Revenons au théorème du n° 46 et prenons (1) — e!. Comme

our et CPI SEn) TRE Et) (CEE x),

-on en déduit les intégrales

er +) CHÂYHUE (ue y +7 ue eme D yes

; e en faisant les combinaisons simples convenables on trouvera les nouvelles intégrales

en PPT ua), HO ue) CE ROME)

-où P,Q,R, sont les trois fonctions d'Appell. 23. D'après ce que nous avons vu au n° 2, l'équation A,Ù — 0 s'écrit après le -changement de variables (16), et en négligeant le facteur e° : HE EC RIMEAN YU dr° 6° d&° drd6)0

On en déduit Le théorème suivant.

Tuéorème : St U(x, y, z) est une intégrale de l'équation de M. P. Humbert à en est de même de la fonction U(r, 6, +) où les nouvelles variables sont définies par rapport aux anciennes au moyen des équalions (16).

Cette remarque, compte tenu des possibilités de permutations circulaires sur les diverses variables, nous permettrait d'énoncer de nouveaux théorèmes à partir de ceux qui ont fait l'objet de ce chapitre.

Comme application nous nous contenterons de remarquer que le résultat du n° 22 peut s'énoncer :

Taéorèue : Les lrois fonclions

p="##} P(9, mo), et QU, me), PU PROG pe),

où ©, 0, « sont définis par le changement de variables (9) sont trois intégrales de l'équation A,U = o.

Ce résultat a été énoncé pour la première fois par M. P. Humbert [36]; la démonstration que nous venons de donner a fait l'objet d'un exercice proposé par

-moi-même dans la Revue de Mathémaliques spéciales, sous le n° 3454.