ACADÉMIE DES SCIENCES

Extrait des Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, tome LXI.

Par m. HERWITE.

« La théorie des fonctions ciliptiqties conduit à deux méthodes pour la résolution de l'équation du cinquième degré. La première a pour fondement la possibihté de ramener l'équation proposée à la réduite

, 2 I -t- / = X^ — JC — 7^= =- = O

de l'équation modulaire relative à la transformation du cinquième ordre. Dans la seconde, qui est due à M. Rronecker (*), on prend pour point de départ certaines fonctions cycliques des racines dont les carrés ont seulement six valeurs, et qu'on représente par les quantités

cosamau cosarn4w iosan)4« cosamau

K (K' Kd=/K' ■.•.Iv±/K' „ r

'D étant successivement -p, -^i ^ — > - — ^ De ces lonctions on

(*) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, année l858, et Journal de Crellc, année 1861.

déduit ensuite rationnellement les racines elles-mêmes, qui s'obtiennent ainsi sous forme ex|)licite à laide des mêmes quantités. Ces deux mélhodes ont été pour moi le sujet d'une longue étude, dont je me propose en ce moment d'exposer les résultats. Je m'occuperai d'abord de la réduction à la forme trinôme x^ — jc — ci — o de l'équation générale du cinquième degré, et, à cette occasion, de la recliorcbc des conditions de réalité des racines, sur laquelle M. Sylvesler a publié récemment un de ses plus beaux Mémoires (*). J'essayerai ensuite d'approfondir la méthode de M. Kronecker et de la rapprocher de la précédente, en prenant pour base le travail remarquable et |)lein d'invention dans lequel 31. Hriosclii en a exposé les principes (**). Cette niélliode permet, en effet, de ramener l'équation générale du cinquième degré à celle-ci :

.r* — Sa' -1- /j5.r p ^^,

qui est la réduite de l'équation

, , , . , I /cosamaw (•osani4(>>\ '

dont les racmes sont les quantités - -, •

^ 2 \c0saiTi4w cosaniau/

» Mon but principal sera d'effectuer complélement le calcul de la substitution qui donne ce résultat si important, et, comme les éléments algébriques invariants et covariants des formes du cinquième degré servent de base à ce calcul, ainsi qu'à la réduction à la forme trinôme, je rappellerai d'abord à cet égard les notions dont j'aurai à faire usage, u I. Soit

f[oc,j-) = a.r' 4- j/3,r*;-+ loy.r' )"■' + lo/x^j-' + bp'xjr" -i- a.')^

la forme proposée, et

.r = mX -f- ni'Y, j ^ « X -I- n' Y

(*) On llie rcnl and imaginarv roots of nlgebraical équations : a tritogy. [P/iilosop/iical Transactions. Part. III, 1864.)

(**) Sal mrthodn di Kronrcker per la risoluzione délia rquazione di quinto grado [Actes de l'Institut Lombard, vol. I).

(3) une siibslitiilion San déterminant un, propre à réduire le cov;iriant quadratique

(«j3'- /,^/4- 37-).r = +(a«'- 3i3/3'4- av/;.rr + (a'/3 - 4/5'7 + '^v") j'

au luonùme yA-XY, où je pose, pour abréger,

A =. (aa'- 3/3,3'+ 27/? - 4 («/3' - 4i37' +- 37=) {a' fi - 4i3'7 + '3 7'=).

» Cette substitution n'est pas ainsi entièrement déterminée; mais on sait qu'on en aura l'expression générale en la faisant suivre de toutes celles qui reproduisent y/A-XY. Celles-ci comprennent d'abord la substitution propre

X = coX', Y = - Y',

et la substitution impropre

.oY',

mais celte dernière doit être rejetée, si l'on veut conserver le déterminant de la subslilution S égal à + i. Cela posé, soit pour un instant

f{mX + m'Y, nX -h n'Y) = F (X, Y) ^ [a, b, c, c', b', a') (X, Y)=, de sorte que l'on ait

F (o)X, -y) =(«co%Z»u%cw,c'w-',Z''oj-',rt'r«;-=)(X,Y)^

.) J'acbèverai de définir entièrement la substitution en déterminant w par la condition C(.y = c'cj"' ; cela fait, je prendrai F ( wX, - Y j pour transformée canonique de la forme générale du cinquième degré, et en posant, pour abréger,

je la désignerai par J (X, Y), de sorte que l'on aura

.f(X,Y) = (>.,,J^,v/^,VÂ^fx',X')(X,Y)^

» Il est aisé de voir qu'on obtiendra la même forme canonique pour

tontes les transformées déduites de la proposée y^fx, y) par une siibstittilion quelconque 2 au (léleriniiiaiil tin\ car il suffira d'effectuer dans celle forme la substitution inverse 2~' qui ramènera à la proposée, et puis de la faire suivre de S, pour retrouver rf(X, Y), le déterminant de la substitution composée Z~'S étant d'ailleurs égal à l'unité. Il suit de là que les coeffK ienfs de la forme canonique sont des invariants de la forme proposée, et il importe d'étudier avec soin ces cofficients.

» II. Je dis, en premier lieu, qu'ils peuvent s'exprimer en fonction des trois quantités "iX' = g, fjLu,'=^ et à*. Effectivement le covariant quadratique de ^(X, Y) étant devenu \ A.XY, on a les deux relations

Xft' — 4 i^ V ^" "+" 3 A: = G,

X'/J. — l\ii'sj'k ■+- ?>k = o, d'où l'on tire ces deux équations du second degré :

Zùsk'l' - [h [g - iGky - gk' [g + iGA)] X + ^Gg^T' = o, 1 2 \k'[j.- — (c)k- ■+- iGIik — gh) [j. + I 2h\k^ = o.

En les résolvant et posant, pour abréger,

A = (9/t- -4- i6hk - ghf — 2!^-hk\

on aura un premier système de solutions, savoir :

72vÂ^X = h{g- iGkf - 9A= {g + iGk) + (g - 16A-) vÂ, ?.4 yj¥iJ. = 9A' + i(J//A- — gh — VA,

et le second s'en déduira en changeant à la fois le signe de y'A dans ces deux formules. Mais, d'après le produit des racines des équations en X et fji, ce

second système pourra aussi se représenter par ^1 -■, c'est-à-dire par X'ct fj.',

de sorte qu'on aura

72 v/Â"»X' = h{s- i6A)^ - çfk'(g + 16A-) - {g -iGk) VA,