R*— PQ) D, V = (Q'— RP) DV
On retrouve aux notations près (V, m, —n à la place de U, n, v) l'équation (161). Les équations (161) el (228) constituent donc deux extensions de l'équation de Gegenbauer.
402. Prenons maintenant l'équation (225), en utilisant les variables u, v, w elle s'écrit
Rt d'U (225') | Se AE etes ro + W) — FRA Ur aies En
En cherchant encore les intégrales ne dépendant que de p — uvw, on est conduit à l'équation différentielle
P'E"+(3—on)pF"+(1—n)ÿF —=o
qui admet les intégrales
P et Up Alos\p-
Un calcul simple nous fournit aussi les intégrales u”v”, vw", w”"u", ce qui montre que les polynômes considérés au n° 48 sont des intégrales de l’équation (225).
Dans le cas ñ — — 1 en utilisant l'identité Enr LUS vw |- LS | à Es +S6+u dvdw m+S on déduit que l'intégrale de l'équation (225”) pour ñn = — 1 s'écrit
Jo, w) + g(w, u) + h(u, v) VW + WU + UV
où f(v,w), g(w,u), h(u, v) sont trois fonctions arbitraires de deux variables.
103. Faisons maintenant le changement de variables (9) il vient
MU 3(1—on) YU (1—3n) dU 2 d° | Gn=d Us) D à onu vor a ru4 | 3n A aU d'U | 3n d'U oU dU
D D ns, ou um D nr in DENT AN ” 29° RTE)
En changeant le signe de 6, et z et en cherchant les solutions de la forme
U — :" V(6, ©) on est conduit à l'équation DNS ON: dV R PE 34) — + — — — —3n— (234) TE + y 3(2n — m) 3509 3n Dot DAV av.) Ù — in — m—3n) —!—m(m—3n) V —o.
P | do ul ) )0 | ( ) Si l’on pose m — 3n — — y on trouve une équation analogue à l'équation (228)
à ceci près que m est devenu y et que les fonctions Q et R ont échangé leurs rôles. Mais nous avons justement introduit l'équation (225) comme une généralisation
de l'équation du prépotentiel rectiligne dans le plan en remarquant que de même
que a (a +06") on à d—be=z—{a+b+c— 3abc]. L’équation 2 da Ô a
(224) constitue donc une troisième généralisation de l’équation de Gegenbauer (229).
404. Considérons enfin l'équation (226); en utilisant les variables u, v, w elle s'écrit À 3 N2 T
YU d'U dU 226! D'DIDEN)E? S vw —— Su nn UÜ— OP ( ) ( ) du dv dW k dv dW CE du
nn ?
d V 1 d'U d'U ie dU U — = —— en en Na CU Su , du dv dw True Puovaw dv dWw du s
l'équation (226) peut donc prendre la forme remarquable
I d'U (226!) ane P du dv VW = du
On en déduit immédiatement les intégrales particulières
ane U à Mais si nous posons V — —, un calcul simple montre que p
LC) + f(w)]u" + [g(w) + g,(&)] v" + [hÇu) + A (v)]w”,
où les six fonctions /, f,, g,g,, hk, h, sont arbitraires. Les intégrales qui ne dépendent que de p = uvw vérifient l'équation différen-
tielle hypergéométrique
