V-^O = ^cc -+- ^"oV^ — ''I -•- '^"2 "*~ ^3 — kt
y/.r, = A^ — /•„ + A, V 5 — An -+- A3 -+- Aj, yjjc., = A^ -+- A„ — A-, + A, v'5 — ^".1 ■+■ kt, \/^ = A^ + Ao + A-, — Ao -H A-3 v/5 — k^,
V^4 = ^cc ~ ^0 ■+■ ^1 + ^: — ^3 -!- ^^4 \^ .
(*) Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées [Cambridge and Dnhliii Malhematical Jourritjl, annde }85^). ' ^
( Soi » Or, en représentant le système des quantités x et A par x^ et A„, l'indice devant recevoir les valeurs co , o, r, 2, 3, 4, on vérifie ioimédiatement
1 ,•, .■ I ^" \ \ ^''' I j . n • i V-^" \ qn aux substitutions j j, j /h correspondent celles-ci \ >,
^^ , et enfin que la suivante ,=^' ,"' ," ," ,' , donne ( -v'x,„ ) ' ^o. /':., -/'M A3, A„ -A, )
absolument de même pour résultat
l yj-x'o, \'x^,-\îx,, VJ-3, v'-^2, -V-a^'* ;
On voit donc qu'en posant A„ = u„ les substitutions élémentaires (A) effectuées sur les racines §^ ne feront quereproduire, sauf l'ordre ou le signe, les
quantités yX;;; par conséquent il en est de même de toutes les substitutions!, et les coefficients de l'équation du sixième degré en o^sont des fonctions rationnelles de ceux de l'équation proposée du cinquième degré, et de la racine carrée du discriminant.
» La belle découverte de M. Kronecker est une conséquence immédiate de ce qu'on vient d'établir. Revenant en effet aux expressions désignées dans le paragrapbe précédent par A, B, C, on voit qu'en disposant de la fonction cyclique m et du module, de manière à avoir
les six quantités y'a: seront explicitement données par la formule
cosam2M cosara4w cos am i^ w cos am 2 m
» A cet effet, soit pour un instant
la fonction cyclique choisie par le savant géomètre est celle-ci, où figurent deux indéterminées p et q, savoir :
« = (012) + (laS) + (234) + (340)4- (4oi) - (o43) - (432) - (321) - (210) - (10/4).
" Cela étant, la condition A = o détermine - par une équation du se-
cond degré; la relation
dont le i)remier membre dépend seulement de -> donne A' A'-; enfin la con-
diiion B = — -j— 777 acliéve de déterminer p et q. Voici maintenant une
remarque importante qui suit de cette méthode.
» XIV. On a vu tout à l'heure que l'équation du sixième degré
(i) [x— A)'(jc — 5A) + ioB(j: -A)' — C{x - k) + 5B- — AC = o
était réductible au cinquième, la transformée obtenue par M. Brioschi ayant pour racines les expressions
Z.j ■=■ -—^ [(•'"ce — "^"Z ("^»-l-i — •3^v — i)('3^v-T-2 — Xj—ij\'t
on l'indice v prend les valeurs o, 1,2, 3, 4- H s'ensuit qu'en partant tie l'équation générale
et faisant k„ ■= u„, nous allons pouvoir revenir au cinquième degré en obtenant comme conséquence du passage par l'équation fi) ces résultats bien remarquables. En premier lieu la transformée en r, savoir :
, , .SB 3 SfoB' — AC) I 4 77
ne contient pas, comme on le voit, de puissances paires de I inconnue. En second lien, comme on l'a dit pins haut, dans le cas de A= 1, B = o,
C = — a'A-A''-, et dans celui-ci : A = o, B ^ — -7777-,' C = 2* — ^^77^ — >
c'est-à-dire, an fond, en supposant B = o ou A = o, cette transformée peut être résolue par les fonctions elliptiques. On voit donc combien il importe de reconnaître de quelle manière dépendent les inconnues z et |; voici connue on y parvient.
» Soit pour un instant
B=A,. -i-A„+^(/,, + A,), S = /.. +A,H-^(A^-A„), T= A3 — Aj H — A, — A.t),
on trouvera immédiatement
