FT
La première polaire du plan tangent par rapport au cône décomposé aura comme équations tangentielles
u,(u* — vw) + v,(v° — wu) + w,(w°— uv) = 0,
r —0; en revenant aux coordonnées ponctuelles on a le cône d’équation
75) (us Fa kv,w,) At (OX 1 kw,u.) VE (w; Te Au,v,) 1° — 2(aui + v,w,) YZ —2(av, + w,u,)ZX — 2(aw + u,v,) XY — 0.
La deuxième polaire du plan tangent par rapport au cône décomposé a pour équations tangentielles
(uÿ — v,w,) u + (vi — w,u,)v + (wi, —u,v,)w = 0,
c’est donc la droite, issue du point considéré %,,Y,, z,, ayant pour paramètres
-directeurs
GRATIN PNR PONTS 2e PR ENS Le Les
(‘) Dans les divers calculs nous avons utilisé l’identité (30). Remarquons aussi que les notations u, v, w utilisées ici n’ont rien à voir avec celles des deux premiers chapitres.
59. Lorsque la fonction f(x, y, z) est une intégrale du système (2) on peut l’incorporer dans une famille de surfaces formant avec deux autres familles un système triple orthogonal au sens d’Appell. La droite définie par les paramètres (76) est, d’après ce que nous avons vu au n° 54, l'intersection des plans tangents en (,. Y,s Z) aux deux autres surfaces passant par ce point.
Dans tous les cas le plan tangent à une surface, a une équation vérifiant le système (2), on peut donc toujours l'incorporer dans un système triple orthogonal; la droite considérée est alors l'intersection des deux autres plans passant par le point commun. D’après ce que nous avons vu au n° 54, ces trois plans déterminent un trièdre d’Appell.
Finalement étant donné un plan et un point de ce plan on peut toujours (et cela d'une façon unique) le prendre comme face d’un trièdre d’Appell ayant ce point pour sommet; la troisième arête (non contenue dans le plan) de ce trièdre est la droite définie par les paramètres directeurs (76).
Dérinirion : Les droites dont les paramètres directeurs sont donnés par les expressions (76) où f(x, y, z) —o est l'équation d’un plan, sont dites normales d’Appell au plan au point d'intersection. Ces droites sont encore normales d’Appell à loutes les surfaces tangentes au plan au point considéré.
Réciproquement étant donnés une droite et un point de cette droite, il passe par ce point deux perpendiculaires au sens d’Appell à la droite considérée; ces deux droites déterminent le plan normal d'Appell en ce point à la droite donnée.
Ceci nous amène à nous poser le problème suivant :
PROBLÈME : Quel est au sommet d'un faisceau plan de droites, l'enveloppe des plans normaux d’Appell à toutes ces droites?
La théorie des formes polaires nous en donne la solution immédiate, cette enveloppe est la première polaire (75) du plan des droites par rapport au cône isotrope ayant même sommet que le faisceau.
60. Comme application de ce qui précède, cherchons ce qui pourra jouer le rôle de l'équation normale d'un plan.
Considérons la droite issue de l’origine d'équations
& — pP(6,4), y = PQ, 9), 2 — 6 R(6, &),
où 6 et sont deux constantes, £ la distance à l’origine du point courant. L’équa-
tion du plan normal d'Appell issu du point æ,, y,, 2, situé à la distance d de
l'origine sera
Ce — x,) (P*#(0, #) — Q (0, #) RE, &)] + (y — y.) [Q°(0, #) — R(0, +) P(6, g)] + (2 — 2,) [R#(0, &) — P(0, &) Q(0, #)] = 0,
c'est-à-dire
(œ — x) P(—6, T0) ne CÉENAD MEET 0) + (z—2,)Q(—6, — o) NO ou encore (77) DP(—0, — 7) + YR(—S, — +) + 2Q(—0, — 9) = d.
On démontrerait de plus très aisément que la plus courte distance (minimum de +) de l’origine au plan est justement la longueur d.
61. Faisons maintenant une étude succincte de la surface -(78) L'H+Y + —3xyz—p
-à laquelle nous donnerons le nom de sphère d’Appell ('). On peut, ainsi que l'a fait Appell [1], la représenter paramétriquement par les formules
(78") CN AUD Yo. 0), AA CE
La normale à la surface au point (x,,ÿ,,z,) a pour paramètres directeurs -d’après le paragraphe précédent (CA a A) (4e TE Z,%) (CA es LoY) Fe xp", (y “an 2 LD (z ae %,Ys) Ge 12) = V6 pe
(& ne NU 2) (Ge Es ZX) += Zipe
-elle est donc confondue avec le rayon vecteur. Le plan tangent au point (6,, ,) aura comme équation
(77) RS Re) RER ER Z QC ER):
Prenons maintenant un point M(x,, y,, z,) extérieur à la surface et considérons
“une sécante variable issue de ce point
a Vi 0, (a + b + c—3abc — 1).
ER
(:) Cette surface qui apparaît dans diverses théories porte de ce fait des noms difféæents, on l'appelle aussi sphère affine, hyperboloïde cubique.
L'équation aux À des points d’intersection de la sécante et de la surface est
Ge, + a) + (y, + 02) + (2 + 1) —3(x, + ax) (y, + BA) (2, + ce) — da): AE OUT nt Le] + AT... IFN = 0:
Le produit des trois racines À, À, à, s'écrit donc (79) AA À, = ps FU es ?
où p, est la distance OM. On appellera ce produit puissance du point par rapport. à la surface. Le lieu des surfaces d’égale puissance sont des sphères d’Appell con-
centriques.
62. Cette surface peut encore servir à définir une transformation, étudiée par M. D. V. Jonesco [44], analogue à l’inversion dans le plan. Au point M(x, y, 2), faisons correspondre le point u(£, n, €) défini par les
relations
(80) De PRE PR RE A Le Ce ER a — Yz ÿ— 2x 2 — xy C++ Y +2 —3xyz
On montre facilement que l’on a les relations
3 3 3 & Cre k° QE RE Te pneens à
GE y Z ke
8 ne RE AL AE @2) ec 2 ER Se
ce qui montre les rôles réciproques joués par les points M et x; on trouve du reste les relations
(83) xE+yn+zi—=k,
(84) (7) = n0 +072) (nt) EG 0) En).
Remarquons aussi que les droites OM, Ou sont dans un même plan avec l’axe == " NE Se Si nous utilisons les variables u, v, w du chapitre I la transformation s'écrit,
ainsi que nous l'avons vu au n° 9
