 1, N respectivement en
et doivent satisfaire en particulier aux relations suivantes qu'on tire de (511), (512), (513) et (514) par cette substitution:
( Was n —Ù D Lt OU à Mt ll)
Onn — 2 On—1,n-1; On | On 9,n 2 = 0
Din — Oi,n-1 D tr On -3, n-1 5 & Fe a »
Op—9, n—3 — o y, n—2 + 3 On, n—1 = 0 { On 3 n 2— Ün—2, nl OPARCE 1, Nd— On, nd 0
et de même aux relations qu’on déluit de (51 bis) par la même substitution.
Remarquons bien que les repères définis plus haut ($ 31°) satisfont à ces conditions. Nous allons désigner par B B;, ...B, ou (R) le repère le long de l’arête de rebroussement C, de (S), qui se déduit de (r) de la même manière que (R) de (r) et par r, ses composantes du mouvement instantané. Les r,, satisferont eux aussi aux relations suivantes
( Tn—9, n —= 0 Tn—t,n = Tn-9,n1, Tn = Un =... = Tn-3, n — 0 Tan — 2 Tn—1,n—1 The, n-2 — 0 Tai Tin = Tin... ne, n A — 0 (57) 4 Tn 9, n-3 — À Tn—1, n-2 +8 Ti.n-1 =") | Bn—3,n—2 = Tn-9,n-1 Tn-2—= Win-9— 8 = Tnt, n—9 = 0
n 9,: = @n-0,; (0, 1,...,n—Setn—1) Mi — Top — Qui — Ogg, Ta = One — IN2 sm 11) | T6 (tj, 1,30, 1,...,n—Seitn—1) relations qui d’ailleurs ne sont pas toutes indépendentes si l’on tient compte de (56).
Avec ces considérations nous pourrons écrire le système de
relations (57), en se servant des notations déjà employées (K 31°) sous la forme équivalente :
{ (0) Eix = 0 (Te ) Eoo = En bi ne (T9) | (TE) E 0 == For a — E, 9 mn 3— 0, Érer n—2 — 4 n 1 | (TS) Eli — Es, ps"
