D SR AE 10 (SA) EEE

Qn; TRE

(186) Anspbr, vtr

-on est donc simplement ramené à chercher les @n;,0, @n;0,»- On a du reste facilement les relations de récurrence déduites de (178), (182)

u—n (187) An; 43,0 — (u a 1)(u 2e 2) (tu Fe an nm 0e (n— 2v)(n — 3 — 2) (188) : An; 0,,+3 — FEDG ED0 +3) LPO EDOE 3) An; 0,

Il nous suffira donc de connaître les cinq coefficients

An:0,0 n;1,0» An;0,13 An;3,0; Un;0,2.

fe

Nous avons à distinguer trois cas suivant les valeurs de n(°)

a) Dit FO en

An;1,0 — An;0,1 — An;2,0 — An;,0,2 — 0.

I I I 6) re n;1,0 m\ 3"? n:0,2 2 Go ER) en An;,0,0 — An;0,1 — Un;:,0o — 0.

) 3 ie I I I Ÿ n;0,1 m\3" ) n; 2,0 > ml3" ?

An;,0,0 — An;,1,0 — An;,0,2 — O0.

Le calcul des autres termes au moyen des formules (185), (187), (188) sera

évidemment limité par l'annulation des numérateurs.

81. Signalons pour terminer les polynômes qui naissent du développement de-

la fonction génératrice

k3 CE EU ner

(189) e De He ee

Comme k et ! n'apparaissent que par leur produit, on est amené à considérer: l'expression

hk3 ha—(h 1) + —

(190) Nie=te a où DRM HEE Ce x) -

On aura comme précédemment

dV dV 4 dV : dV On en déduira par identification Hé r (rgr) UE — H4,,,, ù EH, 2 (192) = — He + Has, (193) (x + 1) Hets,e = CH, s — 27 Ho ,5 + He ,8, (194) BH, = Y Hp.

(*) Le calcul se fait aisément en remplaçant dans la formule de définition (168) les. exponentielles par leurs développements.

SUR L'ÉQUATION DE M. PIERRE HUMBERT. 81 On peut éliminer H,,:, entre (192), (194) on trouve

ù EL, 8

ET RS Y Ho, e D BH: .

Éliminons maintenant H,,,4, H;,,: entre (191), (193), (195), en remarquant que

He, e(æ, y) = Y°Ka.s(e, y).

Nous trouvons les équations aux dérivées partielles satisfaites par la fonction

U — Kes(x, y),

URROU (196) mo SEE A URL U dU k (197) De en ne élue

Nous pourrions aussi chercher les équations différentielles vérifiées par les polynômes H,,:(0, y), H4,4(@, 0). Le second problème a été résolu au n° 79 ; pour le premier l'équation différentielle du troisième ordre que nous avons formée ne nous

a paru présenter aucun intérêt particulier.

es