CP - H
j'arrive immédiatement à l'étude de nos fonctions cycliques. » XVI. Soient à cet effet
U = a''FF,F,F3F„ V=««HII,H,H,H<,
de sorte qu'on ait pour l'expression de u avec deux indéterminées
n = p\] -f- (yV,
le système des six valeurs : «^, m„, u,, n^, «3, u^ s'obtiendra, d'après ce qui a été dit au § XIV, en effectuant sur la première, qui représente u^ , la
substitution ' , ce qui donnera m, eu prenant /= o, i, 2, W, t\. On
aura d'après cela :
Uo = - a^FH.G.G,!!, V„ =. a'HG, F.F.G.,
U, = -a»HF, HX3G,, V, =a»GH,G2F,F.
U, = - a'^GTI.FjlIjG,. V, = a»F G.H.GjF,,
U3 = -Cf'GG.H.FjH,, V3 =a°FF, GJI3G,.
U, -^ - «niG.G.HaF,, V, = a-G F, F.GjH..
or, en faisant, pour abréger :
f'=-r+§K ^'=g^+A h'^h^+jg,
ces expressions donnent lieu aux transformations remarquables (pie voici ;
( U^. == ' a»F(/i»H- -)- hh' FH 4- h'- 1), \ U„ ^-. 4- ««F(;iMl- - ///i' FH + h'H),
1 U, =. - «'=H(g»G= -Hgg^'GH -f-g'^/), U, = + a»G(/'F- -ff'FG -^f'H), U, - -a«G(/»F--+//'FGM-/-/), V. - - a«H(/'F^ -//'FH -/-/), V„ = -f- a«H(/»F- -i-//'FH -/'="/), ( V, = - «"GlA^H^-F M'GH -//-/), i V, = -i- «"G(A»H^ - /i/i'GH - h'H), I V, = + «''F(g»G^' + gg'FG -g'=/), ( Y3 - ^«"F(g=G-= -gg'FG-g'^0-
» La démonstration est facile, comme on va voir; il suffit, en elfet, d'établir la seule relation
U„ = «»F(A'H= -T- A//'FH + h'H), pour en déduire toutes les autres. Or elle revient à celte égalité :
F.FjFjF, = h*\V H- hh' FH -+- h'H,
qu'on vérifie immédiatement en employant les expressions suivantes :
F.F, = i|. -i,)hU-^{£, --S,)(?o -?=)(/'= --/g), F3F, = (I3 - ?,)''H -+- (?. - £3) (Su - ?,) (A' +/è'J,
(47 ) et observant qu'on a idenliquement
Quanta ces produits F, Fj, F3F4, je remarque qu'en multipliant le premier, par exemple, par a'/i /a, on obtient un invariant par rapport aux racines, dont la forme canonique est {5a]^ tJb — -^1) [zî — r — r,) [î -h r, — ir, ■ Voici d'ailleurs la forme canonique de la quantité
aV'.y ,[(?, - ?,)^H + (=:„ - a,)(a„ - l,)(Jr +Ji
de sorte qu'ayant
{le. — £- —ri) (c- + Y; — £-o) = (2 — i)"'î' + (2'' — Se' -1- £)>? — £''(£ — 2),
on établit par l'égalité des formes canoniques celle des expressions proposées elles-mêmes. Après avoir démontré la relation
U^ = rj}Y[h^W- -r M'FH -F h'-l),
nous en déduirons comme il suit toutes les autres. » Soit pour un instant
nous obtiendrons d'abord Uo, en effectuant sur les racines la substitution
I '' \ qui laisse / invariable et donnera
Uo = <I'(F, -\\,h,h',l).
» Maintenant, ajoutons aux indices les nombres 1, 2, 3, 4, il viendra, en désignant par /,, l.,, la, l^ les valeurs correspondantes de /, et de même par J[ , g\, h\, etc., celles de /', §', h' :
( 48) Effectuons ensuite dans chacune de ces égalités la substitution ^ ! » o"
en tirera les suivantes :
U, =^$( G3, F3, /,, Jl, /, ,
Enfin, dans chacune d'elles ajoutons aux indices des racines le nombre nécessaire pour ramener dans la fonction $ les quantités F, G, H, et on obtiendra de cette manière
d'où l'on conclut, comme on voit, les résultats qui concernent les quantités U. A l'égard des quantités V, il suffira d'effectuer dans les égalités qui
précèdent la substitution y^' , car U., L'o, U, , Uo, U,, U, deviennent
par la - ¥,,¥„, V,. V,, V,, V,, de sorte qu'on aura
-V. = $(-H, F, -/y, Ij,
et toutes les relations données plus haut se trouvent ainsi démontrées.
( 49 ) » XVII. La considération des quantités U et V ne suffit pas seule à l'objet que nous avons en vue, et aux résultats précédents il est nécessaire de joindre ceux que nous allons tirer des fonctions cycliques du second ordre envisagées par AI. Brioschi dans le beau et important travail déjà cité : Sut inelodo di Kronecker per la risoluzione délie equnzioni di quinto grado. Voici d'abord les valeurs de ces fonctions, ainsi que leurs formes canoniques en s et yi :
u, = a^:|„-s,u?.-ç.);S2-^3)(?3-?.)(ç,-?o) = 25tt=£(I-£)(I-•/3),
u. = a' ( ï, - ?0 ^1,- ?„) (;„-!,) (?.- I3) (?3- 2, 1 = .na^s (£ -V,) ( I - y;), u, = a- (I, - ?„) ( |„- S/^ (S, - H3) (ç3 - ?.) (ç. - ?.) = ^ ^n' v;(i - s),
u, =a^-(|,-|,U?2-l3l(l3-|o) ,ç„-?,ni.-Ç.)= 25o^y,(£-73)(E-i);
0, ^ «- |„-?;.'f^2-|ih?., — ?,)(li-?3)(=3-?o' = 25a--/;(>7 — e),
u., = a^:?o-?;Wç.-?.K?2-23)(|3-|.U?.-?o^ = q5o*-/î(i-£) (■-■/,),
t., = a^(i,-|,(S,-2,0(?4-?o)(l„-S3U?:.-?2' = 25a»£(£--/3)(-^-i), H3 - «^ (?3-S2VS.-|„) (|„-2,^ (?.-?,) (?,-|3l = 25a= (£ - y,) ; . - c),
