DO A

ou :

(23) lg SE Mije Le.

Q=k+ 1 IL SZ 2; on peut toujours s'arranger de manière que S — 1 cônes de base du réseau de cônes caractéristiques soient dégénérés. On aura $S — 1 => 1 relations telles que (21). Si le S”° cône du réseau est lui aussi dégénéré on aura une S"° relation

telle que (21). Dans le cas contraire supposons, par exemple, que la forme:

n’est pas dégénérée. On tire des relations (20) correspondant à a = 1 des relations telles que

k k = F EN ie +- ) Kih CORERSS cs ) h A (Op

où :

DE si T

=) et où les a!) désignent les mineurs du déterminant des Aÿ divisés par la valeur même de ce déterminant. Si nous tenons compte

de ces expressions une quelconque des relations (20) relative à a — ? deviendra:

1Y “es AC af=9,

1=1 j—=1 et comme les quantités, 2 f Fr Y A® af, = ne peuvent pas être toutes nulles‘) on aura nécessairement

(21) Le > An us — 0.

1) Car Ares le système d'équations linéaires

3 a® Et (Gi = 1,2, k),

Î=1 . 4 , ( ü : : 1. : £ admettrait : systèmes de solutions ;;, — 4 pa (= 1,2,..k), indépendantes ce quiest impossible.

[IT. S—1 et le cône caractéristique unique est dégénéré. On aura dans ce cas également d’après ce qui précède.

k (21) Af on = 0 h, 1=1 Dans tous ces trois cas par conséquent le cône k Du 80 80 = 0 1, j=1 appartient au réseau assymptotique et on aura toujours des relations telles que (22) et (23). Cela étant, l’homologie ee %; D 1 — D Lo Le Q—k+1 transformera v, en une variété v, qui aura avec V, un contact analytique du 3° ordre comme le montre un calcul facile.

15°. — Le cas S—1, où le cône caractéristique n’est pas dégénéré, doit être traité à part. Nous verrous justement qu'il présentera un cas d'exception. Nous voulons d’abord caractériser d’une autre manière les variétés appartenant à cette catégorie. On a dans ce cas, en effet, une seule relation de la forme

(24) D Ai Mije —= () CEE ER Fe » À)

Soit alors

les équations dela substitution homographique qui font passer d’un repère fixe (caractérisé par les coordonnées homogènes x) au repère choisi au $ 14°. On a les relations

NW = 0 m—=0 TRS n

qui expriment que le point qui correspond à w, = u? est l’origine du nouveau repère et que le plan tangent en ce point a pour équations par rapport à ce nouveau repère