C. Relations entre les correspondances Ca, Ti, Ta, T3 et Ti
42°. — Une comparaison des systèmes de relations (T°), (T9), (TŸ), (T®) et (TO) (S$ 41°, 31°, 33°, et 34°) qui se refèrent aux correspondances Ca, Ti, Ta, T3 et T; nous permettra aisément de tirer plusieurs conclusions intéressantes.
Remarquons en premier lieu que dans tous ces systémes le premier groupe de relations (T) (i — 0, 1,,.., 4) est le même et que de ces relations seules on tire tout d’abord.
E,o = A0 &;, Eos — do: COPR ….., E,, n—A —= À, n—1 QE
Si À est alors un déplacement d’entraînement compatible avec ces relations et laissant fixe le point À (&, (4) — 0), on aura
NO NA 0 M ATAAS | 0 AA TAN A = 9,2 elc.-
ce qu? prouve que lorsque la correspondance entre les arêtes de rebroussement est donnée, ces relations déterminent à elles seules jes positions des points B et B;, de la droite [B Be] de l’élément plan [B B, B;] etc. autrement dit on a
(58) B, = 8,0 = B,® = RB,® = B,0 puis
BO = B, + 09 B (59) À BE — BR, + u@ B, + où B G=1, 2, 3, 4)
On tire d’un autre côté des relations dont on parle au
début en tenant compte des relations (56) et analogues
MR, — 0 ti 2... 0) puis (60) == + —=Tnin et (61) PNR ET ET = 0 ce qui nous permettra de poser (62) 7 — AU
t étant un paramètre de position sur C, et À un paramètre arbitraire,
De la dérivation extérieure de relations (60!) en tenant compte de (61) et (62) nous tirerons n—9i [- 2 À et par un calcul simple, en dérivant de nouveau extérieurement ces dernières relations, nous trouverons,
A Ra nm) È u? o ( (63) PME ES AS se — On de + x ai) +
Ti =
Es d}=(=0 1... n)
(Cia — ci44) dt (0), n— 1) avec C1 — C4 — 0, U et les c; étant des nouveaux paramètres, o(t) une fonctions bien déterminée de {. Nous aurons alors
(64) To À Ta + ain. nl RE w
du LA E — S— di + La]
Enfin la dérivation extérieure des relations (63), nous permettra de poser
7 (2 dÀ n (65) Bo at Hennes - SVde — 5 Na +
PAT it) +( À DE bn en vi e Ja W” étant une nouvelle fonction déterminée de t. Posons d’autre part avec les notations du $ précédent
(66) mnt Han (nt) (m4) à
et (67) Uno +: An, n-2 = Celà étant nous tirerons de E, = 0 | À dt —d * d’où
a AU) puis de Es = 0.
On déduit de là, par (64) et (66), en tenant campte des valeurs de uw et À
Es + E; + rue + Re =
)(n+2) f/du u? ?
lon 21 rpg + UT à j'di = Uo, où (n + 1)(n +9) LC OOMES e £ LE US v nec er CU re
et si la correspondance entre les aréles de rebroussement est donné (donc si la fonction f {t) est connue) U sera une fonction bien déterminée de f.
43°. — Ces considérations générales ayant été développées prenons pour commencer le cas n — 8. Soit M un point quelconque de la surface développable (S); nous aurons M = A, + © A Soient N, N;4, N:, Nset N, les points de (S) qui correspondent à M par les correspondances Ca, Ti, To, T3 et T. On aura N=—=B,+ab
et d’après (58)
par conséquent les correspondances Ca, T; To, T3 et T, sont identiques dans l’espace à trois dimensions.
4%, — Soit maintenant dans un E,, M un point de l’hypersurface développable (S) et N, N; N:, Nset N, les points qui se déduisent de M par les correspondances Cu, Ti, To, T3 et Ti. Nous aurons
M— À, + aA,+ GBA N—B,+aB,+8b N, — B + à Dé + BB) (i—1, 9, 8,4)
et d’après (58) et (59) N=N+uÿb
par conséqent dans un espace à quatre dimensions les points N, N,, Ne, Nset N, sont en ligne droite avec le point correspondant B de l’aréle de rebroussement.
Les relations (T°) nous donnent ensuite en tenant compte e (68)
(dl 0 (1) U a -(2 SIL RRS Ed —= 0, Ef == 5 wo, ES = 10 O:, U JU D ce " :
El? = Ke Os E() — S C .
D'autre part les relations BIO Le B() nous donnent en différentiant et identifiant le coéfficients de B: ay = A9 — fs par conséquent
E() Ei 2 u( UD dr u( @, ou aura ainsi l 1 Pet O— —— ÛU u2 Gin a 10 de 1 U (4) :
par conséquent z | N=N-<UB N=N-ZSQUB N, = N — UB NE=UN à UE sd 5 ’ NE Fe à
. Nous déduisons ainsi que les points N, et N, sont confundus el quatre quelconques des cinq points B, N, N,, N et N, forment des rapports anharmoniques numériques fixes.
45°.—Passons maintenant au cas n—5. Nous aurons d’après les relations (Tf) et (68)
Ein — 0 , ED = 0
ED =: U à, à Ep = s U &, EN ; EN —2U&, EU = U&, , En — EU Op
NT 7 ne ë U 6, : ESS = = U OR
et de dB, = d Bi nous déduirons par l’identification des coéfficientsen B Het EU, UD = — LU HU = IU
De même la différentiation des relations pti 2h | et l'identification des coéfficients de B, nous donne (69) —— EU, uŸ = — LU, = — BU, uÿ = —2U tandis que l'identification des coéfficients en B nous donnera (70) Gi = — #99 + #9 + duo — — + du) relations qui nous se viront plus tard ($ 46°). M, N, N;, N2:, Nyet N, ayant toujours la même signification on aura M—=A,+aA, +BA;+7yA N—B,;+0abB, + BB, + 7B N, = BD + a BS + BBD + y DB
et en vertu des relations (59)
N,=N+ufB, + (aus + 25) B par conséquent
[BN] = [BN] + «ÿ [BB] ainsi dans un espace à cinq dimensions les points N, N,, No, N,et N,sont dans un même KE, passant par la tangente B B, correspondante de l’aréte de rebroussement.
Les expressions trouvées pour les uf? nous montrent en plus que les droites B N, et B N; sont confondues et que les rapports anharmoniques de quatre quelconques des cinq droites B B,, B N,, BN,BNet B N, sont des nombres fixes.
46°. — Nous pouvons allier plus loin. Posons
L FRE SDRE
Ÿ et B étant les fonctions de { et de + qui figurent au $ 42°; des
relations auxquelles sont supposées satisfaire les ,,; en particulier ($ 31°) et de (66) nous tirerons d’abord
(Cm DE em DD
Éo (RE ROUES 0 1... 0)
d’où en tenant comte de (63) et (68),
VE — (a 1) 0e) (Hess u ESS Pier dt) alt=
un À D 6) 2 l)(n—2 1 == te, Ü Or + (Cia — Ci44) dt.
Un calcul direct des E!), ; d’après les relations (T{? ) comme nous l’avons fait plus haut pour Ef{) et E{ ($ 45°) nous donnerons par comparaison cf, cj, cf) et c{), que nous introduirons dans (65) et obtiendrons ainsi les expressions de
h) l (} (] Q ra m0 m9 Em (= 0, 1, 9, 8, 4)
et en tenant compte de (67) pour
E20 + ES? + Bi + E5.
Les relations (T°) nous donneront après, en particulièr, ES — 0, “3 V, ET UV JE Ego — + 2 = SU + LV et par conséquent (d’après ue et (70)) TROT ESS sut) #l@r-t)
d’où enfin par (59) nous obtiendrons la relation définitive 24 NLS5N, — BON, L7N —6N,—0.
Considérons alors les points Q=5N HN LION -EN, P=N,—N, P,=N,—N, P,= 110, -60,;
le point P se confond avec B tandis que P, et P, sont sur la tangente à l’arête de rebroussement. D’autre part on a 2N—6Q—70, par conséquent (PQ Ni Ns)= — 5, (M, Q No Ni) = — 10, (M N Q Q) =
Ainsi la droite N;N, coupant la langente en B à l’arêle de rebroussement en un point P,, il existe une droite Q, N Q P: passant par N, qui coupe la droite N,N; (qui passe par B) en un point Q, la droite NN, en un point Q, et la tangente en B à l'arête de rebroussement en un point P, et telle que les raports anharmoniques (B Q N; N3), (Pi Q Ne N3) et (Pa N Qi Qù) sont des nombres fixes.
47%. — Tous ces théorèmes peuvent se généraliser facilement pour ñ => 5. Nous en enoncerons quelques uns sans donner aucune démonstration, qui d’ailleurs n'offre pas de difficulté.
Les points N, N,, N:, N:, N, sont dans un même E,., passant par le E,, osculateur à l’aréte de rebroussement en B.
Le KE, , osculateur et trois quelconques des E,, passant par le E,; osculateur el par un des points N, N,, N, N:, N, font des rapports anharmoniques numériques fixes.
480, — On a un cas particulier intéressant si U—0. Celà correspond au cas où la correspondance entre les arêtes de rebroussement est h5mographique ({$ 35°). On a, en effet, dans ce cas
Elo = 0 par conséquent la C,,2 entre G et C, (qui servait à la définition de la correspondance T;) est aussi une C,,2 (cf. $ 350).
On a alors les théorèmes suivants pour lesquels nous passerons la démonstration :
Les points N, N,, N:, N:, N, sont dans un même E,,, passant par le E, ; osculateur.
Pour n — 5, le rapport anharmonique de quatre quelconques des points B, N, Ni, No, N3, N, sont des nombres fixes.
Pour n >6, le E,; osculateur et trois quelconques des E,..; passant par le E,, osculateur et par un quelconque des points N, N;, No, N:, N, font des rapports anharmoniques numériques fixes.
Enfin par une démonstration un peu plus compliquée on pourrait obtenir pour n —6, dans le cas où la correspondance entre les arêtes de rebroussement est homographique, le théorème suivant, analogue à celui qui a été trouvé plus haut (K 46°).
Si les droites N, N,eï No: N, coupent la langente en B à l’aréte de rebroussement aux points P, el P, il existe une droite passant par N qui coupe les droites N, N;, N; N, et la tangente en B respectivement en Q,, Q et P;, telle que les rapports anharmoniques (P; Q: Ni N:), (P2 Qe No Ni) et (P3 N Qi Q) sont des nombres fixes.
D, La correspondance Cos.
490,— Nous dirons, dans ce qui suit, quelques mots sur les correspondances Cox (k > 5).
Si nous tenons compte les formules (51;), (53) la forme o; devient pour l’hypersurface (s) gs 41. DT et pour l’hypersurface (S) D AXI D XIX.
et si le deux hypersurfaces ont un contact du 5°" ordre on a DA d’où nous déduirons (71) | Co — 0.
C’est cette équation qu’il faut ajouter au système de la C pour obtenir celui de la Ces.
Mais la dérivation extérieure de la relation (53) et de la relation analogue nous donne
; ——— (est e Lo, (da + Sais — 69 + 0013 + 62 6 +3 Cow) | = 0
[8 (dA+3A9,—0,+ 6; AE CU = 0
h, et % étant deux nombres déterminés, « le paramètre introduit dans (52 bis)et C le paramètre analogue pour (S). Si a = A on déduit
= 3 (C — Co) Lo,v, |
par conséquent
G=à et en tenant compte de (52 bis) (72) Qio = w10
Avec les notations du $ 410 de (71) et (72) on déduit:
€ ( Es n—2 ( —= E», n--1À ) —0 “ remet
La première relation montre que U—0, par conséquent la correspondance entre les aréle de rebroussement est homographique, mais cette condition n’est pas suffisante, car il faut tenir compte de la 2°" relation (73).
Réciproquement si (73) sont satisfaites pour les repères à un paramètre que nous venons de considérer, les relations (71) et (72) seront aussi satisfaites pour les repères à plusieurs paramètres ($ 41°), comme on se rend compte par un caleul facile que nous omettrons et alors la Ca sera une C.
Les équations (T°), (TS) et (TS?) dela C prennent dans notre cas la forme très simple
E;; —0 iLk+9 et on se rend facilement compte que ces équations sont indépen dantes du choix du repère (r) pourvu qu’il soit tel que le E, a Ras
soit le E, osculateur à l’arête de rebroussement. Nous pourrons alors prendre comme repère (r) le rèpere de Frenet définiau $ 22°; le repère (R) ne sera pas nécessairement un repère de Frenet pour C1. Deux cas peuvent se présenter.
a) La courbe C est singulière de 1" expèce. La 2° relation (73) exige alors que C, soit aussi au moins de la 1" expéce et cette relation se satisfera alors d'elle-même. Il suffit alors d'établir entre les arêtes de rebroussement C et C, une correspondance homographique pour que la C,,; soit une Co:.
La C2; entre deux hypersurfaces dout les arêles de rebroussement sont des courbes singuhères est toujours possible et dépend de trois constantes arbitraires.
b] La courbe C n'est pas singulière. On a alors
on = A9 , jo = Ne da
5 étant l’are projectif et o un invariont projectif de GC ($ 22°). Mais on a aussi
= — D Ro UN Re LRO
Ÿ étant l’are projectif et R l’invariant de C, analogue à », car les relations (39,), (39)... (39:) du $ 22°, qui suffisent à définir ces éléments, seront vérifiées.
Nous aurons alors
LE ds QAR =D
et ces conditions seront alors suffisantes. Par conséquent la C;; entre deux hypersurfaces (s) et (S) dont les arètes de rebroussement ne sont pas singulières, n’est pas toujours possible; lorsqu’elle est possible elle dépend tout au plus d’une constante arbitraire.
900, — Quelque soit le cas où la C2; est possible, dans un E; par exemple, nous aurons d'après $ 46°
et nous concluerons que pour n — 5 les correspondances Css, Ti, Te, T; et T, sont identiques.
Ce rèsultat nous fait déjà pressentir .e théorème suivant que nous énoncerons sans démonstration :
Pour n—6, les points N, N; N, N3 et N, sont en ligne droite avec le point B de l’aréte de rebroussement et les rapports anharmoniqnes de quatre quelconques des points B, N, No N3 et N, sont des nombres fixes. |
De la même manière on peut énoncer la théorème plus géneral :
Pour n > 7 les points N, N, N, Net N, sont dans un même E,-; passant par le E,, osculateur et trois quelconques des E,&6 passant par le E,, osculateur et par un quelconque des points N° N4, No, N3 et N, forment des rapports anharmoniques numériques fixes.
Des résultats analogues s’obtiennent si nous considérons les correspondances C.,avec k > 5. Nous n’insisterons pas davantage.
E. Propriétés spéciales de l’homographie H dans un E, ou Es.
51°. — Le problème que nous nous proposons maintenant est d’une façon générale le suivant : Trouver en chaque couple de points correspondants quelles sont sur deux hypersurfaces développables (s) et (S) les variétés v, et V, se correspondant par la C2, et passant par ces points, qui par l’homographie H ($ 41°) viendront en contact du 3° ordre (elles auront toutes d’après la définition de la C, un contact du 2° ordre).
Pour traiter ce problème nous reviendrons aux considérations du $ 13°. Suivant les conditions de la Ce si x,.…., x,; X4.…., X, sont les coordonnées non homogènes des points des deux variétés exprimées paramétriquement en fonction de u,.., vu, de manière qu’à deux points se correspondant par la C, correspon-
dent les mêmes valeurs des paramètres, on a pour u, = uf U, =U, |
Ve. 2X ___ ati D X: LR À T; di =, — = ——
Ur DNA, QU moral
par conséquent on aura
(74) V= (at D (Se) Cu - 2 +
k 1 PP | | As) »” D Er NOM NI, eu 2 (2 ous j nl À ) ) ( ë )
