É HAE R MEL
SALE 2 I . Der :
dans les cas particuliers n — ANNE nue la deuxième intégrale devient log æ
ou x log æ.
Reprenons l'équation (224) on peut l'écrire
à” NIET d'U Re TS DIN te A nr Ca PRIE du dv dW ft NA n (tin du dvd ?
on eu déduit que pour ñn — —1 si U est une intégrale de l'équation de M. P. Hum- U bert, ——— est intégrale de (224" :
sen est intégrale de (224) donc
Pr “ se U à :
l'HéoRèME. Si U est une intégrale de A,U — 0, — est une intégrale de l'équation œ
(224) où l’on a fait n — —:1.()
400. Faisons maintenant le changement de variables (9) l'équation (224) devient
d'U 3(1—n) dU 1—3n dÙ 3 dU I AU dU do 0 d0 de pe dp)00% d6 d®
PU se YU YU YA PSE MEET
S l’on pose U — £&"V(6, 4) l'équation devient
on
ns (a
8 JV AP 3 3, dV e (228) STORE Je RUN EP sas] ms S|- | mi |+m(m 30 V0.
Cette équation formée par M. P. Humbert [43] est l’analogue ainsi que le fait remarquer cet auteur de l’équation de Gegenbauer
ŒV sin0 dV
(229) TUE CU a + m(m—an) V —o,
cos0 dû
obtenue à partir de l'équation du prépotentiel rectiligne
YU YU 2n dÙ
AP de Rte
où l’on a posé
æ —p.cosb, y— p;Sin6, ravi):
Du reste, ainsi que le fait remarquer toujours M. P. Humbert, l'équation (228) QUm + 1)6, (m + 9]
— — 1 les intégrales admet pour ñn 1 les intégr QG, 9)
tout comme l’équation
er sin(m + 1)0 (229) admet les intégrales IHELLCE., S
4014. Mais par un autre chemin nous avons trouvé au chapitre IV une équation totalement différente de l’équation (228) sauf dans le cas n — 0 (ou y — 0 avec les notations du n° 75) puisque l’équation se réduit alors à A,U — 0.
(*) Ceci généralise un résultat de M. P. Humbert [43].
Pour trouver une interprétation de notre équation (161), nous ferons appel à la
= fur ds
où L est la droite b — c — 0; nous généralisons ainsi le prépotentiel rectiligne en
fonction
prenant encore une droite au lieu d’un plan.
Nous avons alors
DU = qu'y f ep HASARD On z [up AUS AU— gr f up ds.
Parmi les équations aux dérivées partielles que vérifie U on peut considérer l'équation Gaz), (2 + 2æy) D,
