I. — Généralisation des polynômes de Legendre et Gegenbauer
69. On connaît le rôle important joué en analyse par l'expression
(tri) Reda) cos
M. P. Humbert et moi-même avons eu l’idée de généraliser cette expression en considérant le produit
G 12) (r . he°*++) (Gi nt heis) (1 ut he’ 1) = 1—3hP(6, 9) + 3h P(— 0, —%)—h.
J'ai enfin considéré aussi le produit plus compliqué
(n13) = he ke) (1 — Re — keŸ®)(1 — he — ke?) = 1—3hP(0,0) —3kP(0, ®) + 3hR°P(—6,0) + 3hk[3P(6, o) P(o, ) — P(6, #)] + 3k*P(0, — ©) — h—3hkP(—0,2)—3hkK°P(6, —e) —k.
Nous allons dans ce chapitre passer en revue un certain nombre de propriétés des expressions (112) et (113) généralisant celles classiques de l'expression (111).
70. On sait que le logarithme de l'expression (111) est la fonction génératrice
de cos nû nn
> h (114) — log(i—2hcos0 + k) = cos no.
Généralisant ce résultat M. P. Humbert a montré [41] que
P(n6, no).
us (n0, no)
Gb) op(1 3h PO, 9) 346, 5) — N
J'ai moi-même complété ce résultat en montrant [20] que le logarithme de l’ex-
pression (113) est fonction génératrice pour P(m6, n+) et donne lieu à l'identité
(116) —logir —3AP(6,0) —3kP(o, —9) + 3h" P(—0, 0) + 3hk[3P(6, o) P(o, &)] — P(6, »)] + 34*P(o, — 9) — h— 3h kP(—0, 0) —3hkP(9, — o) — hi
— ÿ, ÿ : C". R"K"P(m6, no).
m + n mn
71. Considérons maintenant la fonction génératrice (19) [1—3hx +3hy—Rh]" qui généralise celle de Legendre et Gegenbauer et qui admet comme cas particulier
celles qu'ont étudiées MM. Pincherle, P. Humbert et Bevan Baker [46, 31, 3].
Posons
(118) V=hi—3hx+8hy—#] = Ù k'C(x,y.
On en déduit immédiatement les identités
| dV (19) Goes nC y ro (120) En EE SONT a (121) — h ER LR dV dV (122) = F0:
En identifiant les coefficients de k” on trouve
(123) (n + 1)C —3(+v)æzc HAE 1 LANCE RES EEN)) C0,
. re C0 C 6, ur PIC do : dC, JC dc" — (AN — en Ur, + 4 tte (125) =D G ee ta «.
(126) Gt ac
Ces diverses identités ont lieu entre polynômes de même indice y. Si on lève cette restriction on peut écrire les identités de formes simples généralisant les identités classiques relatives aux polynômes de Gegenbauer (cf. Wirraker AND WATson :
A course of Modern Analysis, 4° éd., 1927, 1930). On peut écrire par exemple
dC »C ? v+1 n vi dx AC», dy Fr 3v CO
on en déduit les relations(*)
d ; A Cu, (ee 1) CES = 1) D'ute” CR re El en Per ere Te es Re Onihon - DAVIRENT Di dy SACRÉ 4 2 ?
SC >= C> n n— 0.
(129) = CNE
En utilisant les relations (123), (124), (125) on peut obtenir de nouvelles iden-
tités; (124) par exemple s'écrit, en tenant compte des relations précédentes y+1 y v+x ñn NT (130) DOME 00 He ve Cr
Dérivons (123) par rapport à y(*) et tenons compte de la deuxième relation (127)
on à RDC Sn v)æ CT + 3(n—1+2v)y CT — (n—2 +3) Ce PEER Ne n—1 à n— n— y n—1 ou n +2y
(31) (+2) CT Sn + 1 + De CT + 8(n + a)y CT —(n— 1 + 89 CT —
ce qui donne en remplaçant Ge par sa valeur tirée de (130) et en divisant par (7 + 2)
vx vi vx n in 3v TRE (132) C, en OR ER a re ou encore +1 y y Deal à , (152) Cr — 2% Ce + y Co — 3, L C,,—0
(*) D’après les notations classiques — log(1 —3hx + 3h?y — hk°) — > ne C'(æ, y).
() En dérivant par rapport à æ on trouverait les mêmes identités.
En éliminant Ge entre (130) et (132) il vient
2) És PS Jos (133) n —— Era 3,
Ja —a(y—2) CT TE) CU Le 3v ; N—1 n—=
TUE Not ; ; En éliminant C”, on a d'autre part
vi 2 vi Ù ri 3 4 (134) Coy— D CÉ 2 — 0) CN y CE + RC 0.
On peut trouver bien d’autres relations; signalons encore celle qu’on obtient en
AE . v—+ . û éliminant C, " entre la relation suivante
(33) n CT (n+aH+3ME CT 66 +100) +36+DG—anC
et (132), et qui s'écrit
Ga) 86 +01 an CS 66 + NGC
ke n(n + 3 &
+ (By —n#a)z CT +ny CT = C,
Remarquons aussi que l’on peut tirer d’autres relations en dérivant par rapport à x ou y; toutefois certaines d’entre elles se reproduisent à condition de changer le
nom des indices » et v, il en est ainsi par exemple de (132), (133), (133'),
72. Si nous posons maintenant (a — U(x, y), on peut chercher les équations aux dérivées partielles vérifiées par la fonction U. Limitons-nous au second ordre; en tenant compte des relations (127), les équations (130), (132'), (134) et (134') donnent respectivement (")
YU YU nu dU (135) œ Si + 2y an pe —(n— 1) er d'U YU Ÿ (58) dx a dx dy 17 Le A à dU (137) (x, Sn Ro as 0,
d'U dU (130) 102 (Cr — CR (xy — Diva D
(*) L'absence du coefficient » pour l'équation (135) est tout à fait remarquable. Remarquons aussi que ces équations ne sont pas indépendantes, (137) pat exemple est combinaison de (135) et (136).
73. Ces dernières équations ne sont évidemment valables que pour des polynômes dépendant effectivement de æ et y. Nous sommes ainsi amenés à chercher
ce qui arrive dans le cas contraire pour G (x, 0), C. (0, y).
«) Prenons d’abord le cas y = 0. On a alors
(n + DO (2 + v)x C—(n— 2 =. 8v)C., ==; o CES CAE DOS Are
(ASE EN EAN d’où l’on tire en éliminant Gas CVS
CLR î Fe Ma pre RU
Éliminons maintenant Eu entre cette dernière équation et la suivante
: FRE dir :
AE PRE DRE 1 il vient dc, v C4 (ER, (139) 2 ra mc on Ur ONCE re
Mais on a aussi
d | dC, Us :
——| —— — 27% — — (n — 3v) C (140) 2 rs ere CRE LE Su) W
CAC CAES PT DIE CE EUR — (n + 1 + 3v) me 0!
d'Or die en résolvant les équations (139) et (140) par rapport à Ta , TS et en écrivant
dCi 2 d c' ) dei de Nano rer)
on trouve l'équation différentielle
(n) Ga+i) er + 6(8 + av)
dx?
d'C À —[ôn F3n(2v+ 1) —(3v+2)(GyEL5)]x Se —n(n+3v)(n+3v+3)C = 0.
C’est aux notations près (changement de k en — À et de x en — x) le résultat, déjà trouvé par M. P. Humbert [31]. Si nous posons u — — 4x* on est conduit à
dc, 7 dc, (HP) ARE (E ee + E — Ç + 7) «| UT
2 2 dC' (2 Je RS SR ONE 2 ie É 12 12 br PR UE du ñ n ÿ n y I ÿ a : )JE=e.
équation hypergéométrique dont M. Bevan Baker [3] a déjà donné l'intégrale générale-
0-0 “e D VTT 2 ni LE UT ES ET AU Te PP CRE (143) ne ASP es os 1 | —n to y Neon v+I NY Si Be,F MAR per +Ba | +3 Si HR ar | NI DONN Vo DT PAST SRE Cx°F SET tr TA ut FREE Ve 5 : GS +GaiF,] 52 + RME TR LP hs |
6) Supposons maintenant x = 0. On a
(n + 1) CA ROUE) OT ESPN) CS
y dus du, MSA A PT Ge de
d’où l’on tire en éliminant (où er |
dc, ES Au dy dy A1 È ou dc, ace, :
He 7 +(n—2+3v)C,, —o.
Éliminons encore une fois GAUES il vient
æC' FC ac. fa Fr Ad DR I ROME ea nues ON) STD) CES — 10 mais AO dc!
SUR L'ÉQUATION DE M. PIERRE HUMBERT. 71 -n éliminant (ps on trouve enfin d'O! PC dQ
4 3 MER Ge ? ROUE PTS ET SR “Ce OR (144) (4y +) d +6(3+2v)y de (Bn°—3n—10—30v+12nv)y de
NUE) (TES TLC 07
Il est remarquable de constater que le changement de y en x et de n+3v en —n (C, restant le même), transforme l'équation (144) en l'équation (141).
On en déduit immédiatement l'intégrale générale de (144)
n me er VON DOTE #1 (145) Ar [++ PTE Dr atne ne de) n —nN 1 —n. 5 2 4 à HE 6 +3 6 ee 27 on F di HE é Par 7.4 5. ë + CHE] +v+2, 6 T3 6 T6 33 |
En faisant y — o on retrouve aux notations près les résultats de M. P. Humbert [37].
Remarquons pour terminer que les calculs qui précèdent supposent n > 2; mais les équations (142) (144) sont vérifiées aussi pour n — o et 1 comme on le voit faci-
lement.
74. On sait que lorsque l’on utilise les fonctions circulaires, les polynômes de
Gegenbauer définis par le développement (146) fi—2hcos6 ay — ÿ "c'(6),
vérifient l’équation différentielle
d'U cos0 dU
(147) desert v)U 0;
# on peut se demander s’il existe une équation aux dérivées partielles généralisant cette équation lorsque l’on considère le développement de la fonction
CAB EN SPL) RPC, 5) A OC (6, +).
On a immédiatement les relations
(149) (nr + DCE (TV IP CS 1 +2v)(P° — QR) CMS 2 +3») 0 — OL
| oXEE ) CLONES Gr (150) nRG + (r—1)(Q = A P)C INR = DA ON ue re 2e, )C, Je Nes (G51) nQC'+(n— 1)(R— PQ)C'. = Pt — 2P— QR) +, n NI do ) do )C, DC dC’ REA CR UE One me Tee PE
qui sont analogues aux relations (123) à (126). Éliminons C, entre (r49) et (r50) d’une part et entre (149) et (151) d’autre part,
il vient après avoir retranché membre à membre les relations obtenues
àC. d'O: dC. àC.
Lo RU à mn |,plo ARE n € dv d6
LORIE JUNE à PR OR) R ESS EG ees) 0 ROSES
ou en tenant compte de (152)
)C )C dC’ | d CRT (o® [ce rr) RO) | -rf on) SE 0)
k C, dC, | » =) | a a x À *48) En 3 Les 3 y ses Fe o TR rh GERS de de En résolvant le système des équations (152), (153) par rapport à ae et ne et na [de] dut en identifiant ensuite les deux expressions trouvées pour la dérivée seconde SRE ë 0vco
on voit que C, . vérifie une équation aux dérivées partielles du second ordre; en
changeant n —1 en n, on trouve l'équation vérifiée par C, qui s'écrira en posant C’ —U n
YU dU dU dU=
Considérons à nouveau les équations (150) et (151) et éliminons C, (mais non ses
dérivées) il vient compte tenu de (152) et après changement de ñn—1enn
Xe: )C Con) Ce POUR PES OR) CPREE OP aRQ! — n 0@ 0 CH CA 0 N'ivd do
En résolvant le système formé par les équations (152) et (155) par rapport à DC. dc” DE
R—1I r . 2 PHONE et en égalant les expressions trouvées pour 0 v 9
on voit que la 00€
fonction C, vérifie l'équation aux dérivées partielles du second ordre (*)
(156) mrQ|E—ne | =Q-nr| En
Considérons maintenant à nouveau les relations (133) et (134) que nous écrivons en tenant compte de (127)
)C (33) nC=(n—1+8)a 0, 272) 2 — (1 — y) nc | dc, 'c, (134) (RATES) nya GT pese CD) ra
En effectuant le changement de variables
doV doV dV — —R——(Q0 —R 20 èx Ë dy @ P),
daV dV do
oV Q— +R — PO),
ces relations deviennent
JU 10% (133") ACTES) P GE EE Q 4 HS C0, dC, (1347) (n—14+38%)C = n(P—QR)0C, +(Q°— RP) es + (R — PQ) .
(‘) Les équations (154) et (156) correspondent respectivement à (136), (135). La compli- cation du changement de variables &æ — P(0,%), y — P(—0, — +) fait qu'il est moins long de recommencer à nouveau les calculs comme nous l’avons fait.
æs-
En éliminant Ce entre (133") et (134") on trouve une troisième équation aux
dérivées partielles du second ordre vérifiée par C.
a d'U (157) Li —P(P—QR)| nu +3] CURE SU NES NP SE D CHE » sb Cr + Q(R PQ] ST Dent | + R(Q RP] ne
et DU : dU pe s,P] (R— PQ) Se + @—RP ES | :
Des formules (155), (156), (157) on déduit facilement les relations
YU es) aU dU Er 2 NV D es je se A GB) pU= a+ NUE [RQ Fe 0) YU JU ST CRES PO) aU aU = —— — Æ. (STE Vo) DES He CESR E ne — | Eau UV 0 RD EME U Se TRE TO AU ee |
En formant la combinaison
ù à 3 55 DrU + es D'U == nyU,
on trouve l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre cherchée (‘)
d'U d'U d'U ER po 3(n u y)
(161) IQ PQ DiU:—R(QERE) DUR (PS) De 0
75. On peut à titre de vérification remplacer U par quelques-uns des C, ; on
sait par exemple que
à 0e C° — 3P, C' = 3vP, C = —(2QR +30 + 1)P1.
Utilisons maintenant certaines des relations obtenues précédemment. Prenons par exemple la relation (133"), pour y — o elle s'écrit
dC
(t) Nous retrouverons cette équation au n° 404, chapitre V.
Comme Co — 3P(5, #) on en déduit par récurrence, compte tenu des relations (59), le résultat du n° 70
ds = P(n0, nv).
n L'identité (149) devient alors
(162) P[(n+1)8,(n+1)2]—=3P(6, &) P(n6, ng)—3P(—0, — cz) P[n—:1)6,(n—1)e] + P[(n — 2)0, (n—2)o].
formule qui généralise la relation classique COS (n + 1)0 — 2 cos 0 cos nô — cos (n — 1)6.
On trouverait d’autres relations en utilisant les diverses identités déjà men-
tionnées.
76. Généralisons maintenaut un résultat de M. Pincherle [46]. Soit e, la plus
petite racine de l'équation en À (163) 1—3hx +3hy—h —o, On a G64) o = Ten d[A"QG — 3hx + 3ky—K)]
= En AR" = 82(n + sh + Syén + 2V)RT (n + VAT [1 = 8 A + 3k°y — h°]" * dh.
Si l’on pose
(165) 5'(æ, ) = e RG She + 3hy—R)— dh, il vient (166) (n + 3v) su (0 23) Lu +3 Ev)rs ne —o.
De (165) on peut déduire aussi
Y ÿ dc dc dc
x Y— 1 n VE n Lt | (167) nn SO U)S > FAR nt Sr 5
On pourrait encore à partir de ces relations rechercher les équations aux dérivées
partielles satisfaites par 6, .
Es
Il. — Généralisation des polynômes d’Hermite.
77. Considérons maintenant les polynômes définis au moyen de la fonction
génératrice
h3 ; hxz—hMy+— h" 3 NT 1 (168) e = Go LG N.
On peut rapprocher les polynômes H, des polynômes C, , en effet si nous rem-
plaçons dans l'égalité m
DE Go)
(ti —3hx + 3hy—h)
h,7Y, 2, respectivement par ——, ue ; Au il vient Vm m° m RUN né 3 Ten ne Lim [1——+——— en (io ey+T) | = nee m m m m—> co m 3 d'où H ( m ny) A 16 a — lim RS lle ( 9) (1,n) dau Ce Ê | Considérons maintenant l'identité = p" d' ( on) 3 3 80), (170) € oo CAE FL DS
obtenue en appliquant la formule de Taylor; on en déduit
h3 ü RER y+— 3 3 / n € Es af D » TL ) dy
d’où ys — 75 HE RL or n de D Œn dy" , ;
formule qui généralise un résultat classique des polynômes d'Hermite
SUR L’ÉQUATION DE M. PIERRE HUMBERT. si]
‘On en déduit
ho hy + Hey) hp" d" ( +) e ; ==; \\ (— 1)" .
Le) (1 m) d m d” (, mA \ = p \\ DR Nre 3 Dis = RE 2) D 23 (1 1) dy PC ) hi ( axe ) d”" ( — ÿà \| \ at Re ; 2\n—m 3 ) ‘y A (1,n) dd > (1,m)(1,Mm—n) Rrrr a) dy" € : -d'où
TER mn ds : Le GNT Es 1) (x, n) n—m 6 48 ( me) ‘G72) H,(@y)=e > ER Ch nc BLEE à) dy € :
mMm—0
78. Cherchons maintenant les relations de récurrence entre plusieurs polynômes H, ainsi que les équations aux dérivées partielles satisfaites par ces polynômes. En posant
Re — — => Le È (173) e rer — Gen = DUUK, (my, on trouve dV 4 SA —(x—2hy+h°) V, à dV Dos Rene PT dx dy d'où (174) (n ci 1) Kore an zK, AR ay Ge PS Ke LORS (179) dx Nr 11? ES lu 6 D, KE 0 DIE à
Des dernières relations on tire encore
Y Ke m 2” K, +em m dre K K, — dx! = (— 1) dy" = (— 1)
dx dy"
on en déduit que K, (donc H,) vérifie l'équation aux dérivées partielles
AU daU daU
79. Cherchons maintenant les équations différentielles satisfaites par H,(x, o) H, (o, y).
«) Prenons d'abord le cas y = 0, (174) s'écrit (n ne Dee a æzK, AE K
en dérivant trois fois il vient, compte tenu de la première des relations (175),
(178) À PS Dee OX
C’est aux notations près (changement de x et h en — x, —h) le résultat trouyé
par M. P. Humbert [39]. En posant u — — ce on trouve d eee 2 d n 2 K Es: res -— (179) u du 1e * 2u du? n ae a) du K, ae 3 Ke 0,
équation hypergéométrique confluente dont l'intégrale générale est
pi 0 l/3 == je G È %/3 nt. 2 4.5 Mie B RAGE Res MA e (180) Hire ngul+ u ne nn eu |+ Cu EE ; til.
8) Prenons ensuite le cas x — o, (174) s'écrit
(181) (R da 1) KES on 2yYk,, Si Koné,
c’est-à-dire compte tenu de la deuxième relation (175)
ak;e, our dK, K dy Ÿ “dy. en on en tire d'K, RTS ES d (RES Gad PATNAT = |" dy nr. | DPKA dK \ — — y dF mn mg ETS,
d'où l'équation cherchée
dK d'K dK (182) —— +hY +200 —2n)y——"+n(n—3)K, —0.
1 da a )y 7e ( ) En posant v — té on trouve
d'K n dK n(n — 0) ; 83 2 n K, Pr a RSR n si.
SE dv° La a R a |: C 3 ) | dv 36000 k,
équation hypergéométrique confluente dont l'intégrale générale est
CR? VUE AU OR 1}, —nN 1 —n 95 2 4 F2 Re Et | Bu: | CURE rer | (184) A,F, PR 5533 u |+Bu °F, G +3 G +333 0
| 2 = 5 °/, WE PAT PE 220 6 Na: 6 Tzrz 0
80. Cherchons à déterminer de proche en proche les coefficients du polynôme K, (x, y). Partons de (177) et posons
(185) K,, (x, y) — Er Di An; pr XL Y
il vient
D énrrosts QUAI) (HI) = pass — 2%; Fans,» LT Y —=0,
d’où la relation de récurrence
