CHAPITRE IT

SOLUTIONS DES ÉQUATIONS D'ÉQUILIBRE. — EXPRESSIONS DE LA POUSSÉE EXERCÉE PAR LA MASSE PULVÉRULENTE CONTRE LE MUR QUI LA CONTIENT.

Solution de Maurice Lévy. — Les solutions voisines de Barré de Saint-Venant. Les massifs hétérogènes de Boussinesq. — Approximations par défaut et par excès de la poussée.

9. Le système précédent d'équations aux dérivées partielles est trop complexe pour qu'il soit possible d’en envisager l'intégrale générale. En fait, on se limite au cas où les lignes d’égale inclinaison 7 des pres-

sions principales, c’est-à-dire les lignes 7 — const., constituent un système de droites concourantes dans une partie du massif avee parallélisme de ces pressions dans tout le reste.

Considérons alors le point de concours de ces droites. Le coelficient angulaire de chacune d’elles est caractéristique de chaque inclinaison 7, qui, par suite, se trouve être indépendante du rayon polaire r et ne dépendre, par sa tangente, que du seul angle polaire 0, ou encore constituer une fonction homogène de degré zéro des quantités r sin et r cos. Le terme en % de nos dernières équations s’évanouit alors; et si l’on multiplie chaque autre terme des deux équations par r?, et encore leur dernier terme par la quantité cos?0 + sin?0 — 1; on reconnaît que par raison d’homogénéité, la pression moyenne p devra être une fonction homogène du premier degré des quantités r sind et r cosÜ, c’est-à-dire être simplement proportionnelle au rayon polaire r, de sorte que l’on pourra poser

P — ras

où P sera indépendant de r et ne dépendra par suite que de l’angle polaire 1.

10. Le système (9), compte tenu de ces résultats, pourra alors s’écrire, en remplaçant les composantes 9 X et pYŸ par leurs valeurs — Il cosw et + H sinw, en fonction du poids spécifique IT de. la masse sablonneuse

P{cosÿ + sino cos(2y —6)]

Fe PQ sinÿ + sino sin(2y — Ü) | + RC —. cos

dô : k ï . g » dû , (10) , 3e !

P{sing + sinsino(2y —4)]

ue —— nn:

[cos Ÿ — sin © cos(2y — 0)| + 2P sino sin(2y — 6) î nl À T J. dô

ou encore, en isolant les termes différentiels

en ; Ge P sin2(y—- 0)

= a LOS 2% — 0) —sino]=1H sin(27 +0 — Ü), È ; ô ) Ô

d'£ dô

11] Colon Ole Sin @ COS (27 + 6) — 0) |.

(10 bis) ‘

P costo + 2P smo [cos2(y — 4) —sino]

11. L'intégrale générale de ce système ne semble pas pouvoir être explicitée; mais on peut, pour des conditions aux limites données, obtenir les intégrales particuhères correspondantes.

Le cas le plus usuel est celui d’une surface libre du talus supérieur, par conséquent d’une valeur nulle de p ou P sur celui-ci. On peut alors considérer un autre plan — le mur idéal de Maurice Lévy —correspondant à une surface libre du talus supérieur, dont la trace passant par l’origine et inclinée sur la verticale descendante d’un angle 1, est telle que la poussée du massif (à surface libre au talus supérieur) sur un de ses éléments y fasse avec la normale à cet élément

& oi

uelle à la composante normale changée de signe; ce qui exprime ainsi en fat la condition de glissement contre le plan en question. Analytiquement, on exprimera ces conditions en écrivant que, pour ces directions particulières, c’est-à-dire pour des valeurs données de 0, les valeurs correspondantes de p ou P et de 7 vérifient les équations indéfinies de l’équiibre. L'existence d’une surface libre, conduit en

faisant dans le système (10 bis) avec D = -, P égal à zéro, aux deux relations suivantes: d’abord :

(Ur Sin GO + Sin Sin(2y +) oO,

qui fournit la valeur constante de 7 sur la surface libre: et au moyen d’une transformation facile

%) VON ilSin os

qui dérive en fait de l’expression

> L sinosin2:

I sine (12) pee en) sin Q sin 2 qu'il est aisé d’obtenir directement du système cartésien (8), en remarquant que la condition de surface | bre conduit à des valeurs de p ou P

et de 7 indépendantes de y.

Sur le plan Lévy d'autre part, l’angle & qui rend maximum le rap-

port ——> et qui n’est autre que l’angle de terre coulante, est relié à