I. — Les trièdres d'Appel
46. — Dans les chapitres précédents nous avons vu que dans l'étude actuelle
les expressions
NT EN TE ds = dx + dy + di — 3dxdydz,
et les trois fonctions
P(6; 7, Q(6, œ), R(6, o), jouent le même rôle que les expressions DER, ds — dx + d#,;
et les deux fonctions
cos 6, sin 6
dans l’étude du Laplacien à deux dimensions.
Mais aux quantités 2° + y*, cos0, sin 0 sont attachées dans l’espace euclidien à deux dimensions les notions de longueur et d'angle; nous allons de même cher-
cher ici à faire correspondre aux quantités
Vars ryze P(6, +), Q(6, +), R(6, +)
de nouvelles notions de longueur et d'angle et définir un nouvel espace.
47. Dérinirion : Étant donnés deux points infiniment voisins M(x, y, z) et M'(x + dx, y + dy, z+ dz) nous appellerons distance entre ces deux points la quantité +
ds = Vdx° + dy + dr — 3dxdydz.
LE
ho J. DEVISME.
Si nous cherchons les courbes qui réalisent entre deux points quelconques le
(Re fus.
minimum de l'intégrale
le calcul des variations nous fournit le système d'équations différentielles
ER Ver dx
où a et b sont deux constantes arbitraires.
Les équations générales de ces courbes peuvent s’écrire
nous leur réserverons le nom de droites.
Deux droites dont les coefficients x, 8, y sont proportionnels, les constantes %,, Yo» 2, étant différentes seront appelées droites parallèles.
Nous appellerons plan la surface d'équation
Aœ + By + Cz + D —o,
où A, B, C, D sont des constantes arbitraires. D'après ce qui précède la génération du plan fera l'objet des mêmes remarques qu’en géométrie euclidienne à trois dimensions.
Revenons à notre notion de longueur,
DÉriNiTioN : Élant donnés deux points M,(x,. y,, 2,). M,(x,, Y,, Z,) il passe une droite et une seule par ces deux points; nous appellerons distance M M, la longueur du segment de droite MM,
MEN EU dd FO de 0 Ne Cette relation donne lieu à l'identité (57) MM, + MM, — 0.
Étant donnés deux points distincts leur distance est en général différente de zéro. Toutefois si les deux points sont choisis dans le plan d’équation à 4
DIV =—ICS,
SUR L'ÉQUATION DE M. PIERRE HUMBERT. hr
leur distance est nulle ; la même propriété appartient aux plans d’équation
mjy js 0", ou
CPP Y EF ]JZ—=C":
Ces trois familles de plans jouent donc ici le même rôle que les droites isotropes de l’espace euclidien plan.
Prenons le point M,(x,, y,, z,), le lieu des points situés à une distance / de ce point sera la surface d’équation
(58) CT EG TN CT) 2) rez
ad)
que nous utiliserons plus loin.
48. Considérons maintenant les fonctions d’Appell P(6,%), Q(0, ®), R(9, +) pour lesquelles nous avons déjà donné un certain nombre de formules (cf. (8), (10), (1T);1Cr3), (55)). Complétons ces renseignements en donnant les formules d’addition dont nous nous servirons dans la suite
P(6 +6", © + p) — P(6, ©) P(6', #") + Q(6, p) R(6’, ©’) + R(0, ©) Q(6', '), (59) 4 Q(6 + 6°, p +») — R(, #) R(6’, »”) + P(6, p) Q(6', ») + Q(6, o) P(6', »’), RG + 6", ? + »') — Q(6, ?) Q(6', o”) + R(6, o) P(6', w'") + P(6, ©) R(6', o');
nous en tirons
Nous en déduisons de proche en proche les formules d’addition pour trois, quatre. couples d'arguments ainsi que les formules de multiplication correspon-
dantes.
49. Considérons un point M(a, b, c); d’après le changement de variables (9)
on peut écrire
a — pP(8, +), b— PQ(8, +), c— eR(0, g).
h2 J. DEVISME.
e De la définition du n° 47 on déduit, grâce à l'identité (10), que la distance OM
est égale à +, on peut donc écrire
PQ) Va ET SE ; b (Gr) QE, 3) = ———@————, Va DEC SN U0C R(6, ») = = É
Va ++ 3abc
On dira que l'on a les cosinus direcleurs d'Appell de la droite OM. Plus généralement les expressions (61) définissent les cosinus directeurs d’Appell d’une droite de paramètres directeurs a, b, c.
50. Noriox D'ANGLE. Considérons deux vecteurs V et V' de composantes respectives a,b,c, a',b',c" ou de cosinus directeurs d’Appell P(6, +), Q(6, +), R(8, +), P(6", &), Q(0', ?”), R(', »').
Dans la géométrie euclidienne plane le cosinus de l'angle de deux directions joue un rôle important dans l'étude de cet angle, ici nous ferons appel à la fonction P mais cette fonction n'étant pas paire nous considérerons à la fois les deux expressions
P(6 —6, v'—#) et P(6— 0, :» — +").
En utilisant les formules (11), (59) et (61) on trouvera aisément que a(a® — b'c") + b(b® — c'a) + c(c° — a'b') Va +b+e—3abc W(a + BE ce 3h) a'(a* — bc) + b'(b®— ca) + c'(c* — ab) Va Bb + ce — 3a'b'c VO + LC 3abcy
er g— 9) (62) pres LRU
DériniTion : Nous appellerons angle de deux directions, l'ensemble des deux quanlités 6 — 0", & — +" définies par les équations (62) où les six quantités a, b, c, a, b', c' sont connues.
Remarquons bien que nous ne définissons ainsi que la figure de l'angle et non sa valeur.
En géométrie euclidienne plane deux directions sont orthogonales lorsque le cosinus de leur angle est nul. Par analogie nous dirons ici que deux directions sont orthogonales au sens d'Appell lorsque la double égalité
(63) P(0—0, o—%") — P(# —6, ns ee
est vérifiée.
51. Pour trouver les droites orthogonales au sens d’Appell à une droite donnée, on est ramené à résoudre les équations (63) qui s’écrivent encore
(63 \ a(a”® — b'e") + b(b® — c'a') + c(c*— ab) — 0, ( a'(a —bc) + b'(b®— ca) + c'(c — ab) — 0, où a, b,c sont les données, a', b', c! les inconnues.
Or en géométrie euclidienne à trois dimensions la première équation représente un cône du second degré ayant son sommet à l’origine et la seconde un plan passant par l’origine, il y a donc au plus deux solutions réelles. Comme on trouve que les valeurs
a’ b, DEC Ca
vérifient le système, on en déduit que ce sont les solutions cherchées. THÉORÈME : Par un point d'une droite on peut élever à celte droite deux perpendiculaires au sens d'Appell et deux seulement.
52. Considérons maintenant les trois droites D, D', D” issues d’un même point et dont les paramètres directeurs sont respectivement
Cr DU =) (63) LC: É=;:à, is, — b, &— c, y = a.
Ces droites prises deux à deux vérifient les équations (63') elles sont donc orthogonales au sens d’Appell, on dira qu’elles constituent un trièdre trirectangle d'Appell ou d’une façon plus abrégée un trièdre d’Appell.
53. Étudions les changements de coordonnées dans les trièdres d’Appell.
Soit Oxyz le trièdre de référence qui nous a servi jusqu'ici, Ox'y'z" le second D), n Rte les cosinus directeurs des autres axes seront donnés par le tableau (65).
trièdre. Les cosinus directeurs de Ox' étant P(6,, 2), Q(6
La notion de parallélisme étant conservée nous pouvons appliquer le théorème des projections, on en déduit les formules de changement d’axes :
D PE, EI YR( 5 P) HZ O(6.; p),
(66) || = 2'Q(6,, 9) + y PO, 2) + Z'R(6,, 9), be es z'R(6,, pi) 7e VAQ OS 2) a 22P(07, CNE
ou encore grâce aux équations (11)
= TP, 0) ER RE 2 (67) Par) EYROSS OPEN CZ = LR, RON EP pe
De l'identité
D +y +2 —3xyz = (x +y+2)(x +jy +j'2)(& +J\Y +J2) —=(x'+y +2)(PLQ+R)(x'+jy +jz)(P+jQ +ÿ HE ÿ+j2)(P+j Q+;jR) ph yErz 3x! y z!
on déduit que la distance d’un point M à l’origine est invariante par ce changement de variables, il en est évidemment de même de la distance de deux points quelconques.
Considérons maintenant une droite de cosinus directeurs P(6,«), Q(6,o), R(6, »), Un point M de cette droite situé à la distance p de l'origine a pour coor-
données dans le trièdre Oxyz EP ECO (Ge) eR(6, +).
Ses coordonnées dans le trièdre Ox'y'z' seront en tenant compte des équations (67) et (59)
D OPO EN ppt rt) EU EROEN SR
Les arguments des cosinus directeurs d’une droite quelconque se trouvent ainsi tous diminués d’une même quantité 6, ou »,; on en déduit que l'angle de deux directions tel que nous l'avons défini au n° 50 est invariant par le changement de variables (66).
Par analogie avec la géométrie euclidienne plane nous dirons que le système (66) définit une rotation au sens d’Appell autour de l'origine, d'amplitude (4, »,).
Le déplacement le plus général au sens d’Appell sera défini par les relations
æ— à + &'P(6,,9,) + Y'R(6,,9,) + z/Q(6,, o,), (68) ÿ TS b FU x'Q(6,, (A) + y'P(6,, D) + Z "R(6,. 26); Zz —C oo z'R(0,, Po) es y'Q(,, Pi) d AM CPE Po) »
où les constantes a, b,c, définissent la grandeur de la translation et les constantes 0,, w,, l'amplitude de la rotation.
La similitude la plus générale sera obtenue en multipliant les coefficients P(0,,9,), Q(6,,9,), R(6,,»,) par un même nombre, nous serons alors dans les conditions du n° 42.
54%. Nous venons de voir que les transformations définies par les équations (66) conservent les distances et les angles au sens d’Appell; on pouvait le voir plus rapidement en remarquant qu’elles entrent dans lé cadre des transformations étudiées au chapitre II.
Revenons maintenant à ces transformations, et considérons un système d’inté- -grales
NOR Gr A te AE LIL (ER, V2)
-de l’un de ces systèmes (‘).
Soient
AU Na, NACRE Z(æ,7,2) = y
où «x, B, y sont des constantes arbitraires, les équations des trois familles de surfaces. Les notions de contact étant évidemment conservées, les équations des plans tangents respectifs en un même point M,(x,, y,, z,) sont
dX
Abe dX ET NE A +5, 9%) es Een
dY dx
dY dY Co Era ed Dre DC
dZ dx
? »Z Æ Cp Roi re Cat Li ei
Les arêtes du trièdre formé par ces trois plans ont respectivement comme coefli-
cients directeurs
TAN D 0 0 2 NN OX AN x Ye rar 0m oz an oc MlÉonoe pont Mer Ur Ra à Loos De di Var ot. DAT RE ARE dz dx dx DZ + dY 0Z dY 0Z )Z dX dZ dX ; oX 0Y dX 0Y :
GS ct, | —— 5 dx dy dy dx dx ày DYMO dx dy dy dx
Si nous posons
| XN DE DK X XX OX Mon D res
dx dy dZ°
(*) Dans ce qui suit nous n’utiliserons que les systèmes $, et S, afin de rester dans le domaine réel.
h6 J. DEVISME.
nous en déduisons dans le cas du système (S,) que les paramètres directeurs peu-
vent encore s’écrire | %, D 3
TE e Se) ëS - s nes RU t
ce
et dans le cas du système S, le même résultat avec échange des deux dernières. colonnes (‘).
Cela prouve avec les conventions du n° 52 que le trièdre considéré est un trièdre d’Appell. On dira que les familles de surfaces envisagées forment un système triple orthogonal au sens d’Appell.
Ces familles de surfaces jouent donc.ici le même rôle que les systèmes de courbes isothermes dans l’étude du Laplacien à deux dimensions.
Une famille de surfaces triple orthogonale au sens d'Appell, particulièrement. simple, sera celle définie par les équations
Al
où © est la fonction module, 6 et les deux fonctions arguments. Considérons eucore trois familles de surfaces d'équations
J,(&, y, 7) = a, JG, y, 2) = b, JR, 7,2) = c, formant un système triple orthogonal, et soient Li dar Un), CN CAO 20; (a; be)
les équations résolues par rapport à æ. D'après un résultat énoncé par Appell [1] les deux systèmes de familles de surfaces définies par les groupes d'équations
PC, y, 2) — a, PR, y, 2) =$, AL, y, 2) = ACATARDECTF PACANARDER TE LACAL AE ) =
constituent encore des systèmes triples orthogonaux.
() Nous aurions des résultats analogues avec les autres systèmes (S), mais nous verrions apparaître les coefficients 1, j, j? (ce qui ne changerait du reste pas les résultats au point de vue orthogonalité au sens d’Appell, les relations d’orthogonalité étant encore: vérifiées).
55. Nous venons de voir que si X(x, y, z), Y(æ, y, z), (x, y,z) vérifient un
système (S), les trois familles de surfaces d'équations
(69) AC Ya. NÉE PRIE) —Y constituent un système triple orthogonal au sens d'Appell. Cherchons réciproquement les conditions que doivent vérifier X, Y, Z pour que les équations (69) définissent un système triple orthogonal au sens d'Appel.
D'après ce que nous avons vu au n° 54 nous sommes amenés à écrire avec les
notations du n° 54 un système de relations tel que
ni NX Duc, ba", Car, CENT. ns
où À et & sont deux fonctions arbitraires("). Si l'on remarque que les dérivées de X, Y, Z, par rapport à x, y, z sont tout
simplement les mineurs du tableau
a a a b' b' C c' c" D'OCN2) au coeflicient d = ———— o. près, on trouve D(x, v,2) AA 2X ! 12 dY CA ll oZ ! ! 2 VAE b'e"— c'b"—u(c"—a"b"), d EE b'e—c"b—2(b"—c'a"), d bc'—cb'— \u(a"— b'c"), dX 1 12 V2 dY rer: TR REC 12 ENT dZ nue ' ae DES 12 rio ua 0"ct), > d = Car die (cu ab"); dt D = ca" — ac —= pu (b"® — dY dZ 1 — g'b"—b'a"—p(b"—c'a"), d à = a"b — b"a — \(a"* — b'c"), de — àb'— ba — )u(c"— a"b"). oz oz [e
X, Y, Z vérifient donc le système d'équations aux dérivées partielles
error NET RENTE : at nez Ce, RNA ET ÉTAT Riz MATTER
__ (‘) On peut toujours supposer a”, b", c” différents à la fois de zéro.
mn,"
Système déduit de S, par multiplication des deux premières colonnes par les. facteurs À, u(').
En considérant l’autre hypothèse de proportionnalité des a, b, c, a', b', c', a", b", c' nous trouverions de même un système analogue à (S,). En ne se restreignant plus au seul domaine réel nous verrions apparaître des systèmes analogues à (S,), (5.,), (5,), (S.), Appelons systèmes (S”) ces systèmes nous pouvons énoncer :
Pour que les équations (69) définissent un système triple orlhogonal au sens d’Appell il faut et il suffit que les fonctions X(x, y, 2), Y(æ, y, 2), Z(x, y, z) vérifient un système (S"). Dans le cas où le système (S") se réduit à un système (S), on a de plus un système isotherme de surfaces.
On peut du reste montrer que par un changement convenable de fonctions
un système ($”) peut se transformer en système (S). 11 nous suffira pour cela de montrer que la nouvelle fonction % peut être choisie de façon à vérifier le système (2).
Exprimons d’abord que le système (S”) est compatible; il nous suffira d'écrire
que les équations
dY dY dY dx HE dy PE dz T dZ dZ dZ ee is > du 0;
ou, ce qui revient au même, les équations
0X dX dX ; d. RS dE 0; dX dX dX ao - = JT 0;
sont complètement intégrables. Nous voyons que X vérifie le système d'équations.
aux dérivées partielles
oX 2X dX DR D De 0 dy GPA
(70) + x x [£ D'X LH DX + D X—0.
dx dYANE ARE
(:) Pour plus de symétrie on pourrait prendre les coefficients À, &, y pour chacune des.
trois colonnes.
Exprimons maintenant que Æ(X) vérifie le système (2), nous avons, en posant
2 DXNE NOX OX OX —=|—) — | dx dy àz
EN een
\ D,(&) oi À" D,X + d'5,X OP D, (4) = "D, X + %'3,X — 0, D, (%) = %'"D,X + #'5 X — 0,
ou
DR Der %'(X)
DT ER re Or
D'après les équations aux dérivées partielles vérifiées par X nous’savons que les
trois premiers rapports sont égaux; soit À leur valeur commune, il nous suffira de montrer que À ne dépend que de X.
Prenons comme expression de A :
SXD,X SD,x SS X,5,X A S 5x
d 4 ù En remarquant que de SX,D,X Se
SX.D.X — O0, nous pouvons écrire
d ùd RTE * à = SXD,X + e SXDX+—SXDX 3 SD.X [XX + XX + X.5,X]
SX, X LS x,2,x | S5.X
AN DIX DIX D SD LE GAGXD Xe ND/X)
SX5,X
Pubs X,A,X “1% SA [G,X) XL (3, X) (,X)]
Re EME 1 SX, ë,X SX, 5x
5o J. DEVISME.
À d à ; En recommençant le même calcul pour = el — nous trouverions que OY n Rens : SX5,X
Nous avons donc
D(ASX) M eD AO SD TON DYAMIDE TMD TUE
et À ne dépend bien que de la seule fonction X ce qui démontre la proposition que nous avions en vue.
56. L'introduction des trièdres d’Appell va pouvoir encore nous donner une interprétation géométrique simple de l'équation de M. P. Humbert, interprétation à rapprocher de celle du Laplacien à deux dimensions.
Considérons d’abord le système (2), on peut l'écrire
ù ù d OU ù JU ù DU \ RE ne me LANDE dy \ 2z QHAEREE dy à aU\ d / oU ù dU ù dU Diners) cie à dU d /aU ù dU ù J ee ee . DEN Z dx \ dy ds \0Z dy \ dx
—- Si nous appelons encore tourbillon d'un vecteur V (X, Y, Z) le vecteur de composantes
et que nous posions
daU ù à (71) Xe— + Vie Le —= L :
dz dx dy le système (2) s’écrira D'UN 0; (72) DÜ=S—=0, \
Si nous posons au contraire
JU JU dU (73) NA — —— , \L == ; 1 — — , dy dz dx le système (2) s’écrira RO 7 OR (54) DU 0, DU 0
Appelons rotation orthogonale d’Appell l'opération consistant à transformer un
vecteur 1 en un vecteur de même longueur mais porté par une de ses perpendiculaires d’Appell (cf. n° 54).
Les vecteurs définis par les composantes (71) ou (33) sont déduits du gradient dU oÙ oU de” dy 02 expriment que les tourbillons des nouveaux vecteurs sont encore nuls, on peut donc
par une rotation orthogonale d'Appell. Les équations (72) et (74)
énoncer :
THÉORÈME : Le système (2) exprime que le champ de vecteur obtenu à partir du champ de gradient de la fonction U en effectuant une rotation orthogonale d'Appell est encore un champ de gradient.
Prenons maintenant l'équation de M. P. Humbert; elle s'écrit ainsi que nous l'avons déjà vu
à ù à (15) SU (D,U)+ (DU) + (DU) =0:
On exprime ainsi que la divergence du champ de vecteurs (D,U, D,U, D,U) est nulle, c’est-à-dire que ce champ de vecteurs est un champ de tourbillon. Mais en utilisant les calculs (72) et (74) on sait que le champ de vecteurs (D,U, D,U D,U)
est un champ de tourbillon lui-même, on peut donc énoncer :
Taéorème : L'équation de M. P. Humbert exprime que le champ de tourbillon du champ de vecteurs oblenu en effectuant une rotation orthogonale d'Appell sur le champ de gradient de la fonction U, reste encore un champ de tourbillon lorsqu'on effectue sur lui une rotation orthogonale d'Appel.
57. Regardons un instant notre espace avec un œil euclidien. Comme nous l'avons vu au n° 45, les surfaces 0 +w—c"* et 9—%—c* sont respectivement des cônes de révolution ayant leur sommet à l’origine et d’axe commun
