D NE A COS
x À F rs PAPE
(51) NE Cour)
; ; —iV3 W=X+ y +) Ne
Nous nous trouvons, aux coefficients près, devant le changement de variables (22); on déduira de (51) l'identité
SU SAS Un b 52 = cos asinta | + |.
2) du dv dW ATOM QUES <
40. Exprimons maintenant le système (2) en variables 5, ,€; un calcul simple nous donne jies relations
3 JA 3 je = à
D, = -sin" à | — ) — Sin à COS % | ——— — 3——) AE es), dE DE V an dt /?
de
D : sin” À < de + ' sin œ COS dE + V3 ) Il E TS! CA Een EEE "Ty A UE 2 rent DEDC Dot)?
D dr JL D: 3 sin &« cos ù — — SIN TE OU SIN TCOSN——— el F dE
Le système (2) prend donc la forme
HS dU d'U d'U dUÙ A —— — == == 0) () RTC Tont
L'intégrale générale sera de la forme U = U,(C) + U, (6, n)
où U,() est une fonction de € seul, U,(ëé, x) une fonction harmonique de £,n.
Les fonctions %, 4; Z seront de la même forme, ainsi qu'il résulte du système (50).
41. D'une façon plus précise, cherchons par exemple ce que donnent les systèmes (S,) et (S,) pour les fonctions %, 1}, Z. Dans la première hypothèse on trouve
IAE dn 2 dT dy dz € FC PRE d4 se 21] V3 2X à ùn dE METRE 0 a dZ DZ
[e == = — = — —= Q dË dC dE dr é dZ — UV À AIA
on en déduit que
% et A} sont des fonctions harmoniques conjuguées de &, 7, [a +
& est une fonction de € seul.
La seconde hypothèse qui fournit les relations :
2e 2 7 RS RUX = = —= — EX ee — —— 2 — Le dr 2 dx dy dZ \ = r NEC AV EN RE OR d" LE PNA ERA re 24 d1] dZ dZ === mi — 0 à dE ES à —IAVNS
nous conduit à un résultat analogue.
Pour les autres systèmes (S,), (S.), (S,), (S,) la seule relation remarquable est
ic = 1+j+j)divX —=o;
on en conclut que Æ es! une fonction harmoniqué de £, n seuls, % et {| étant des
sommes de fonctions harmoniques de Ë, x et de fonctions de &
42. Cherchons maintenant ce que deviennent les systèmes ($') en variables 5, 7,0. Pour cela nous commencerons à interpréter le système (£,) qui s'écrit en dU °mQU
ra & ?
dE on
posant A,U —
2 27e dé : à PT D | D; D.) U — —sin° « cos « | cos sin ( — 1/3 ) VU LÉRUENESE 7 ne Ace TE 2 2 AT { ù NO:
D,, —D,,) ÜU = — sin" s — es) ( : z) ; Sin enr Se sine (+ VE) Lau Da D | = ncofe, ne NU ( Ér Fa Nes & C Heu eine | à 1 0) Ce système prend donc la forme simple ! Afe dE : V2 on AU — AU—— AU—o, : dE AG dndE * ù < il peut se réduire à l'équation unique a Ur 9" Ù + Ha AVE, ñ)cs
où A est une constante arbitraire et V une fonction arbitraire.
Sous la forme (2') on voit grâce à (52) que le système (£,) est vérifié lorsque U est intégrale de l'équation de M. P. Humbert, ce qui était évident a priori U étant dans ce cas une somme de fonctions de deux des trois variables u, v, w.
43. D'une façon plus précise, cherchons ce que donnent les systèmes (S’,) et (S’,) pour les fonctions x, y, z Dans la première hypothèse on trouve
AIRES sin & = (eue > dX 2 VX DÉ— [D, + D, Die 2008 2| LS + V3 sed sin % LR VX DE [D,+D,—2D,]X — Sin M Doeai sin & ne Je & d'X 3 VX Dr (D, + D,—aDJX = Ÿsintacosa| dEdC de dnd6 l’ 5 . nu x gx Du smelb DIX = SE sin cos a] 3 — V3 Re de CRE RE a D,Yy=—sine[D,—DJX= — = sin Et spere ; V3 Fa D Dane 3 V3 te 3 dx VE REX D,Y=—sinel Fe Al — Ta a COS % DEC FE , | dx dX D& = D, — 3 = cos a (D, + D, + D.JX = Ÿ sin a cos «(= —
Ce qui nous fournit les relations
