CHAPITRE II

Un essai de généralisation des fonctions analytiques.

I. — Sur des transformations analogues aux transformations conformes.

24. À l'étude de l'équation de Laplace à deux dimensions se trouve rattachée l'expression ds = dr dy

carré de la distance entre deux points infiniment voisins.

Il vient tout naturellement à l’idée de rechercher si la quantité

(32) ds — dx + dy + dr — 3dxdydz

joue un rôle analogue dans le cas actuel.

Effectuons d’abord les changements de variables étudiés au début du chapitre I.

Avec les mêmes notations on trouve respectivement les formes

(33) ds — dudvdw,

(34) ds = dé + p°d9° + c'de —3p"dodôdo,

(34°) ds = e"[dr° + d6 + de — 3 dr d0 de],

(35) AS OX ANS 47 ES dX AY d2), NE HN 22)

(36) ds® — di(dE° + dr°).

Si on se rappelle que le ds” euclidien plan prend en coordonnées polaires la

forme ds — de + p" dé”,

on voit que le changement de variables (9) joue par rapport à l'expression ds le même rôle que le passage en coordonnées polaires pour l'expression ds°.

25. Pour voir si l’analogie entre les deux formes différentielles peut être encore poussée plus loin posons-nous le problème suivant(‘).

PROBLÈME : Existe-t-il un ou plusieurs changements de variables

KE X (ae) LYS 2e = (Ye)

M. PRIPIR FES

(*) Signalons que M. M. Ghermanesco qui s'était posé à ma suite le même problème pour une équation particulière de quatrième ordre l'a résolu récemment [28].

SUR L'ÉQUATION DE M. PIERRE HUMBERT. 20 tels que l'on ait l'identité

(37) dS® = dX° + dY° + d2°— 3dX dY dZ — (x, y, 2) ds

À(æ, y, z) étant une fonction de x, y, z à délerminer. Étant donné la simplicité de la forme (33) nous raisonnerons en variables u, v, w c'est-à-dire que nous résoudrons le problème dont le nouvel énoncé es : Quels sont les changements de variables

UE HAU, v, D), DU). w' —= w'(u, v, w)

tels que l’on ait

du'dv'dw'" — A(u, v, w) du dvdw .

En remplaçant da', dv’, dw' par leurs valeurs et en identifiant les termes en du’, dv”, dw’, du*dv ... on est conduit à énoncer que :

Les fonctions u', v', w' sont des fonctions d’une seule des variables u,v,w, les six variables figurant toutes dans la transformation.

26. Cherchons ce que deviennent les conditions précédentes en variables æ, y, z. Les conditions d'annulation de certaines dérivées partielles de u', v', w' vont nous fournir des systèmes aux dérivées partielles pour de nouvelles fonctions.

En faisant toutes les combinaisons possibles des variables u(r1), v(2), w(3)

nons obtenons les six cas suivants où nous avons posé

Roses 2 DU X EN A7 CEMESRESEZ DIX CET N EJ'Z, Bd w' = X +j Y + jZ.

RS Sr Z PA A FN Reese ww V7 Ye ax dy Z AT nt (r2 3) (S,) à — dx — dy ; (GE 1) (S,) dz J dx 4 0y , ù de Va D 2 nt ET DA 00. on arr ot 02 Ce RE M LT on. an le RC AR RO EN nn Core MTS dy ?

Vus 7 D CR Ye 7 x A GUN 1x

x Neon nt 2 aY a VIT CYR dX di 7 2x dZ d\ 3 c + == = | —1)à 11 2) S UN — (3, F5 2) (S.) dz 3 dx À] dy , ( ; ) ( s) V2 dx dy DRE D nn x dZ dY FN AC dy dz dx

Nous appellerons ces systèmes d'équations ("), qui généralisent les systèmes de Cauchy dans l’étude des fonctions analytiques, les systèmes (S,); nous y avons du reste fait déjà allusion aux n° 8, 10, 11.

Dans tous les cas nous aurons les égalités déjà écrites

, dX \° 0X \° DAE\S oX OX 0X (21) a,» = (Se) +(+ +( ) D Her

dZ

27. On peut du reste montrer que ce facteur X(x, y, z) joue un rôle important dans des questions connexes. Soient en effet d, 3, 3 trois symboles de différentiation, on voit facilement que si X, Y, Z sont trois intégrales d’un des systèmes (S) on peut écrire

dX aX dX

à à dZ IX AY -d2 AEre de dy de RU ee NX es (38) YA ES EE =. |xX|8z ëx 57 SNS ZE) SVP TOR

oX dX dX dy dZ de

Nous déduisons de ceci que les transformations du n° 26 conservent à la fois l'expression dS° et ses formes polaires

(39) AIXN ON A) EMA ON OA dl 2e cod (ho) IX NON ET Ye Z ENV Z) MAN OV ZEN ZEN

+ dA(25452—G8XSY—SX5Y].

Les expressions

Sdx(ôx ——dy0z) SALI20LIT—- 0 Syoz o 5 S , ds(ès)” dsis3s

- sont donc invariantes pour les transformations considérées.

(‘) Le système (S,) a été considéré pour la première fois par Appell [1] dans la recherche des familles de surfaces dont les tangentes aux intersections forment un trièdre équifacial ayant pour axe une parallèle à la droite &æ = y = 2.

Ceci est une propriété analogue à l’invariance de l'expression

dixit + dyèy

Vds + dy Vox +5y

dans les transformations conformes planes.

Celte remarque nous amènera au chapitre suivant à introduire un espace où la nouvelle notion d'angle sera définie à partir de la première des expressions précédentes, la distance de deux points infiniment voisins étant donnée par la racine cubique de ds°.

REMARQUE I: X, Y, Z étant toujours intégrales de l’un des systèmes (S), on a aussi l'identité

à à Ù NAN OX à à d

dE. dÿe. 0 My dc Ne eL0A

à à EIRE DR NE LES à els 2 Dre y SR. nt lo oo ne

à ù ) REX à à ù ST dy dz dx Vo r dX

ce qui était évident a priori puisque le problème que nous avons résolu s’identifie à la recherche des transformations laissant invariant à un facteur près l'opérateur de M. P. Humbert.

Nous retrouvons ici le théorème auquel nous faisions allusion aux n° 8, 40 et 414. REMARQUE II : Les propriétés d'invariance que nous venons de signaler appar-

tiennent aussi à l'expression

(1) dé = (dyèz—dzèy) + (dzèx — dxiz) + (dx y — dyôx) — 3(dydz— dzôy)(dz5x — dx dz) (dx y — dyèx).

A cette expression do pourrait être attachée la notion d’élément d’aire. Si nous

effectuons le changement de variables (9), l'expression devient

(41) do — 9°(d05o — dy 00) + s'(dy5po—dedo) + (do d0 — d05b) — 25 (405 —dyè6)(do ds — deôs)(doè6 — d03c).