I. — L'équation A,U — ÆU

82. Cherchons les intégrales qui ne dépendent que de p; elles vérifient l’équation différentielle Run EF dF

De P dp° L 3p dp° + dp Ÿ

Nous en déduisons l'intégrale (DAC TE

à le UE 83. Faisons le changement de variables (9) et posons s — “© ; il vient

Doit UMAAQU re A 0)

JS ETS RAT de 3 àsd0d00

Les intégrales de (199) qui sont de la forme U — P(m6, m#)V(s) vérifient l'équation différentielle

HN, ŒV m \ dv 2m (200) S seit) + ( —1)Y=0.

ds’ ds”

Si nous posons maintenant V(s)— s’Wi{s) l'équation (200) devient

d'W dW m | aW | 2 2e RP PRIT RER Go) SE + 86p +) + np) +69 +1 |

4 2 3 + [rt 0@—2+8p@— 5 +p( TE) +2 J-iiw=o.

(:) Dans l'étude de ces diverses équations À représentera une constante.

L'équation (201) sera hypergéométrique si le coefficient de 1/$ dans le dernier

terme est nul (condition nécessaire); mais cela s'écrit après réductions

; ne mn 2m ( m \° ( D — pr —— = | p—— —— | =0 Res 27 ê = PR 3

m | ë Pour p— re l'équation (201) devient

d'W ÊW IW nes) \ TD ST NN ds° ds” ds

équation hypergéométrique confluente qui admet les intégrales AE SE RO A QE ne rs)

l'équation (198) admet donc les intégrales (‘)

È ko° | DELLE P (no: ms) F,( 1. 1 + mm; — ;

/ 3 (202) | ke\ Go—m*) te e CUIR A T- UT à M p Pémé,ma)F, (4 m,1 pére D'ifre WE x :

Pour p — — CE l'équation (201) devient , ÊW dW .IW S Dan ee AM) SEC — m) RE Men elle redonne les intégrales (202).

à ; AO SU ae AL 84. On sait que l'équation rar ae — kU admet l'intégrale particulière FH : ee vec r) x +iy

cherchons si l’on a un théorème analogue dans le cas actuel.

(*) ILest clair que l’on peut remplacer P(mô, me) par Q(m0, me) et R(m0, mo). Cette remarque est valable pour les autres équations.

Aer

8l J. DEVISME.

En variables u, v, w on est ramené à chercher si l'équation YU (203) = EResTeee — FAR

admet une intégrale de la forme

Wu ftp)

En portant dans l'équation (203) nous trouvons la condition

PENSE di In ER de 0 RE

d a k r % r 4 Q Le changement de variable © — “1 nous donne une équation hypergéométrique

qui admet les intégrales

ARNO) 4 F, (13:56) SON 1 e à c

Nous en déduisons les intégrales de (203)

LE Et à ar

(204) "HEU k F/4 4. )

(uv) a ol

et quatre autres analogues en remplaçant u par v ou w ..(). En variables x, y, z, cela s'écrit

œ+y+2 Rue).

(LR + Y° + 7° — LT te RER HA e

(*) Plus généralement, on pourrait chercher les intégrales de la forme U — uv f(p), le même calcul conduirait aux intégrales

+ 8 .kp B—o — k du Ffatr frise), u U Fier e+s: 2)

et une troisième analogue. Toutes ces intégrales se ramènent du reste à la première.

85. Cherchons encore les intégrales de la forme e*‘#*#%; les constantes «, 6, y doivent vérifier la relation

+ +y—3asy —=k; À et x étant des constantes, nous pourrons prendre par exemple

Vale PG,u)-+7 Qu) +2 RO 2) (206) LU

86. Remarque. La seconde des intégrales (202) a été donnée incidemment (calcul intermédiaire dans la recherche d’un autre problème) sous une forme légèrement ‘différente par M. P. Humbert [36]. Elle a été explicitement reprise dans un autre Mémoire [37]. Avec les notations de ce dernier travail les deux intégrales s’écrivent respectivement

J,,,(— 2%) P(m6, mo), orme vo)

où l’on doit bien remarquer que pour la seconde on doit lire P(— mô, — mo) et non P(m0, me) ainsi que l'indiquait le Mémoire cité.

dU