V-^oo - V^^o = -^ s, \/â7 + \jx„ = 2 (V5 + i) R

\jx, — \lx^ = 'jT, v'-^^, + \|x'^ — 1 (v5 + i)S,

v'jTo — V-a^s = — 2(v'5 -t- i)T, y/x, 4- \!xi = aR,

et l'on en conclura Zq = sRST, e désignant un facteur ninnérique.

» De cette expression rationnelle par rapport aux diverses quantités A„, ou déduira ensuite une autre racine quelconque z,, en effectuant la substitution ( " |. Ce résultat montre qu'en faisant A„ = M„, le produit RST, qui

devient alors une fonction ralionnelie des racines £(,, ^,, £o, ^3, g^, est symétrique par rapport à quatre d'entre elles, et peut s'exprimer rationnellement en So, au moyen des coefficients de l'équation et de la racine carrée

du discriminant. Effectivement, la substitution | " [, par laquelle z-, se

( lin + V )

déduit de z^, s'obtient, comme on l'a vu dans le paragraphe précédent, en faisant sur les racines ^ la permutation circulaire qui consiste à ajouter le nombre v aux indices. Cette propriété singulière et si remarquable du système des valeurs de la fonction cyclique désignée par u, se retrouverait encore dans le produit de ces trois facteurs où « est arbitraire, savoir :

R = My -- «0 "+" ''' ("2 + "3)»

S = M, -f- «, -!- Oj (w^ — ,/^),

T = «3 — Mn -h w (;/, — M4). » Ainsi on reconnait que les substitutions

qui laissent 2o invariable, ne changent pas non plus le produit RST, car elles donnent pour résultats

» Mais nous proposant d'approfondir cette nouvelle formule de trans- //. 6

(oi million qui ramène a l'équation (2) l'équation générale du cinquième degré, nous supposerons toujours dans ce qui va suivre o) = - — — ■

» XV. En prenant pour n un invariant par ra|)port aux racines, cette expression z — RST, comme celle dont j'ai d'abord fait usage, savoir,

, tf-'.-^, ') -^ "fijj^, ') -t-fy»(j, 1) + wy.(j. 1)

conduira à une translormée dont les coefficients seront des invariants de la forme f^= («, p, fi', 7', a') (r,^)'. Les deux substitutions se ramènent en effet an même type, et chaque expression u donne naissance à des covariants cubiques tels que y, (j?, j"), 92 (x, j"), etc., mais dont l'ordre est toujours un multiple de 4 augmenté de 3. J'ajouterai encore à ce rapj)rochemeut outre les doux niélliodes de résolution de l'équation du cinquième degré, en déduisant de la seconde les conditions de réalité des racines. Sous ce nouveau point de vue, on verra qu'il ne sera plus nécessaire de recourir au principe de Jacobi, le caractère propre de la seconde méthode consistant en ce qu'on opère toujours directement sur les racines. C'est pourquoi nous aurons lieu d'employer, dans tout ce qui va suivre, une transformée canonique de la forme proposée, différente de celle qui a été considérée an début de ces recherches. Nous la définirons par une substitution linéaire^ qui donne pour résultat

et de manière qu'aux racines r^i =m ?ji la» ?« correspondent respectivement les quantités i, £, o, oc , vj, en posant

(go — Sa) jgi — g») >g. — ?;)(£, — ë,)

i> Soil donc I = v."Q{'za, ImIj» la» I») l'expression en 5„, £,, etc., d un invariant d'ordre pair quelconque n; en désignant le coefficient de £^' dans f") par 0 C:^, S,, Zr,, z,, =4), on aura pour forme canonique

M Je vais appliquer ce résultat à l'invariant du dix-huitième ordre K, dont je rnppeller;ii d'abord l'expression en fonction des racines.

» Soient à cet effet

F — (lo — =l) (?0 — -.i) \'-.i — -.2) + [-.0 — -.■>) [-.U — -.3) {?. — T«)>

f" = (lo — =1) {-.0 — =2) (?4 — I3) -I- (,?o — =3) (lo — 1*^ (4i — 42y> H = (?o - I.) (?„ - i,){i, - %,) 4- (Ho - ?,) (?, - I,) (?3 - ?,),

et convenons de représenter par F,, G,, H„ ce L)ue deviennent respectivement ces quantités, en ajoutant aux indices des racines, toujours pris suivant le module 5, le nombre v; on sait qu'en faisant

on aura, abstraction faite d'un facteur numérique,

K=^ a'*XX, X.XjX,.

» Cela étant, désignons par ^,, c,',, *), Jes formes canoniques des quinze facteurs F,, G,, H,; elles s'exprifneront en e et c comme il suit :

-?, = u£ — {^ ~ -ri, g.. = c -H -^ — £/;, -f, = c -H 7; — I ,

et si l'on pose

la transformée canonique de l'invariant du dix-huitième ordre sera

K = (5 tt)" iCoX, 5C-J «X-a X,, .

» Ces quantités F, G, H ont pour notre objet une grande importance, et tout à l'heure il sera nécessaire de connaître comment elles se permutent

trouve aisément ces résultats, savoir :

i -G -TI3 -F, - F, IL i'