A PROFIL SUPÉRIEUR RECTILIGNE

1. Nous considérons un massif pulvérulent, du genre d’un tas de sable, homogène, de densité constante et retenu d’un côté par le mur

qui le contient. Nous le supposons en état d’équilibre-limite, c’est-à-dire que nous admettons que le massif se trouve, par suite, par exemple d’un commencement d’ébranlement du mur, sur le point de s’ébouler, ce qui, puisque le massif est supposé sans cohésion, se produira en même temps dans toute son épaisseur. La poussée qu'il exerce à ce moment correspond à une plus grande valeur à laquelle en pratique le mur devra être calculé capable de résister.

Découpons dans le massif un volume élémentaire tel qu’un petit prisme par exemple, autour d’un point P (x, y, z). Les six quantités N,, No, Na, Ti, To, T3 caractéristiques des efforts en ce point sont, à l’état d'équilibre, reliées, comme l’on sait, par le système d’équations

indéfinies l'ON, OL POLE

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où £ représente la densité au point +yz, et où X, Y, Z désignent les composantes des forces extérieures agissant sur l’élément de volume, système auquel du reste il ÿ aurait lieu d’adjoindre les relations des conditions aux limites.

Il ne peut être question, pour expliciter ces systèmes, de recourir aux relations connues entre efforts et déformations telles qu’en théorie mathématique de l’élasticité pour les solides élastiques. Car il s’agit ici de corps pulvérulents où semi-fluides comme les a dénommés Boussinesq dont les lois mécaniques sont particulières : aussi crovons-nous qu'il n’est pas inutile, autant pour fixer les idées dès le début que dans un but de simplification pour la suite, de noter les hypothèses que celui-ci a, assez récemment du reste et Le premier, énoncées comme base de la mécanique de telles substances.

2. Les petits grains qui constituent le volume élémentaire ou particule sont supposés très peu compressibles, ce qui correspond du reste à une réalité physique d'autant plus vérifiée que la hauteur de semblables massifs n’est pas trop considérable. La dilatation cubique de la particule peut alors être regardée comme négligeable ou, en d’autres termes, sa densité peut être admise, comme il est supposé ici, constante. De sorte

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que la particule semble ne comporter tout compte fait, à la façon d’un sac rempli de sable, que des déformations modifiant sa figure, mais non de manière appréciable son volume.

Pour chaque particule du massif, composée du reste d’une multitude de grains sablonneux, il existe, du moins quand on la conçoit isolée de ses voisines, un état naturel dans lequel aucune action ne s’exerce entre ses grains, chacun n'étant alors soumis qu’à la pression atmosphérique, mais uniquement pour son propre compte et sans action des grains entre eux.

À partir de cet état naturel, la particule peut éprouver des petites déformations. Les unes sont invisibles où négligeables, et consistent en des contractions d'ensemble semblables en tous sens, et capables de produire entre les grains à travers les éléments plans menés à son intérieur, et par unité d’aire de ceux-ci, une pression normale commune p.

J. Les autres, beaucoup plus sensibles, ne modifiant toujours pas la densité de la particule, sont réductibles, suivant trois directions rectangulaires, à trois dilatations ou contractions principales 2,, %, 23 qui sont corrélatives à des roulements limités des grains les uns devant les autres, et à l’existence sur les éléments plans de cette particule respectivement perpendiculaires à ces directions de trois pressions

principales P;, P,, PB;

k. Par suite, et d’après les lois générales des pressions dans tous les corps, la moyenne arithmétique de ces trois forces principales P;, P,, P; n’est autre que la pression p, changée de signe puisque dans les milieux sans cohésion considérés, les forces P,, P,, P,, pressions proprement dites, sont toujours négatives; de sorte que les déformations sensibles dont il s’agit, qui modifient encore la figure, mais non d’une manière appréciable le volume de la particule, paraissent y inégaliser les trois pressions principales P;, P,, P, sans changer leur moyenne p. Il leur correspond certainement des déformations des grains inégales dans les divers sens, et véritablement productrices des différences P, — P,, P, —- P3, P,— P, mais invisibles comme la contraction cubique à laquelle est due p.

Le massif pulvérulent, à grains sans actions mutuelles, quand s’annulent — P,, — P,, — P, et leur moyenne p acquiert au contraire dès que cette pression p devient positive une rigidité, ou résistance au

THÈSE CALLANDREAU à

E A a à o11ÈS dl prs glissement mutuel de ses couches contiguës que l’on supposera en première analvse proportionnelle à p. Ce qui revient à dire, ainsi qu'il résulte des relations relatives à la particule admise isotrope et incom-

pressible,

CPR PIED 20 FO On) . a Pi PAPE PP EP L al [ Lars [l 2 2 5 ni (l CL LL — ) ?

2 2 2 N NN N \ INT LS — g(0,— 0», 0, — 04, 0x — 0),

que le rapport des différences:P,- P,, P,— P;, P;-—:P, des pressions principales aux doubles différences correspondantes 2 (9, — 23), 2 (2 — 23) 2 (3—°,)}, des dilatations, admet une expression commune np, où n désigne un coefficient unique, caractéristique de la matière pulvérulente considérée, prise à son degré effectif de tassement.

5. Mais si chaque particule, prise à part, comporte pour la densité qu'elle à un état naturel où s’annulent —P;, ——P,, =—P;set leur moyenne + p, ainsi que les dilatations 2, 2, 22, et à partir duquel 2, ©, ©3 restent insensibles quel que devienne p, pourvu que P;, P,, P, conservent leur égalité, 1l n’en est pas de même en général du massif entier que Pon forme en déposant et superposant peu à peu des couches pulvérulentes qui se tassent à mesure et irrégulhièrement sous leur propre poids ou sous leur choc; en sorte que des particules contiguës ainsi déformées, si on les portait à l’état naturel, en les isolant, prendraient des figures incapables de se jJuxtaposer ensuite et de constituer un massif d'apparence continue.

Toutefois, quand il s’agit, comme c’est le cas ici, de déformations planes, où toutes les couches minces parallèles au plan vertical sont déformées de même en restant dans leurs plans respectifs, on peut admettre à titre de première hypothèse que chaque particule de ces couches a perdu son état naturel par des déformations analogues ou sans sorlir de son plan, et pareilles pour toutes les particules juxtaposées suivant une normale à ce plan. Par suite, si l’on amenait une telle particule, en l’isolant de ses voisines, à son état naturel, puis de cet état à celui qui est eflectivement le sien, ces changements se feraient par de pareilles déformations la laissant dans son plan et déplaçant de la même manière dans leurs plans respectifs parallèles les particules alignées en ligne perpendiculaire à ces plans.

Mais ces plans, pour les phénomènes étudiés, seraient alors des plans

de symétrie sur lesquels s’exercerait une pression principale, soit P, par exemple. De plus, à partir de l’état naturel, la dilatation correspon- N

dante €, serait nulle. Et comme la densité, c’est-à-dire la dilatation cubique, n’a pas pratiquement changé, on aurait donc

o, —+- Die où Dès lors, la double égalité ED PER = = = = — ip) > ONE 053) OSEO s’écrira PR pp = = = — Ah), 19, — 20, /

d’où l’on tire

On aura donc

! à 1e (2) Dre bed) EPP; mn) 2,

ce qui confirme, soit dit en passant, que dans notre hypothèse la pression principale P, normale au plan des déformations vaut bien la moyenne arithmétique des deux autres P;-et P, et représente au signe près la pression p.

\ Les équations précédentes donnent, d'autre part, en y remplaçant p 1]

par—- ; (P1-+ Po),