RL

LRO EL 0,04) a &;j 2 Ne 2 y.

a ST d Xi ——— = —— 6j Eÿ Ge Sij à Àj à Le à Xj 9 Le En L ‘i F

( RE 4 PART Non On voit alors immédiatement que l’homologie

== Li

RE SEEN TU RS EAN) 1 CA » On Th h—4 transformera v, en une variété v, telle que pour x, = :: = x, = 0 on aura 0) X; LFP RE æ à 5 X; Ja 5É "A X = 0; SUNSET 0 Dir

et la proposition B se trouve ainsi démontré pour h = 2.

120. — Supposons en dernier lieu, que deux variétés aient en un point commun un contact de Cech du 3° ordre. On pourra par une substitution homographique convenable faire en sorte, d’après ce qu’il précède, qu’elles aient en ce point un contact analytique du 22 ordre. Nous aurons alors, après le dèplacement, les relations (10) avec 5 — 0, et si nous en tenons compte, la relation

Ds Xi = A Dai + BD, & + CD; x:

(est. tn) qui exprimera la dernière condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait contact de Cech du 3"° ordre, donnera par identification

à AN Route > CU:

D, S—f et on déduira les relations (11). La propriété C se trouve donc également démontré pour h — 3 dans toute sa généralité. Les démonstrations que nous venons de donner différent peu de celles de M. BersANo et les simplifie légèrement.

13°. — Pour aller plus loin, nous allons considèrer un repère mobile (r) que nous ferons varier d’une manière déterminée le long de la variété v.. Supposons V, projectivement applicable sur v, avec G; en tous les points correspondants des deux variétés et considérons le long de V, le repère (R) avec lequel viendra coïncider (r) par l’homographie qui réalise en chaque couple de points correspondants le contact géométrique du 3 ordre. Déplaçons v!, le long de V, de manière qu’à chaque instant (à 4 paramètres) ce contact soit réalisé, Un point de V, de coordonnés non homogènes X;,, Xa, ..., X, aura par rapport à (r) un mouvement relatif dont les composantes par rapport à (r) se calculent facilement. Ce sont:

nr n A X; — d Ve + ©; + \; (o; —\ D); ) 0" > X; (OP X; DE Xh Oo ii h=1,

(PR NU) Mais comme ce point est fixe, on aura d’un autre côté n n D 0 D 0 ON x 0, -X NX 0, iZi= h=1

(CE à mn)

2% et en faisant la différence et posant

E; = Q;; —0;; on aura

ñn

(15) AX;—=—E, — \, (Fi — Evo) = X; Ej + X "5 X» :Eno ji i=1 h=1 GI 2m n) On tire d'autre part des relations (11) qui expriment les

conditions de contact géométrique du 3" ordre, le développement suivant :

| Xi = (ti)o > (es) (ty —U; 2 a ms D | ÿ “.

V=1 , S—=1 a Ur aus k

0 0 1 PT : à Li (45 bis) (uy — Ur) (Us — Us) JRATE 5 er + rs — +

NOTE al, aus aus aus

d Ti . ) Y; 0 + + LL, e ; | Cu, —u;) (us — us) (us — U) +

JU» o c l NS) 6

(LR) D'après ces relations on a k X; —— [CE à Li 1 2 Li 1 pa = (15 ter) Do ER LÉ

9 Ur 2 Us/, (u, — u,) Ji u°) (us — ur) :

Si nous faisons maintenant varier üf , Ua , ..., Uy nous tirerons en différentiant les relations (15 bis) après simplification

k l 2 à & AX;= — — ) 8 —— + 4 LE è 5) Lys ou ou, l

ANRT aus},

(us, — us) (us — us) d'u +...

Revenons alors au choix fait au $ 14° du système de référence et des paramètres; avec ce choix on a

0 0 Met brel OO EN, et par conséquent 1 k (16) | AX;—=— D] : » a Et + Lo Eir —+ Ktr £is) Ty Æs O4 + .…

OESE AANPESS 0)

avec ce méme choix les relations (15 ter) deviennent k (16 bis) Xi = %; nn S 1 DA et else Sin Kiy Bis) Cr Le Le +=. CNT) et ces relations donnent l’écart qui existe entre deux points correspondants.

Posons dans (14) L (2) k D, — ". : Ts —= k + :

(17) D, 2 Mie Li À (=k+L1,...,n) et en tentant compte de ces expressions, introduisons les valeurs des æ, d’après les développement (14) dans (16 bis) et ces dernières ainsi modifiées dans (15) et identifions avec (16). L’identification des termes constant, du 1° et du 2" ordre en %,, æ,,..., x, nous donnera sans difficulté les relations suivantes, qui formeront la système différentiel de la G; :

{ { E=o, F,=o E;; == 0: be — 10 Eig = 0 (1 j)

nan bot NU. mu, Eee 0

n (9 En — LE d ? LE rs 2 Miie Evo: ST Ki OR - > Xin Op

L=ki+1 h=1

nn

E,, = Mije Loi = — ki OS - kn Op (QE 1) (b) ie on oo (let CE

NT, eat 27 #4 ( pk 1, n Si dans ces relations on fait x, — 0, on obtient la système de la C;.

449, — Soit alors Q le nombre des formes 9 linéairement indépendantes ; on a Q < / k(k +1) et À + Q est le nombre de dimensions de l’hyperplan asculateur de 1’ ordre ($ 4°) à v,'). Cela étant, on a entre les coéfficients m;,, des formes » (?.

1) Cartan (7) p. 180.

S=Skk+1) — Q relations linéaires indépendantes de la forme 19) A m;jo = 0 Ce À 1 A ETES! ie

De ces relations et de (18 b) on déduit immédiatement des relations telles que

“ — 1) (a) TÉCDNTID EN TUE 17 h=1 k (a) =; » Apr Lu

Di

& — E DS ( Re CAR Le

rame ce er 0 ce ce

Si alors la forme Hoeuts

> AEGEO — 0,

| qui définit dans un E,; un cône caractéristique, a son discriminant nul, on voit facilement que

(21) » An fu = 9; hi=1 dans ce cas, en effet, on a entre les premiers membres 0," des relations (20) une relation linéaire et homogène à coéfficients v, non tous nuls dela forme

+ Vi (5 — 0

D | et par conséquent

k E > An An » V; O3 — 0, hb=1 er ce qui démontre la relation (21).

Cela étant plusieurs cas sont à distinguer.

[I $S— 0. Il n’y a aucune relation dela forme (19) et parmi les formes ou il y en az k(k+1) linéairement indépendentes. On peut trouver dans ce cas des coéfficients x, tels qu'on ait

ki ñn