FR P,+P

(26) sing'— soit SnAD = Or, on a de suite par (22) en calculant comme plus haut, et en remplaçant ce par sa valeur (25) et 27 par la sienne (13) les expressions N,+N NN’ de ; AE

et T,; ce qui permet d’écrire après quelques réduc-

tions faciles

sin? o | coso sin (8, — 0) cos(9, — à) | =} = : * cos (

sin?@ @ — Ô) cosû — sin o sin (0, — Ü)cos(0, — à)

La fraction du second membre varie dans le champ du problème, en sens inverse de 0, ou dans le même sens que les variations de (—) ou de (0, — 0). Ceci résulte de ce que la dérivée de cette fraction en 0 est du signe de la quantité négative [— cos0, cos(o — 3)]. Or, en valeur absolue, 0 varie entre 0, et 0, — 2; pour 0 — 0, cette fraction est nulle,

sin in? ®

vaut l’unité d’où l'égalité de +’ à ©. Puis, lorsque Ü

et le rapport

S tend vers Ü,—, la fraction croît pour atteindre son maximum pour 0 — 0, — à contre le mur, au moment où l’angle ©’ caractéristique de l’angle polaire 0, prendra sa plus forte valeur ®, obtenue en faisantdans la relation précédente 0 — 0, — 2, ce qui donne après division des deux termes de la fraction par le facteur cos(0, — :) et quelques réductions faciles et prenant les racines carrées

sind : 0?

27 = == Ne he cie (27) Sin ® cos :

O2 Le]

Ces résultats montrent :

10 Que, au degré d’approximation poursuivi, on a l'égalité de l’angle &”’ voire D, à l’angle © de terre coulante, ce quirevient à dire que l’état d'équilibre obtenu, aux tçrmes près du second ordre en la petite différence à = 0, — 0, n’est autre que l’état d’équilibre-limite de la masse pulvérulente homogène considérée.

29 Que les formules précédentes, sans que l’on y considère 2 petit, sont exactes, si on les regarde comme caractérisant non plus la masse pulvérulente homogène considérée, mais un massif hétérogène, qui aurait le long de chaque couche d’inclhinaison polaire 0, comme angle de frotlement intérieur ou de terre coulante ©, l’angle variable ©’ valant justement © pour la couche correspondant à la position du mur idéal et atteignant son maximum ® contre le mur. La paroi de celui-ei est, d'autre part, supposée telle que l’angle de frottement extérieur reste toujours égal à © inférieur à ®D.

16. Ce dernier résultat est intéressant, car si nous appliquions à la masse sablonneuse homogène considérée d’angle + constant de frottement

ho Le

intérieur et extérieur les formules précédentes pour des valeurs non petites de © la valeur de sins deviendrait sensiblement inférieure au sinus contre le mur de l’angle ® de frottement intérieur du massif hétérogène dont nous venons de parler, et pour lequel les formules précédentes seraient exactes. De sorte que, + étant toujours supérieur à ©, et d'autant plus contre le mur lorsque ©’ atteint son maximum , les couches du massif hétérogène ont, surtout contre le mur, une moindre tendance à s’ébouler que les couches correspondantes de la masse sablonneuse homogène; ce qui revient à dire que la poussée exercée sur le mur par le massif hétérogène pour lequel les formules sont exactes, serait plus faible que celle exercée réellement par la masse sablonneuse homogène considérée.

Mais, soit alors un autre massif hétérogène qui serait caractérisé par le maximum ® de l’angle +’, égal à l’angle constant de frottement intérieur de la masse sablonneuse homogène. L’angle © dans nos formules y prendrait alors une valeur plus petite dont le sinus vaudrait (27) sind cos?, où ® vaut justement l’angle de terre coulante. L’angle ©” qui est inférieur à ® est dont inférieur à l’angle de terre coulante. Le massif hétérogène considéré a, par suite, des angles de frottement intérieur et extérieur, inférieurs à ceux de la masse sablonneuse homogène, et comporte alors plus particulièrement contre le mur des couches qui tendent à s’ébouler plus vite que celles correspondantes de la masse homogène; ce qui revient à dire que la poussée exercée sur le mur par ce massif hétérogène, pour lequel les formules précédentes, où l’on tiendra compte des valeurs actuelles des angles de frottement, sont toujours exactes, serait plus forte que celle exercée par la masse sablonneuse homogène considérée.

17. On a ainsi, avec Boussinesq, un procédé permettant d’obtenir une limite par défaut, et une limite par excès de la poussée exercée sur le mur par la masse pulvérulente homogène, ou ce qui revient au même, et qui est plus pratique, de sa composante normale, en admettant que le renversement du mur tend à se produire par rotation autour d’un axe normal au plan de la poussée situé à la base du mur et dans le plan de sa paroi intérieure; et que par conséquent c’est le moment, plus que la poussée elle-même, qui importe. Mais il est toutefois nécessaire d’avoir des limites par défaut et par excès suflisamment rapprochées; comme, d’autre part, de pouvoir mesurer ces

valeurs par défaut ou par excès, suivant la direction effective de la poussée, c’est-à-dire en laissant dans les deux cas à l’angle de frottement extérieur 9, sa valeur physique donnée. Or, dans la limite par excès, où ® a la valeur de l’angle constant de frottement intérieur et extérieur de la masse homogène existante, il y a lieu de remarquer que prendre 9, égal à ©, comme nous l’avons fait, c’est prendre pour l’angle de frottement extérieur du massif hétérogène une valeur certainement plus faible qu’elle n’est dans la réalité physique, ou trop surévaluer la valeur par excès de la poussée ou de son moment. Le nueux est donc de partir d’une valeur ©, de l’angle de frottement extérieur du massif hétérogène; l’angle D ne vaudra plus alors exactement l’angle ©; et l’on pourra déterminer l’angle 2, indétérminé jusqu’alors, mais inférieur à ®, ou ce qui revient au même la nouvelle valeur de © en écrivant que la composante normale de la poussée AT prendra pour eette valeur de + sa plus petite valeur; de sorte que l’on aura ainsi, et c’est ce qui importe, une expression de la plus petite valeur par excès de la poussée.

Posons alors, © désignant maintenant cette nouvellevaleur de 2,

sin ® I

sing COSE

où € représente un angle auxiliaire, aigu et positif, indéterminé avec 9,, ë . . . . . 5 SN . .

c'est-à-dire avec ©, mais qui deviendrait égal à 2°, si l'angle © valait

l’angle de frottement de la masse sablonneuse homogène. La relation (31), ses deux membres étant divisés par sin?o, écrite

, : L contre le mur — où le premier membre vaudra == = 1 + tange, LOST E

et où l’on remplacera dans le second les efforts par leurs valeurs tirées de (22), mais en y laissant, dans leur développement, indéterminé le coeflicient c qui, comme ®, ne vaudrait sa valeur précédente que pour € — 0, c’est-à-dire pour l’angle + égal à l’angle de frottement

de la masse sablonneuse homogène existante | — s’écrira, après suppres-

sion de l’unité dans les deux membres, et extraction de leur racine carrée qui donne deux termes positifs

c cos 0, Sin 9 cos ® lande = — - + — , cos (0, — d) cos® — « cosb, sind sino d’où l’on tire cos cos (0, — À) sine .

cos(® — €) cos, sind

VoT-

; + | D'autre part, la condition de glissement ou frottement contre le : 5 f[— NH Ge

mur, Soit maintenant | & ) — tang®,, s’écrira en tenant compte des expressions (23) et (24) de % et de A, et y remplaçant c par sa dernière valeur,

tango, COS(® — E +20)

sinQ® COSE — sin sin(® —E +20)

La composante normale de la poussée vaut alors en valeur absolue

no sin k Sin € PISE COR ET Co o, 4 = jo sé COS (p.210) En = SIN O0 |E tango, tango, | COS(o — €) : sin € ae On y remplacera le quotient par sa valeur précédente, et la lang o,

pression moyenne p par sa valeur courante (12) que l’on peut mettre cos(o + 1) cosÿ COS® COS(G — 1)

(dernier alinéa du n° 12) sous la forme Ifr

18. Tenons compte enfin, dans le but d'introduire l’angle 2’ d’incli- P ) 8 naison du mur sur la verticale, de la relation à — 1’ — à, et remarquons ue Ü vaut en valeur absolue © — 1’. Il viendra pour valeur de la If composante normale de la poussée (28), après réductions simples

effectuées, .Cos(o + + à) cos(o — r/) cose

ON - < « COS (uw — 1 — À) cos(o — €)

[1— sind sin(o — € + 20)],

et l’on aura pour la valeur supérieure la plus faible que nous désignerons par P,, de cette composante

(0) P,,= #'ITr,

cos(o + + à) cos(w — 1”) cose

co)(® — &'— À) cos(o — €)

(30) Le [ir — sin ® sin(o — € + 20) |,

où l’on a [en utilisant les relations (13 bus) et (11) et se rappelant qu’il y a lieu de ne considérer que la plus petite en valeur absolue des deux solutions 7 de celle-ci] pour valeur de = —; +1’ en fonction des inclinaisons données «© et 1’ du talus et du mur respectivement sur l'horizontale et la verticale descendante

(Co) RENTE ND i . SinG no Ole mp Per tin — GA TCSIR 2 é 2 SIN @

dk’ do

On a de suite, d’autre part, l'expression de la limite inférieure par défaut P; correspondante en partant des valeurs (23, 24) de & et de 9t établies plus haut, avec la valeur (25) de c, et contre le mur

ro cos(o + Ô D— nt ne RE) > tango cos (p — 0)

soit, en remplaçant p par sa valeur (12), (31) | Pire avec

(32) ke

cos® cos(o + {+ Ô) cos(o — i')cos(p + Ô) cos (uw — i'— À) cos)® — À) :

où © a la même valeur que précédemment, mais où l’angle + vaut l’angle de frottement de la masse sablonneuse homogène existante.

La première limite supérieure que nous avions envisagée aurait pour expression (33) P:—KIr:

où X serait donné par la même fraction que celle correspondant à la

valeur de k,, avec la même valeur de 2, mais où + serait fourni par la

solution de l’équation sino — sin ® cos,

où ® vaudrait alors l’angle de terre coulante de la masse pulvérulente homogène donnée, c’est-à-dire la valeur de © dans le calcul de 4.