CHAPITRE HE

DES COEFFICIENTS DE POUSSÉE DANS LE CAS DU MUR VERTICAL. ÉTUDE DE LA PLUS PETITE LIMITE SUPÉRIEURE.

De la plus petite limite par excès. — Existence d’un minimum-unique. — Sa recherche pratique. — Formule approchée pour ©.

19. Bornons-nous actuellement au cas déjà complexe, où l’angle 1’ est nul, c’est-à-dire au cas du mur vertical. Introduisons l'angle aigu

et positif &’ défini par la relation

ne ex . Sino : AS UG) (54) G'— AFC SIN —— » Soit SING'— - :

sin @ Sin @

L’angle à vaudra alors

valeur dont nous aurons à tenir compte dans les expressions des coefficients k,, k, et k’. Occupons-nous du reste tout d’abord du coefficient X’ dont l’étude présente le plus de difficultés. Sa valeur (30), dans ce cas, prend la forme

__/T DO) sin - COS €

(35) £'— cosw — a + 4 [1 -— sin® cos(o'— w +e)] T oO! + © cos ( ? ) cos(o — +)

ou encore, en introduisant les paramètres auxiliaires À et Lx, définis sans ambiguïté par les relations

(36) cos G'Sin® — À, sine sin ® —

et qui permettent d’écrire

prendra l'écriture

cos (cos — À)?

È - U Sin) + sino cos |(coso —u).

cos'® sing coso Fi 1 1( A)

Notons du reste, de suite, que par leur définition même, les paramètres À et 1 peuvent se mettre sous la forme

(3 | À—+ Vsin?® — sin?w —+ V/sin( o +w)sin( o —w), 2)

| U=+ Vsin?® — Sin?® —+ Vsin(® +o)sin(d —o),

où l’on reconnaît aisément leur loi de variation. On peut aussi écrire

(cosw + À) (cosw — À) — cos; (cos® +) (cos® — u) — cos? D.

ce qui permet de reconnaître que les quatre facteurs cos -— À, cos + À, d’une part; cos? + 4, cos®—u, d'autre part, ayant deux à deux leur somme et leur produit positifs, sont eux-mêmes toujours positifs.

Là w r dk! .

20. La dérivée E se met facilement sous la forme k dk! cosw (cos — À)? Ë (38) Rae Less ) (cosg—p)

do cos® cos?o sin?o

où € représente le trinome du second degré en u

(39) E—— p? sine (2 sin?9 cos + À)

— u[2sino cosw + À sin(o — w)]+ À sin?9 coso sin(o —w),

tous les autres facteurs du second membre étant sans cesse positifs.

21. Posons encore, en désignant par Ÿ un angle auxiliaire aigu et

positif 2 Àsin(®—w) (AO cos? © sino. since

LME RUEe ; À sin(® —&) ainsi qu'il est légitime puisque chacun des facteurs | - et | ———

+ COS 6) ; COS 6) Sin @ du premier membre est respectivement positif et inférieur à l’unité. La fonction sinŸ et l’angle Ÿ lui-même sont ainsi définis sans ambiguïté et à chaque valeur de © dans le champ du problème, correspondra une et une seule valeur de Ÿ. La fonction sin Ÿ varie du reste d’une manière continue, dans le même sens que © et dans un sens contraire à w, ainsi

qu'il résulte des deux écritures

d'sind __ cosy sin?@ sin (o — o) + À sin DT) ce? ù (Gr) de À sin?o cos?

dsin® sm sin(o —&)cos?o + À? cosw CONNUE À sin® cos*c)

3 IR! ie L'expression (38) de pourra donc, en mettant en évidence hors

de Ë le facteur À sin(p — w) sin?

COS® + pt

du second degré en 4, le paramètre À par sa valeur tirée de (4a) qui introduira l’angle auxiliaire Ÿ, s’écrire aisément après quelques réductions

» puis en remplaçant dans le trinome

faciles dk! __ cosw sin(o —&) (cosw® — À)? coso — pr d? cos’ cos? B . cosp+m

(a CEpRe NC 0 I 2 < | L?sinw(coso + pi) Sinosin(o —0) 4 ado et

DU 2U COS Ë “ cos? D |.

sin D sin Y |

Dior

Sous cette forme on voit de suite le signe de 2 les facteurs du

second membre y constituent en effet un ensemble toujours positif. D’autre part, dans chaque fraction du crochet où il figure, sinŸ au dénominateur varie dans le même sens que #; cos et x aux numérateurs varient en sens inverse; de sorte que si l’on tient compte de leur signe négatif, on reconnaît que chacune de ces fractions, et par suite le crochet lui-même, varie dans le même sens que +. Le crochet pour © croissant dans son champ d’existence de © à ® variera done, et ce constamment dans le même sens de l'infini négatif à la quantité + cos?®.

dk’

On en conclut que la dérivée =; d’abord négative pour + = w,

puis finalement positive pour © — ®, s’annule une fois et une fois seulement pour une valeur intermédiaire qui, vu la forme (38) de cette dérivée, correspond évidemment à une solution de l’équation £ — 0.

La quantité k” ayant sa dérivée d’abord négative, puis positive, admet donc bien le minimum, d’ailleurs unique, cherché; et celui-ci se produit pour une valeur de © comprise entre w et ®, et satisfaisant à l'équation £ —o, valeur dont notre transformation même prouve lexistence.

22. Pour obtenir d’une manière pratique la racine » de l’équation

$ dÂ transcendante — do

cette équation comme une équation du second degré en

’ . , . Fr — 0, ou mieux de l’équation £ — 0, nous regarderons

De la valeur de 1, 1l sera facile de déterminer + lui-même sans ambiguïté puisque nous savons que nous n’aurons qu'une racine convenable © positive dans l’intervalle d’existence wD. Au reste, cette inconnue 1 a un certain intérêt par elle-même, car elle indique, en somme, le degré d’hétérogénéité du massif en chaque point. Et nous appliquerons alors à cette équation £ — 0, qui peut, après avoir changé tous les signes de son premier membre, se mettre sous la forme réduite au? + bu —e— 0, où les coeflicients abe sont alors positifs, le procédé de résolution par approximations successives.

Supposons donc l’équation considérée, mise sous lécriture particulière (42) BJ (H)

et négligeons les termes du second membre qui contiendraient p. Nous trouvons alors pour & une certaine valeur y. Si alors nous substituons à cette valeur 4, dans le second membre de l’équation précédente, nous obtiendrons une seconde valeur

= fu )

qui devra être plus approchée de la valeur exacte de 4, que 3 et si l’on substitue encore cette seconde valeur à la place de : dans le second membre de l’équation (42), on sera conduit à une troisième valeur

et ainsi de suite, les valeurs 11,, U,, u4 devant converger vers la valeur exacte de que nous appellerons m. Pour que ceci ait heu, il faut et . , ° 2 2 Q 2

il suffit que, d’une manière générale, 4, soit plus approchée de m que u:, ce qui revient à écrire la condition

Mais comme on a

HT Qu) el mi NtnD) l’inégalité précédente devient

= Jr) | fasses ha

c’est-à-dire encore puisque les doivent tendre vers m MATE OUT AO UEeT- Au reste, si l’on remarque que l’on peut également écrire lp mm) < fe) pu me |,

on reconnaît en outre que la quantité dérivée f”’(u) indique à peu près la rapidité de la convergence à la racine exacte m des valeurs approchées Hu Ha Ps:

Ici l'équation du second degré, c’est-à-dire le trinome (39) égalé à zéro, se mettra sous la forme

720 —— ET AI ES (4) = + b Fa

et nous devrons vérifier, pour que la méthode soit applicable, l’inégalité