CONTES

Ce qui permet de mettre l'inégalité précédente sous la forme

So e Ps?

où P, et P, désignent les pressions principales au point considéré.

La transformation de linégalité précédente en égalité fournit la condition de l’état d’équilibre-limite et constitue, pour cet état, l’équation caractéristique du massif dont les particules ne sont retenues en contact les unes des autres que par leur pression mutuelle et par le frottement qui en résulte ptango. L'influence prépondérante du frottement dans une telle question rendrait donc nécessaire l'extension de la notion de frottement, définie seulement pour des corps solides en contact, à de semblables particules de masses pulvérulentes sans cohésion.

L’attention de Boussinesq, qui le premier a abordé l’étude du massif pulvérulent limité par une surface libre et un mur invariable, a été retenue par ce point. Sans entrer pour l’instant dans le détail de ses hypothèses que nous reproduisons du reste par la suite, nous dirons seulement, et cela servira à interpréter celles-ci, qu'il regarde une particule du massif tassé comme une particule solide isotrope, en considérant celle-ci — ce qui semble correspondre à une réalité physique pour de tels corps — comme beaucoup plus déformable que compressible. Les pressions y sont donc dépendantes en fonctions entières des déformations éprouvées à partir de l’état naturel, mais sans faire intervenir la loi de Hoocke qui indique une rigidité constante pour le solide élastique.

Le coeflicient de rigidité de Lamé, au lieu d’être constant, serait alors variable et admis à titre de première et plus simple hypothèse, être proportionnel à la pression p, de sorte que le massif aurait à pression nulle une rigidité nulle, et une rigidité proportionnelle à la pression, soit np pour des pressions modérées. Boussinesq étend alors à la particule incompressible et soumise à des déformations planes la notion d’une limite d’élasticité, quant à la dilatation principale positive. On est ainsi conduit à l’équation caractéristique de l’état ébouleux, ou à la connaissance de l’angle de frottement de telles masses pulvérulentes, qui ne peut bien entendu être dépassé sans amener l’état ébouleux. L’équation caractéristique obtenue a du reste même écriture

que l'expression susmentionnée.

Arrêtons-nous un instant sur ces hypothèses qui servent de base au développement du présent travail. Qu’un tel massif soit supposé continu, cela semble nécessaire quand ce ne serait que pour légitimer l'emploi des équations indéfinies de l’équilibre, mais on peut toutefois remarquer que les grains pulvérulents qui composent le massif sont loin d’être identiques, ou même toujours très petits. Des discontinuités existent, des vides entre les grains restent toujours assez notables, et la preuve en est que l’on peut, par exemple, verser une quantité d’eau appréciable à travers la masse pulvérulente même tassée, sans que son volume apparent en semble modifié.

a. Les lois usuelles du frottement dans les corps solides sont-elles, d'autre part, applicables à des corps pulvérulents ? La notion de frottement entre les grains est difficile à préciser; elle semble pourtant fondamentale dans une question où le frottement paraît Jouer le rôle principal. S'agit-il de grains sphériques ? mais alors le frottement intervient-il encore effectivement et ne serait-ce pas en tout cas plutôt un frottement accompagné d’un roulement qui serait à considérer. Le mouvement des grains qui en résulterait ne condurait-il pas plutôt alors à un problème dynamique qu’à un problème statique ? S'agit-il au contraire de grains cubiques ? des coinmcements pourraient alors se produire, d’arêtes ou de sommets sur des faces; qu’entend-on alors par frottement ? Notons seulement que Boussinesq considère non les grains eux-mêmes, mais une réunion, un petit agglomérat de grains qu'il assinule à une particule solide isotrope à laquelle 1l étend alors pour la masse pulvérulente les notions de frottement et d’élasticité.

b. La considération d’état ébouleux introduit en fait deux hypothèses distinctes qui paraissent, à priori, et physiquement parlant assez arbitraires, savoir :

19 Que l’état ébouleux est partout réalisé à la fois dans le massif.

29 Que, contre le mur, la poussée fait avec la normale au mur l'angle 2

de frottement intérieur.

Boussinesq fait abstraction des perturbations dues au voisinage du fond solide, ce qui revient à supposer le massif indéfiniment étendu vers le bas; 1l admet aussi et cela semble être bien rarement réalisé

Wie

pratiquement, que l’état physique du massif ne dépende que de la profondeur sous la surface libre et par conséquent soit indépendant de la distance au mur. Or, si nous considérions le massif sablonneux, à double versant, la dernière hypothèse permettrait l'intégration du système, puisque alors les équations aux dérivées partielles du problème deviendraient de simples équations différentielles. On vérifierait facilement que sur l’une des surfaces libres les efforts s’annulent comme il convient et que l’état ébouleux se trouve bien réalisé dans le voisinage de cette surface. Mais il ne paraît pas, à moins que la seconde surface libre ne soit dans le prolongement de la première, possible de réaliser sur celle-là l’annulation des efforts, ni la condition d’état ébouleux. Peut-être est-il raisonnable de mettre en eause particulièrement la dernière hypothèse. Il n’en reste pas moins aussi que sans un état ébouleux réalisé en chaque point du massif intéressé, le problème ne saurait plus être pratiquement abordé puisque lPéquilibre ne serait plus régi que par des inégalités.

En fait, Boussinesq considère seulement la partie du massif située en deçà du plan idéal de Maurice Lévy, c’est-à-dire du côté de la surface libre, comme possédant un état ébouleux y résidant partout à la fois en même temps, tout comme si le massif était indéfini en tous sens sous la surface hbre. L’angle de la poussée avec la normale au plan de Lévy est l’angle 4 de frottement intérieur du massif donné. L'influence de existence voisine du mur qui a vraisemblablement une répereussion plus ou moins sensible sur lPétat physique de cette partie du massif est négligée. La portion du massif homogène située à partir et au delà du plan de Lévy jusqu’au mur est assimilée à une masse hétérogène par rapport à l’angle de frottement intérieur 2” supposé variable dans cette région et croissant Jusqu'au mur où il atteint sa plus forte valeur. Cette région comporte alors un état d’équihbre, qui est démontré être à très peu près l’équihibre-limite du massif homogène donné.

c. Rappelons aussi qu’un milieu homogène est isotrope quand, à l’état naturel, la constitution du milieu autour de chaque point est la même dans toutes les directions. L'hypothèse de lrsotropie suppose done Pexistence d’un état naturel. Boussinesq suppose la masse d’abord sans pesanteur tout entière à l’état naturel, puis soumise peu à peu à une pesanteur croissante, de manière à passer par une suite d'états d’équibbre, sans que jamais soient dépassées ses primitives limites d’élas-

ticité. Mais l'existence de cet état naturel semble moins que prouvée, car il est clair que les massifs ordinaires de sable ont leurs éléments disposés en général successivement les uns sur les autres et par chocs sans que jamais leur ensemble se trouve à l’état naturel, c’est-à-dire y admette l’absence de pressions tant intérieures qu’extérieures. Il est alors plus simple, ce qui du reste revient au même, de supposer le massif assez uniforme pour regarder les particules comme constituées de même dans toute leur étendue, de sorte que l’annulation des pressions de surface entraîne la disparition des pressions intérieures.

Il est vrai que, tenir compte de toutes ces conditions physiques est pratiquement impossible et que semblables difficultés, qui existent aussi dans les problèmes d'équilibre relatifs aux petites déformations que produit la pesanteur dans les solides, v sont alors en général négligées. On admet en effet d'ordinaire dans ces corps l'existence d’un état naturel antérieur à application de cette force, hypothèse qui ne semble de manière rigoureuse être défendable que pour des solides très petits où les déformations dues à leur poids sont alors insignifiantes vis-à-vis de celles qui résultent de leur élasticité.