TON SO
elle fait partie des transformations étudiées au chapitre II.
Exprimons maintenant la transformation au moyen des coordonnées 9,0, . Le point
æ — pP(0,9), y = pQ(0, #), z — pR(0, ©),
se transforme en
k ki k ere): ee D et he Er mb c'est-à-dire encore k k k a en) De CN Ep Ses im Les équations de la transformation peuvent donc s'écrire k (85) P——, O — —», P — — 6, le)
ce qui montre clairement que la transformation échange les surfaces concentriques e — c"* sauf une qui est laissée invariante; sur cette dernière surface les courbes 86—c*, 9 —c* (qui sont des asymptotiques ainsi que l’a montré Appell [1]) s’échangent. Sur cette surface la transformation revient du reste à une sorte de symétrie par rapport à la courbe d’équation
to —' 0:
63. Disons maintenant un mot des courbes gauches. Considérons une courbe gauche donnée par les expressions des coordonnées du point courant en fonction de
l’abscisse curviligne (86) œ — &(s), rt) z — 7(s); les cosinus directeurs de la {angente seront (*)
HACA EU dz
(87) gen É érraont
avec
M +É+y—Sabr= r.
(*) Nous utilisons ainsi la sphère d'Appell comme indicatrice; nous avons donc ici une mesure de l’angle élémentaire au moyen d’arc élémentaire de l’indicatrice de rayon unité.
As
Le plan normal d'Appell aura pour équation
Pour le plan osculateur, comme la théorie du contact est encore valable, son équation est
(89) My a) ED) EE Ca) EEE EE
L'intersection des deux plans sera la droite de coefficients directeurs (°)
on l’appellera normale principale à la courbe. Si a’, 8’, y sont les cosinus directeurs de cette normale, on aura d’après ce qui
précède les formules de Frenet (”)
du does a NOR Re SRE te DER UN Ne mA avec (91) —,,0 Je y ne 2" 3 c'y z' ;
Si nous considérons maintenant la courbe comme trajectoire d’un certain mou-
vement d'équations
on aura en posant
Le ds PACE (93) æ'— av, Y = fu, 2 Yyv, v° dv v° dv v° dv DS Ge Le Re pee Gt ME 1e PERS Or ner PER nr Ron
l'accélération T peut donc ici encore être considérée comme résultant d'une accélé- . ; dv k : v° ration tangentielle 1, — TR et d’une accélération normale V, — ni
(:) Nous avons utilisé les deux identités x'8 he ya Fe 23 — 3x'y'z! =, x" (x'2 LS 1202) dE y" (y'° 2 20) Je CAE Es Gas) = 0.
(*) Nous pourrions étudier aussi la variation du plan osculateur afin d'introduire quelque chose d’analogue à la torsion, mais les calculs sont rapidement inextricables.
64. Comme exemple de courbe, prenons une courbe 6 — 6, sur une surface e — p,. On a les équations paramétriques
(95) Ge POS): = 0, Q(06,, œ), 2 F0 0)
on en déduit
(96) Qu) BRU), = P(6; 9)
car
L'équation du plan normal sera ER OMR OC 9) EP RPÉES,, SE) 0 ou en remplaçant x, y, z par leurs valeurs (97) Em AE
ce plan passe donc par l’origine.
La normale principale a pour cosinus directeurs
(98) a — R(6,, o), BP (0 2), 006)
d’après ce que nous avons vu au n° 54, cette normale est donc orthogonale au sens d’Appell au rayon vecteur, ce qui montre que le plan osculateur à la courbe est le plan tangent à la surface o — »,. Les courbes 0 — 9, sont donc (tout comme dans l’espace euclidien à trois dimensions) des lignes asymptotiques de la surface p — o,. Pour le rayon de courbure on voit facilement qu'il ‘est constamment égal à »,. Les
mêmes propriétés appartiennent évidemment aux courbes 9 = »,.
65. Revenons encore à la sphère d’Appell sur laquelle se trouve tracé le réseau des courbes 6 = c“, 9 — c®. D'après ce que nous avons vu au n° 54, ce réseau de courbes est un réseau orthogonal (puisque les familles de surfaces o — a, 0 —b, #9 — © forment un système triple orthogonal).
La distance de deux points infiniment voisins est donnée par la formule
(99) ds = Vatdi + dr),
ainsi qu’on le voit en faisant + — p, dans la formule (34). On voit facilement que
la distance géodésique entre deux points distincts M,(8,2,), M,(6,, »,) est donnée de
A même par la formule
PACS TS I YU (100) MM, — p, V(0, — 0,)° + (9, —o)".
Mais si l'on considère de même le plan æOy d’un trièdre d'Appell (tout plan peut répondre à la question) la distance de deux points infiniment voisins est
donnée par (toi) ds = Wdx + dy’,
et l’on a pour deux points distincts M,(x,,7y,), M,(x,, y,)
(102) MM, = V(x,—2) +(r, =).
On peut donc établir une correspondance ponctuelle entre la sphère d’Appell et
un plan. Prenons par exemple
(103) mp, ppp:
les mesures de longueur sur le plan et sur la surface seront les mêmes.
Considérons maintenant deux courbes de la surface et leur représentation plane et cherchons si l’angle d’Appell de ces deux courbes est le même que celui de leurs représentations. Nous pouvons sans nuire à la généralité supposer ces courbes issues du point 6 — + — 0, leurs équations seront alors |
(104) | No; CENT
et l’on aura d’après (12) et (78) sur l’une et l’autre courbes
dx — QAR + Q) dy, ([ôæ—{(uR +Q)5, (105) dy = (@P +R)de, 5y —(uP + R)ôo, du (NQ EP) de. ôz = (UQ + P)5o.
et les expressions (62) sont respectivement égales à
1+Au +R à
Vi ne Vi on Va+x) Vite
Pour la représentation plane on aura
et le calcul des expressions (62) redonne les expressions (106). On exprimera cette conservation des distances et des angles en énonçant : THÉORÈME : La sphère d'Appell est applicable sur tout plan de l'espace. On déduit de cela sans calcul que les géodésiques de la surface sont les courbes d’'équation
-où a, b, c sont des constantes arbitraires.
REMARQUE : Ajoutons que si nous prenions comme élément d’aire l'expression do définie au n° 27, la transformation définie par (103) établit une correspondance à aires égales entre le plan et la sphère d’Appell.
IT. — Comparaison avec l’espace de Finsler-Cartan.
66. Dans les différents paragraphes qui précèdent nous avons cherché à généraliser la géométrie euclidienne plane en substituant à l'expression ordinaire de la
distance de deux points infiniment voisins la nouvelle expression (108) ds — Vdx° + dy + di — 3dxdydz.
De nombreux essais de généralisations ont déjà été tentés par d’autres auteurs parmi lesquels nous citerons MM. P. Finsler, L. Berwald... Je voudrais dans les lignes qui vont suivre voir en quoi le point de vue Finslérien tel que l'entend M. E. Cartan(‘) diffère du point de vue que j'ai considéré.
Remarquons tout d’abord que les notions de normales coïncident; en effet la sphère d’Appell est extrémale à la gerbe de droites issues de l'origine lorsque l’on prend comme ds l'expression (108), la normale de Finsler à la sphère d’Appell est -donc encore le rayon vecteur. On en déduit évidemment que la direction de la nor-
male est la même pour toute surface dans les deux espaces.
(:) Sur les espaces de Finsler (Comptes Rendus, 196, 1933, p. 584).
67. Étudions la sphère d’Appell p — 1 au sens Finslérien, nous aurons (‘) en coordonnées o, 0, +
(109) LP = p + p6 + po —3p'p0,
avec sur la surface (*)
Nous tirons de (109) les relations
(LL: = 0° — p'ôo, (110) (LL à = 90 — 600,
As = sp — pp0.
En utilisant l'indice zéro pour représenter les valeurs prises sur la sphère d'Appell, nous aurons
CRÉAS (LÉ) ro;
Nous aurons ensuite en dérivant convenablement les relations (110)
CET Æ 2L(L; 1) = 26, (LYS ,:3 + SR RE Vs = Pe, CHR Le AC E — 2 6°6, (Ds in ETAT: = = P"6, (LVL, 3:3 + 2L(L: 3) — 26, Qi Fate pro
d’où (Li258k = —1, il = (Bail = sis) = (4350, — (L;152) = 0.
Sur la sphère d'Appell la forme angulaire sera donc donnée par
il De 5 NAS , .
4e x° J ES @. @Q LD —= — LU g is dE ie a. (L234), dôdo = — 2dûde.
EE à . dF dF (*) Nous utilisons les notations de la note cilée; par exemple F;: = —, F;,1 = — es de d0® d?
(*) Les mesures sont rapportées au repère naturel mobile en coordonnées p, 0, o l’élément d'appui étant dirigé suivant le rayon vecteur.
Comme sur la sphère d'Appell 8 —1, les d0, de sont égaux aux d6, do(), nous voyons ainsi que notre notion d'angle est profondément différente de celle de Finsler-Cartan puisque l’une revient à considérer d6° + d2° et l’autre dôdo.
Cette différence de théorie apparaît à nouveau si l’on étudie la géométrie intrin- -sèque de la sphère d’Appell.
Comme I >? ge re JE SR = Ali + Leds,
A or
-on trouve facilement que guh = 1; (Gas) = — 1; Ga = (ssh (hi (94) —:0 d’où ds — — 2dûd+.
Au point de vue Finsler-Cartan la géométrie intrinsèque de la sphère d’Appell -est celle du plan euclidien ; à notre point de vue c’est la géométrie plane de notre - espace (©).
68. Calculons maintenant la seconde forme fondamentale de la sphère d’A ppell. Nous pouvons très simplemeut montrer, ainsi que nous l’a signalé M. E. Cartan, que cette seconde forme est égale au signe près au ds’. Pour cela utilisons les
-variables u, v, w, on a alors
