II. L'équation A,Ù — k Fe

87. Si nous cherchons les intégrales de la forme U — e"V{x, y, z) nous avons l'équation A,U = kXV, nous déduirons des paragraphes précédents des intégrales telles que

et, (1,1, kb),

(208) ee" P(m6, ma).F,( a, 1 EM; Fe. :

kXp° ep "Pme, mo) À A (: OO TRUE p d F 27

88. Cherchons maintenant si l’on peut trouver d’autres intégrales en recommençant la suite de raisonnements du n° 88.

CF AESTRRS Nous ferons encore le changement de variables (9) en posant s — æ : il vient d'U d'U dU I ee +) LRQ aU RUES R PAR Nate Mes OU PATES a ne nos Ji soon don

Les intégrales de la forme U = P’P(m0, me) V(s) vérifient l'équation différentielle

MAN ŒV m° AM 2m Su +8 + = +s) + — ME 107 ds ds° 3

En faisant le changement de fonction défini par V(s) = s’W(s) nous trouverons encore une équation hypergéométrique à condition que

OÙ p—=—--——.

On en déduit comme précédemment les intégrales

U—rs° Po, mg) F(E —v: Houi +m;—s).

rés TS 3 RSS im mis),

c’est-à-dire avec un choix légèrement différent de constantes

7} 3 U= Le" P(m0, me) F,(— ni x, 1 + mi ; je DD)

(209) — k0° Wan PONE, me) FA (ni im im: :

DEL SE RTE 89. Si l’on cherche les intégrales de la forme e ainsi que l’a fait

M. P. Humbert [39] on trouve que les constantes &,.8, y, à sont liées par la relation

++ y — 3aBy—5—o.

On en déduit que la fonction

ag +alE8y ++ yz Hits agrt N On qu ; : = DD" 84 Prmn (@ Y 2, à

est intégrale ainsi que les polynômes qui naissent de son développement. En posant