Le problème que nous avons en vue est le suivant

Élant donnés un point fixe M(x, y, z), un point mobile P(a, b, c) décrivant une surface S, et une fonclion p.(a, b, c) de ce point, on considère la fonction .

(220) UGr,9= ff at t ol — a +0 + 08 — 0) @—0 (e— 0)" d5

Al , 4 “ . « où do est l'élément de surface de S, trouver dans des cas particuliers simples, des équalions aux dérivées partielles vérifiées par la fonction U.

Posons pour simplifier PACE G=) SG —a)(yTb) (0)

la notation p étant toujours réservée à l'expression &° + y + 2°— 3xyz; on aura

(220!) UGC, 2) — FU up do, S

dU (21) = 80 f fue-o-o-06-0pt "ds,

Ar

(22) D,U= qù ff utæ— api de, S

(223) AU an ff upt'de.

Remarquons, ce qui nous servira plus loin, que le mème problème pourrait se

poser avec des intégrales de lignes ou de volumes.

98. Cherchons à former des équations aux dérivées partielles dans les trois cas

suivants :

1°) S est le plan d’équation a — 0, on a alors Ta U — 2, nn d Zee 3 :

D> on Sa TN up, ‘do 3n

(224) NU DeUe

d'où

2°) S est le cône d’équation a — bc — 0, on à alors

À) n—1 res 3n Te [x — y2 —(2ax—bz—cy)]p} "do, dx S

3&D,U=yDU—zD,U— où ff vtt -v2) Gas = bz— cy)]p"" do,

aU=agn ff up ds, s

d’où

: OU (225) (&—"yz) À, Ü — 3n[2xD,U — yD,U — zD,U] + gn ne

3°) S est la sphère d’Appell d’équation à + b° + c'— 3abc = 1, on a alors

Le lee Sat —r2+3 ave): | ide, See nf fulp—a Sat 79 + S &(& — bo) bé D EE PT An RAD ANT 7 | Pa ?

x° le 2 Eu 2 a l A S — 2) D,U — 9n JS ur S ar Ya) ip do, CU ppiT de, S

ù ù (226) (p— D A,U—gn S (& —y2) DU + 270 Sox — 27 U = 0.

ba

Ces trois équations généralisent les équations des prépotentiels rectiligne el circulaire relatifs à l'équation de Laplace à deux dimensions.

99. Considérons l'équation (224). En utilisant les variables uw, v, w elle s'écrit

d'U n d'U AU dU Un ]

dudvdw u +v+w | dvdw Wu ao on le

les intégrales qui ne dépendent que de p = uvw vérifient l'équation différentielle

d'F dF dF Eu LE Fe EL RS nn a

ce qui fournit les intégrales

los pe INDE

Si nous cherchons les intégrales ne dépendant que de x, (224) s'écrit

an ; } :

F" — vi — 0 équation qui admet les solutions

msnte.