II. — Une seconde interprétation des systèmes (S

28. Avant toute chose il est bon de remarquer que toute intégrale de l’un des systèmes aux dérivées partielles du premier ordre (S) est intégrale du système d'équations aux dérivées partielles du second ordre |

d'U YU Dee NP NOT DU YU d'U s) D D : dy” dz dx d” dU DU sv — , à dz dx dy

et a fortiori de l'équation de M. P. Humbert.

Ce système (Ÿ) intermédiaire entre les systèmes (S) et l'équation A,U = o. étant utilisé dans la suite, nous en ferons une étude rapide.

29. Taéorème : En variables u, v, w le système (E) prend la forme simple

(5) d'U d'U d'U dUOW © DWOU | Qu €

On en déduit la forme de l'intégrale générale (42) U = /(u) + g(v) + h(w)

où f, g, h sont trois fonctions arbitraires d’une variable,

30. TaéorëmE : La seule intégrale du système (3) qui ne dépend que de p seul est log p. En effet on a

log p — log u + log v + log w.

31. Taéorème : Si U(x, y, z) est une intégrale du système (E) il en est de même de la fonction

"à log d à log V@r,9=u| 26e, dose Er |.

a dy dz

En effet la transformation considérée qui peut s'écrire

uu = VW! = wv' — 3 transforme l'expression (42) en une expression analogue.

32. La démonstration précédente est encore valable lorsque w’, v', w' sont des fonctions d'une seule des variables u, v, w; on peut donc énoncer le théorème ‘suivant : |

THéoRÈme : Si U(x, y, z) est une intégrale du système (E) il en est de même de da fonction

NX V2) US YEZ) où X, Y, Z, sont trois intégrales de l'un des systèmes (S). 33. TaéorèmE : La fonction log x(x, y, 2) est intégrale du système (©)

34. THÉORÈME : Les coefficients de 1, j, j*, dans le développement de (x + jy + j* 2)" sont des intégrales du système (=).

On a vu en effet au n° 43 que ces polynômes s'expriment linéairement en fonctondeuse, VND.

On pourrait aussi énoncer des théorèmes analogues à ceux des n°* 46 et suivants,

mais qui n'offriraient qu'un intérêt très limité.

35. Revenons maintenant aux systèmes aux dérivées partielles (S). Considérons les trois fonctions

de Ga) EN Z (y), (43) TÉL YA) NE, 2) JON (@ EI Z (GC Ty,2), | hæ, y, 2) = X(&, y, 2) + J'Y(æ, y,2) + j Z(æ, y, 2).

D'après ce que nous avons vu au n° 26, dire que X, Y, Z sont intégrales d’un système (S) revient à dire que les fonctions f, g, h dépendent chacune d’une seule des variables u, v, w.

Les systèmes (S) jouent donc dans le cas actuel un rôle analogue à celui des ‘systèmes de Cauchy Riemann dans l'étude des fonctions analytiques, ce qui justifie le tilre donné au présent chapitre.

On dira que les fonctions X, Y, Z intégrales d’un même système (S) forment un système conjugué; on pourra toujours, à des permutations près des lettres #, G; #6, mettre un tel système sous la forme

Ex, 7,2) = (a) +1 (0) + J6(w),

(44) Y(æ,y,2) = S(u) +j ie + j d6(w), 2 Ye (0) (Co) + 46 (w),

où Ju), ({(v), J6(w) sont trois fonctions arbitraires, dérivables.

86. Il est intéressant de confronter la définition que nous venons de donner des. fonctions conjuguées avec celle proposée par M. N. Cioranesco () pour les équations de Laplace à plusieurs variables, définition que nous allons adapter au cas actuel.

Exprimons que : la fonction

(45) De, y, 2) = log [(X + HN ++ (Z +) —3X ED + u)(Z +]

où X, Y, Z sont trois intégrales du système (2) (ou de l'équation de M. P. Humbert} est elle-même intégrale de ce syslème (ou de celle équation) quelles que soient les cons-

lantes À, pu, v.

Pour simplifier les calculs, il sera bon d'utiliser les variables u, v, w et de con-

sidérer la nouvelle fonction

(46) Wa, v, w) — log [(u' + à) (v' + 8) (w'! + y)] — S log (u' + «).

a) Exprimons d’abord que u’, v', w', W sont intégrales de (2) quelles que soient

les constantes #, 6,7. On a

ÿ du! du

dy Une du dv er SH 04 du 0 RD Ve (a! + a)”

Comme u', v', w' vérifient (Z') la première somme de Lamé est nulle, en écri-

vant que Y vérifie aussi (2) il vient donc

DUO du! du! du” ju!

du dd SG d0 dw dw du TES) CRT

Mais ceci doit être vérifié quelles que soienl les constantes «, 8, y, les neuf numé-

rateurs sont donc nuls, u', v', w' ne sont fonctions que d'une seule variable et

X, Y, Z seront de la forme (44).

(*) N. Cioranesco, Sur les fonclions harmoniques conjaguées (Bull. des Sciences mathématiques, 2° série, 56, 1932, p. 55). :

b) Exprimons maintenant que u', v', w', W sont intégrales de (1). En opérant

comme plus haut il vient

du DATE OT DATANT DATE.

dv Q QU dU MU Q QUdD dW dvdw du dWdu dv duo L'EuEoe) | K (u' + a) AIN ART du dÙ dw

KI (u'+a)

Comme u’, v', w' vérifient (1) la première somme de Lamé est nulle. En exprimant que la relation est vérifiée quelles que soient les constantes «, B, y on est amené à annuler fous les numérateurs ce qui montre que uw’, v', w' sont des fonctions de deux des variables u, v, w. Les fonctions X, Y, Z pourront donc se mettre

par exemple sous la forme

\ AIX, y. 2) = F(v,w)+ G(w,u).+ H(u,v), (47) SY(æ, y, 2) = Fu, w) + j°G(w, u) EL j Hu, v), | ZL(æ, y,2) = F(v, w) + j G(w, u) + j'H(u, v).

où F(v, w), G(w, u), Hu, v) sont trois fonctions dérivables arbitraires. Nous dirons encore que X, Y, Z forment un système conjugué. On voit facilement que les fonctions X, Y, Z du système (47) vérifient le sys-

tème d'équations aux dérivées partielles