D,% + D,# + D%X—0, D, 4 + D, + D,Y = 0, D,% — D,4= V3 DU
D'Y=DUY—=-VSD,%;
\t c'est-à-dire encore
"% XX YU #1 — Ë c —
2 2 2 — O0, dr due dn
ee 1] d Fè% NE €
== (8) dE dr 6 Lan dE ,
dE° dr dE* dn" 21% JU do r% — | — + £ — | es Ô Î=o dÉTEOE dn dE Lodn dE <
Considérons le premier de ces deux systèmes; la troisième ligne fournit immédiatement
Z(E, UE t) = Æ,(E;, n) + 2, (6)
où Z,(6, n) et &,(0) sont deux fonctions arbitraires. De la deuxième ligne on déduit
mer (CU 1% à :
+ dE = p(Ë, n),
à dn
: > s ; RE 3 : :
où ®(5,), (5, x) sont deux fonctions arbitraires: mais de la première ligne on
déduit alors
An \o db dg —— + — — — — —=0; dE èn d7 dE
da fonction & + i} est donc analytique de la variable £ + in. Formons encore la dérivée aréolaire(') de la fonction % + if, on a [e
| 1% 4 de + eee D = y ti.
dn dE dS d?
Les résultats précédents expriment donc encore que la dérivée aérolaire de la Jonction X + i est une fonction analytique de la variable £ — ir.
Le deuxième groupe de relations nous donnerait des résultats similaires. Les autres systèmes (S',), (S',), (S',), (S') seraient d'interprétation moins simple:
remarquons seulement la relation
D,Z + D, & + D,Z —0 d'où A,Z 0:
44%. Pour l'équation de M. P. Humbert en utilisant la formule (52) on est con-
duit à dU d'U r = H(E,"),
dE dr
où H(£, x) est une fonction arbitraire, On peut aussi écrire l'intégrale générale sous la forme
UE; n, 5) =J6 + in, $— in) +96 +in, 0 +hE—in,0, où f, g, hk sont trois fonctions arbitraires. 45. Voyons maintenant comment peuvent s'interpréter les fonctions P(6, o)
‘Q(6, ) R(9, +) dans ce système de coordonnées. En utilisant les formules (8), (9) et (48) on trouve
SION LR E—=RcosD——p (enosesÿre VAT . : sin GPA RARES TRIO — 0. — [(1 — jet te ( je Ep 2V/3
= pcosæet?.
(*) M. Nicozesco, Fonclions complexes dans le plan et dans l’espace (Thèse, Paris, 1928). — N. Tuéoporesco, La dérivée aréolaire el ses applicalions à la Physique mathématique (Thèse,
Paris, 1931).
ds
‘ Tirons R et © de ces formules il vient
(53) RE Er)—= 0° sin? ze (*#) ;
MN | V3(6—+) Rips de en : 2 ( el I | SRE 8 (I) (b—+) Face PRES fr
J V3 Sao HI l ee) ue d’où (54) SN er È 2
On déduit des formules (53) et (54) que les surfaces 0 + 9 — cte sont des cônes de révolution d'axe OÙ et que les surfaces 0 — + — cte sont des plans dont on n’utilisera qu'un demi-plan.
On peut du reste retrouver les expressions 6 + # et 5 — + en exprimant P(6, +), Q(8, 9), R(5, 2) en fonction des lignes trigonométriques. En remarquant que
0+5 V3 eiris char Û+s V3 e! CE 2 Ce on trouve de eLoe oo [5] P6 ci :
0+5 Fe RES 3 et +oe ( 2 ) [5 4 + 1] (55) QG,#) = ; 04 a — S T et +oe 08 64 + 2] RD D) 2 | DRE à .
ce sont les formules données par Appell [1].
