erie 10e CET TC PR EE Eee
2 Re RE 8 CCR er RER eee ( ) D , v) 3 Fo dacier Rae
et effectuons le nouveau changement de variables
(9) æ —0P(8,e), Y = PQ(6, +), z = pR(6, +).
Si nous rappelons avant les quelques identités
(10) PH Q+R—3PQR-==1, P°(8, 4) — Q(6,&) R(9, ») = P(—0, — ©), (u) Q°(8, 3) — RD, 9) P (6, &) = R(—0, — 9), R°(0, go) —P(6, ®) Q(6, œ) — Q(— 6, DAT œ),
dP—Rd0 + Qde,
(12) dQ = Pdô +Rdo.
dR — Qd0 + Pds.
On en déduit les relations
UE eu 0 NS EM LE ES p) es ee PE (15) Dore R(—0, — 4) + 2 © 6, — +), DU oU raU Puis A à) YU A ei D 1 DU USE: 5 Del EL ARE . PE en) poules LE dy oz ee ç 20 24 à P | +| ÉD EU ee do + Eee eur + % A LL) = : 1 d'U 1 oU ve d'U Re d'U L nd = dz dx d p° ep dÛèe p do p°00 e dpdy 6 d@°
d'U YU EP a 1 DU ne ne DR DER = = : — R+|———— Q+| — dx dy mor p' 00 Do ut pe do e dpdg | e* du”
e dpd0 [20
A ce SUR L'ÉQUATION DE M. PIERRE HUMBERT. 13 Fe et enfin se ET) à ue AU AU depot Fra ee mnt ES VAE dy dy ozdæ | 22 | 02 roy
; a en a nn Ur ou
D Nine oedia te de pois
[est aussi quelquefois commode d'effectuer le changement de variables
(16) Mr 4PÜx), y —=eQ(6, os 2— CR(0;0) ou 2 : log u=r+ 0 +, (16) à v—=r+j0+Jé, Se É mnNtionu— RSR
on en déduit facilement la relation e
ee SU YU YU
a Re A RTE ET PART Ed VETEE
En posant p — e” on retrouve évidemment (15).
3. Effectuons maintenant le changement de variables G8) Se FRNCr, 2) ner 2), Z— 2 (x, 7,2),
Le | ME où X(x, 2 2 Mr, 2)» SU Ÿ, >) vérifient le système d' équations aux dérivées
artielles : re | + F3 à dx dy DZ | FER ss DE PR 0 VA dE eo y ee 2 RE LOR us = ER APREMO TE
ous ï ou plus loin déduit facilement l'identité
ur. PU SU : PU PU E oo io ar En To am ir
avec D'ANE X \° IN oX oX )X Fe \er2= (ST) ee NE Son MANS OMS 0e À ES PL ( = (+09 +0 dx dy (az dx dy àz
dZ \° dZ \° dLN ROZ O7 Z, A S R n e |
dx dy dz dx dy àùz
Ces relations sont encore valables lorsqu'on remplace (19) par l'un des cinq systèmes d'équations aux dérivées partielles que nous rencontrerons au chapitre IT. Remarquons tout de suite que ces changements de variables reviennent en coor-
données u, v, w, à écrire que les nouvelles fonctions x’, v', w' ne dépendent chacune que d’une seule des variables u,v,w précédentes.
&. Signalons aussi le changement de variables
(22) U—I®, VU —E+in, W—EË—in,
que nous utiliserons au chapitre Il et qui fournit la relation
d'U ù YU YU
23 h TETE 9 ne 0 5) du dv VW ae | dE? n°
Notons enfin que M. D. V. Jonesco [44] a effectué le changement de variables leplus général pour l'opérateur A,U; n'ayant pas besoin de ce calcul dans le présent. Mémoire, nous nous contenterons d’en indiquer la référence.
II. — Quelques théorèmes relatifs à certaines intégrales particulières de l'équation A,U — 0,
5. L'équation de M. P. Humbert pouvant se ramener à la forme (1) nous en:
connaissons immédiatement l'intégrale générale
(24) U — /j{u, v) + g (vu, w) + hk(w, u)
où f,g,h sont trois fonctions arbitraires.
La formule (24) paraît donc épuiser la question. Mais il est souvent utile deconsidérer des intégrales remplissant des conditions particulières, D'autre part l'équation de M. P. Humbert se présentant comme une généralisation de l'équation de Laplace, il est intéressant de voir les transformations que l’on doit faire subir à certains énoncés classiques, c'est ce dont nous allons nous occuper.
Dans ces questions le polynôme
p=X+y +i—3xyz
jouera un rôle important ainsi que ses dérivées partielles qui sont au facteur 3 près
x” — YZ, Y — 2%, Z — y.
6. THéoRÈME : Les intégrales de l'équation A,UÙ — 0, qui ne dépendent que de p sont log p et log*p.
Mettons l'équation sous la forme (1), nous aurons en posant
UF) D UbDW="Ee", à dE (25 a — CN ET ee GE Buvwdw da 2
nous en déduisons les intégrales q et 4* c’est-à-dire log p et log” p.
7. THéonème : Les intégrales de l'équation ASU — o,(‘) qui ne dépendent que de p sont données par la formule générale
p' log’ p. OR STE 0; +70)
Posons encore q — log p, U — F(q); nous sommes conduits à l'équation diftérentielle d'ordre 3k :
æ 80. CH.T- (26) L EP e ARE — 0}
dont l'équation (25) n’est qu’un cas particulier.
Après multiplication par e“* nous obtenons une équation différentielle linéaire à coefficients constants dont l'équation caractéristique est
(—k+1ÿ..,.(r—1ÿr —=o -ce qui démontre la propriété.
8. TnHÉorèe : L’équalion différentielle donnant les intégrales de l'équation ASU — o qui ne dépendent que de p, peut se mettre sous la forme
à d' É d' (SE) pl (2 ) dp* Je dp" P dp* =
(*) AÎU représente l'opérateur A,U itéré k fois.
En effet si k — 1 l'équation (25) s’écrit
TE Rene a DCR Te TC IT CR).
d'autre part nous pouvons écrire la suite d’égalités
dr pit d'a ve Rs F k+1 Gp ie P nb
dp d' ‘ d'# d æ Ce F Gi 2 d° MF ep lp Cp M Ne a Cp a)
pe Up dan. GDS d' DU pe dat De Ta j” dp° dp Le ee) DR NN RU RM er DS IS Se hr. Le dp (r ap D Pan À &)] j<
nous en déduisons par récurrence la formule (26').
9. THéorème : Si U(x, y, 2) est une intégrale de l'équation A,Ù — o il en est de
même de la fonction Va =ufÈoee, PROE Er |.
dy dz
Ce théorème a été énoncé pour la première fois par M. D. V. Jonesco [44], nous
donnerons la démonstration que nous avons déjà publiée [17] En utilisant les variables &, v, w la transformation
ù lo à log à log Ÿ Le S P { Y ce D P : 7 = € te) P :
dx dy dZz s'écrit nn = pu &:
On en déduit JU UE ET UC 00)
OLD NI En MENT
ce qui montre que les deux dérivées partielles considérées s'annulent en même temps.
10. Taéonèue : Si U(æ, y, z) esl une intégrale de l'équation A,U = 0, ilen est
de même de la fonction VC, We) =)
où X(x,y,2), Y(x, y, 2), Z(æ, y, 2) sont trois intégrales de l'un des systèmes (S) considérés au chapitre II.
Ainsi que nous le verrons plus loin cela revient à faire en variables uw, v. w, un changement tel qu’une quelconque des nouvelles variables u’, v', w! soit fonction d’une seule des anciennes, les six variables u, v, w,u', v', W' figurant toutes dans
la transformation. Nous pouvons, par exemple, supposer que l’on ait UE fu), = QD); Dh).
On en déduit
d'U(u',v', w') du dÙ dW
S'U(u', v',w') du dv 'dw'!
ce qui démontre le théorème. Le raisonnement subsisterait évidemment pour les autres combinaisons de variables u, v, w, u', v', w'.
En variables x, y, z l'égalité (27) peut s’écrire
VC Pt UN tnt D D 2e pion Go] tt PANNE) EAU À
De l'examen des formules (27), (27) et de l'expression (24) de l'intégrale géné-
rale on déduit le théorème suivant.
41. TaéorÈème : Les fonctions log À(x, y, z) et log” A(x, y, z) sont des intégrales de l'équation de M. P. Humbert.
Ce théorème d’abord énoncé par M. N. Botea [5] pour la fonction log}, a été complété par moi-même [22].
Remarquons, ainsi que nous le retrouverons plus loin, que la fonction À(x, y, 2)
peut se mettre sous l’une des formes (21).
42. Parmi les transformalions donnant lieu à l'identité (27) il est tout naturel
de chercher s’il en existe de linéaires à coefficients constants.
X=—=ax+by+ez+d, éY=ax+by+cz+ d", | Z = a"x + by + c'z + d", Si nous remplaçons X, Y, Z par leurs valeurs dans les systèmes (S) du chapitre I, on voit que dans tous les cas les constantes a, b,c, a',b',c', a",b",c" vérifient les
relations
CR DEC END C} CRD ACL
