SIN (2%1 + 20 — 1—@) + COST
c’est-à-dire la valeur (13 bis) pour 1. On aura aussi
sin(2y; +20 — 1) cos o
( 1e JS = Il
qui fournit la valeur de P sur le plan Lévy et permet de retrouver de suite, en y remplaçant y, par sa valeur (13) et remarquant que la poussée P sur l’élément d’aire vaut p cos® ou Prcos®, l’expression de Maurice Lévy
(15) 8 —ILr cos(o +i).
12. Mais soit un plan quelconque passant par l’origine et dont la position est déterminée par l’angle 0. La valeur de P des éléments plans relatifs à cette direction étant retenue égale à (12), la valeur correspondante de 7 s’obtiendra de la manière suivante.
Multiplions respectivement par —- sin0 et + cosÜ les deux équations indéfinies de l'équilibre (10), et ajoutons-les membre à membre, on a
alors dP
dû Ê
P sinosin(2y — 6) sing Cos(27 — Ü)]
+2 Psinpsin2(x 6) ——\l'snf(aze ")) dé qui, si nous y remplaçons P par sa valeur actuelle (12), donne l’équation du premier ordre en y après évanouissement des dénominateurs, et d’autres réductions immédiates
(16) 2 sin Cosÿ sino sin2(y — Ü) . — sinf[ sinw + sinosin(2y + &)|].
Cette équation est du reste valable dans les limites physiques où valent les équations générales elles-mêmes, et où est susceptible de se produire lPéquihbre-limite de la masse sablonneuse, c’est-à-dire entre le plan 0 — —w +: du mur idéal, et la surface libre du talus supérieur. Elle montre en particulier que sur la surface libre, c’est-à-dire
pour Ü— :; on aura comme l’on à vu [sine + sins sin(27 + w)] nul,
ce qui résulte du fait que son premier membre devient alors nul, la
ent AC : RD à :
dérivée =; ne pouvant prendre une valeur infinie. C’est en effet près
fo
du plan supérieur, soit loin du mur que les pressions se répartissent le mueux, comme si le mur n’existait pas, c’est-à-dire ne dépendent plus que de la profondeur sous la surface, comme c’est le cas pour la surface
c LES d' ! ; hbre où l’on a DE o. Mais alors le second membre de (16) qui,
au facteur sinÜ près, ne dépend pas de 0, et se trouve avoir la valeur ZéT0 pour D — 7 conservera donc nécessairement cette valeur nulle dans le champ d’existence du problème, c’est-à-dire pour les valeurs de l’angle 0 comprises entre (—«w +1) et + 2 Il en résulte, tous les
facteurs du premier membre de l’équation (16) ne prenant dans cet intervalle que des valeurs finies et non nulles, que le coefficient diffé-
x d'y 2 : : . ë rentiel 7 est nul dans tout cet intervalle, ce qui revient à dire que
lPinchinaison /y conserve la valeur constante (11). Nous pouvons donc dire que l’ensemble des expressions de P et 7 P—— il TE co66 Sin 9 SIn27 et
Sin® + sin®sin(27 + )—0O
représentent tout au moins entre les deux plans-limites considérés, ainsi du reste que sur ces plans eux-mêmes, comme il est facile de Île vérifier directement sur les équations (10 bis) elles-mêmes, et pour le cas d’une surface hibre du talus supérieur, lintégrale du système d’équations aux dérivées partielles. Cette solution est d’ailleurs unique, car des deux seules valeurs négatives correspondant à des angles aigus que donnerait la résolution en 7 de l’équation (11), une seule doit être retenue, la plus petite en valeur absolue; la plus grande correspondant non au problème de la poussée, mais de la butée des terres.
On vérifie enfin aisément l'identité de la valeur (15) particulière de la poussée sur le plan Lévy avec l'expression générale (12) de celle-ci, où l’on a fait Ü — 1 —«, dès que l’on y égalise dans celle-là, comme Pondot ay
13. Ce ne sera donc que dans le cas, le seul usuel, où l’inclinaison du mur serait supérieure (négativement) à celle du mur idéal soit —« + 1, et dans ce seul petit intervalle que 7 pourrait varier avec 0. Soient alors p° ou P’ (avec. p’ — P’r, où P’ ne dépend plus que de #),
