HOME TRE O,19218 0 ,09962 0,01899 O

DO Rene 0,14156 0, 10788 0,07258 0,03779 0,0091 0

on en déduit facilement les valeurs exactes du facteur correctif A

SE D, Oo. 100. 200. 300. 400. 500.

(55) ! DORÉ 1,0197 0,8421 1 DOVE ne 1,0197 0,9902 0,8047 1 | HO er CE 1,0168 0,8782 0,8241 0,8606 1 DOME LE 1,0123 0,9055 0,8407 0,8170 0 ,8600 1

Si nous reportons graphiquement en ordonnées ces valeurs de A suivant les valeurs correspondantes de © en abscisses, nous voyons que les courbes représentatives des À ainsi obtenues coupent l’horizontale d’ordonnée l’unité, en des points presque confondus, voisins de l’abscisse

ne l ; - :

(Nous avons déjà vu que ; avait ses valeurs extrêmes comprises »

entre 3 —0,027 et ;- —0,0215 environ.) D'autre part, les valeurs F / . A7 . .

de la fonction v qui représente la petite quantité dont pour © — 0,

le rapport ; surpasse l’unité, dans ces conditions, seraient les sui-

vantes [(55), première colonne]

Vent es ner 0,0107 0,0197 0,0168 0,0123

Notre approximation, et c’est là en fait la seule approximation de la méthode, consiste alors à regarder d’une part la fonction » peu variable, comme constante et égale à une valeur moyenne 0,0180;

, Nr . L et comme constante également la quantité peu variable ; que nous | I remplacerons par la valeur moyenne ; — 0,025. L’expression (45) ou (49) devient alors, en tenant compte de (54), et en y faisant comme on vient de le dire {= 40, et v — 0,018

tane ®

sin? W I aire cé É 1 | sin*® ape 5 É Di D Re)

8 COS? ù

où %, (') désigne une valeur approchée de 9, et où, comme l’on sait, l’angle VW, ou mieux son sinus, dérive de l'expression (40) de sind, où l’on a introduit l’angle ® à la place de 2.

C’est la formule (56) que nous proposons pour le calcul de l’angle 2. La formule (48) proposée par Boussinesq pour le cas du talus horizontal serait donc à remplacer par celle d’un calcul au moins aussi simple

tang ® tang ©, — = ; 5 Ÿo

8 cos? e DE à) ‘| 2

qui non seulement a l’avantage, comme nous le verrons plus loin, de fournir une meilleure approximation, mais qui présente surtout l'intérêt de rentrer dans le cadre d’une expression d’application plus vaste,

DPMAOTOES

() Deux essais non reproduits ici nous avaient donné des valeurs ©, et ©, moins L2

approchées que 9,.

to ee

Q , > , Q Q p rer

puisqu'elle n’est qu’un cas particulier pour © = o de la formule générale (56) que nous proposons.

29. Mais il faut noter que notre approximation à consisté à remplacer le facteur exact À, par le facteur approché À,, se déduisant du précédent, en y faisant © et v constants, et dont la courbe représentative n’est autre qu’une parabole dont les ordonnées s’écartent très peu de celles de la courbe À.

Nous devons alors remarquer que lintroduction de coellicients numériques moyens empêche de se rendre compte a priori, et du degré d’approximation lui-même, et surtout du sens de cette approximation. Nous ignorons par suite, a priort, la répercussion que cette approximation peut avoir sur le coefficient k’ lui-même que nous cherchons à évaluer; et c’est là ce qui importe. Or, il est possible, par l’emploi de la théorie des erreurs, de s’assurer de la bonne approximation de cette formule pour toutes les valeurs usuelles de ®.

On sait que l'erreur absolue commise dans un calcul quelconque effectué sur une grandeur © dont on n'a qu'une valeur approchée | par la valeur que prend

Les nute ë £ RSC Pa 9 Ewest égale au produit. de n— 1€ la dérivée de la fonction qui représente le résultat du calcul à effectuer, lorsqu'on y remplace 2 par une valeur moyenne entre 2 et le nombre

2, =9 +" utilisé dans le calcul. Ainsi, l'erreur commise sur k”’ en y substituant ©, à © aura pour expression

: dk :

D D), | avec o I ( 7) 10 T 1e Rs ji < ou encore

; t ( dk!

| tane — O, —— è Ke T do eue

en remarquant que 2 — 2, est par hypothèse très petit, et que, d’autre part, la tangente trigonométrique étant supérieure à l’arc fournit une limite supérieure de la première écriture.

À la vérité, la valeur moyenne à substituer dans k’ entre 9 et 2, n'est pas connue; mais 1l est facile par une substitution convenable, de tirer de la formule précédente une limite supérieure de l'erreur commise, et c’est cette limite seule qu’il importe d’avoir.

à ne ; ; ue! \ :

L'égalité (38) nous fournit la valeur de 7, de sorte que l'expression «do

PRIT précédente peut s’écrire

. i : “COS (cos — À)2 £ (97 bts) lang (o — o,)| = ec MCOS OS Hi) Û : cos?® cos*’o sin? AU Ier 0)

dont nous devons considérer une limite supérieure pour toutes les

pour &—@. La quantité ——.— est toujours inférieure ou COSO + SIN°Q

/ \ Û . ; ne au plus égale à :. et l’on trouve facilement un nombre positif u = n°

tel que l’on ait LI PEN = sin?@ sin?®

: sin?® . :

en remarquant que le rapport est le plus grand pour les plus faibles < ms (C) d ;

à 180276” (47), soit pour une valeur de 1,1167 du rapport -

“d'où

hmite supérieure de l’expression (57 bis) et, par suite, de (57) sera

È : { 122 Coti(g—9:) (38 ae ON EE |, ) 8 ts i/1| sin? À p.

Nous pouvons choisir comme valeur de remplacement dans £ la valeur de & exacle à une seconde près par défaut. Or, nous avons reconnu sur un certain nombre d'exemples lors de la. recherche directe des racines de l’équation £ — 0, et par raison de continuité ce résultat subsiste pour toutes les valeurs de 2 dans le champ du problème que le premier membre de cette équation, où l’on remplaçait © par sa

S x , , . 5 * ll valeur exacte à une seconde près par défaut, était au plus égal à —

10° comme le montre le tableau suivant des substitutions faites dans £ pour les couples d'arguments de © D déjà considérés

DOME ce 0 ,000010 0,0000012 0,000000 DO 0 ,000006 0,000001 0,000009 0 ,000000 HOME 0 ,00000/ 0 ,00000/ 0 ,00000 0 ,00000 0 ,000000