l\\l k'-^ [j! =^ Ç)k'- -+- ïGhk — gh -t- VA

» Voici donc, comme on l'a annoncé, les coefficients de la forme canonique

.f(X,Y) = (À,f;.,s/^,sA-, ,a', X')(X,Yj'

( 5) exprimés en g, h, A:, et on va voir que ces quantités s'expriment elles-mêmes par les invariants de la forme proposée.

» III. Je rappellerai cl aboril cette proposition, que, (p(.r, >■) et ç (x, ^T") désignant deux covarianis d'une forme /, si l'on pose

(p (.r, j) = OoX' 4- a, jc'-'j- +. . . + a,, xy"-' + rt, j", d'où

ç(— j, jr) = a.,x'' — a.,,x'-\r + ...-+- { — iy~'n,xy-' + (- l'/floj'i l'expression

sera encore un covariant de /, et je dirai suivant l'usage qu'il a été obtenu en opérant avec (p (x, j-) sur ç, [x, y). Cela résulte de ce qu'en faisant

y (mX 4- w' Y, nX -+- n' Y) = AoX'^ + A. X'-' Y + . . .

+ A., XY"-' + A„ Y'^ = $ (X, Y), et

f^ (mX + m'Y, nX + n'Y) = $, (X, Y),

l'expression semblable obtenue en opérant avec 0(X, Y) sur $, (X, Y), savoir :

sera

<|;(/nX + m'Y, nX ■\- n'\).[mri — m'n)'^,

où l'exposant V, du déterminant de la substitution est le degré dey^ {x, y). Je ferai usage de cette proposition en prenant pour $, (X, Y) et $ (X, Y) la transformée canonique de la forme du cinquième degré et son covariant quadratique, de sorte qu'on ait

$(X,Y) = VÂXY, <^, (X, Y) = J(X,Y).

On obtiendra ainsi, sous sa forme canonique, un premier covariant du troisième degré :

VA -^^ = io VA (fx, v'^-, V'^% p.') (X, X)\

(6) et, en opérant avec le carré île $ (X, Y), ce covariant linéaire :

Enfin on sait que le iléterminant

"^K^'D — dx dy dx dy est aussi un covariant. car on a

Faisant donc

«I>(X, Y) = v'ÂXY,

et prenant successivement pour $, les deux covaiiants auxquels on vient de parvenir, savoir :

(I) v'X(p-,VÂ,v^,fjL')(X,Y)»,

(II) A(v'ÂX + vlY), on obtiendra les suivants :

(III) A(3p.,v'^, -v'Â, -3,a')(X,Y)%

(IV) AVÂ(sÂX- vÂY),

qui sont encore du troisième et du premier degré en X et Y. Maintenant on voit qu'en opérant avec (I) sur (III), on est conduit à un invariant du huitième degré, y A' {p-lJ-' — ^') '• je le désignerai par B. En opérant avec (II) sur (IV), ou trouve un invariant du douzième degré, \ A^.A\ que je représenterai par C. On a d'ailleurs

XX' — 3 ^ij.' H- j A = V A ; de sorte qu'ayant posé

XX' = ^ , IJM.' — h,

on peut déterminer g, // et A' au moyen de rinvarianl tlu (piatrième degré A. et de ceux du Iniitiénie et du douzième degré, fpi'on vient de définir, par ces relations :

g —"ih -^- 2k= yJA, /(—/, = -=, k = —=■■,

(7) d'où l'on tire

A'+3Ar. H-C , ABH-C

» Enfin j'observerai qu'en opérant sur (I) avec le cube du covarianl linéaire (II), on obtient un invariant du dix-huitième degré, ayant pour forme canonique y^A' y/A' {p-~ l^')- J^ le désignerai par K, en posant

d'après les valeurs précédemmeni doiuncs de a et p.' en fonction de g. /?, A', on voit que

el, par conséquent,

K== A' A = A' [ (9A- + I (■) hk - gfi r - a/jV/A^'].

Or il vient, en remplaçant g, //, A par les valeurs ci-dessus,

K^=(A- + 3R)-AB=-f--2(A-H-3B)(A-- raB)BC+ (A=- 72B) AC^~48C';

de sorte que K" est une fonction entière des invariants A, B, C. Une dernière et inq>ortante proposition nous reste à établir pour terminer ce sujet, c'est que tout invariant, quel qu'il soit, peut être exprimé en fonction entière de A, B, C et R.

» IV. Désignons en effet un invariant quelconque, fonction entière des coefficients de la forme du cinquième degré :/= (a, /3, 7, 7', j'3', a') {■tc, j/, par

je remarque d'abord que la transformée canoinque

ayant été déduite de y par mie substitution au déterminant un, on a également

et l'on en conclut, d'après les expressions des coefficients X, /j-, etc., données

(8) précédemment,

p -hQ v^ï

en désignant par P et Q des fonctions entières en ^, /i, k. Mais distinguons entre les invariants directs et les invariants liauches, et pour cela considérons la transformée déduite de la forme canonique par la substitution impropre

savoir :

.f, = (X',pL',V^,xÂ-, .a,X)(X.,Y.)=.

On remarque qu'elle ne diffère de g que par le signe de y'A, de sorte que l'expression du même invariant I, relative à J,, sera

Nous aurons donc, selon qu'il s'agira d'un invariant direct ou d'un invariant gauche,

ou bien

Ainsi, dans le premier cas, Q =r o, et dans le second, P = o. J'ajoute que le dénominateur k" disparait dans l'une et l'autre de ces expressions, qui prendront dès lors les formes plus simples P et Q\ A. On va voir, eu effet, que d'après la nature même de la fonction 0, aucune de ces quantités ne peut devenir infinie pour A: = o; car, quel que soit u, on peut poser

0(/., IX, \k, \k,iJ.',).') =0(Xw', ,afo\ \k''>, yÂw"', ,w.'w~', X''jj~');

et, en prenant w = \'^, nous allons reconnaître que dans ce cas le second membre est nécessairement fini. C'est ce qui résulte inunédialement des expressions

72 v/Â*X = h{g- 16k]- - ç)k- {g -+- 1 6A) + [g - \ ()A ) VA. 2/4 s F^ = 9A' + I G //A - gh - v'Â,

(9) qui donnent, en supposante = o,

Ces deux quantités étant limitées, on voit qu'il en est de même de

X'u-'' = -S- et u'«-' =

on serait d'ailleurs parvenu à la même conclusion, si l'on eût pris un autre signe pour le radical v A dans les expressions générales de X et ^i, car on aurait opéré de même en supposant oj = —=, et considérant X' et p.' au lieu

VAde X et |u,.

» Ce qui vient d'être établi fournit une première donnée sur l'expression d'un invariant quelconque des formes du cinquième degré, au moyen de ceux qui ont été définis précédemment et nommés A, B, C, K. Ayant en effet

A^ -h 3 AB -f- C , AB 4- c , C ~r K

ff = = •> h = — =-5 k =-=.-, vA^^-F^'

° s/ A' \\' V'A' VA"

on voit l'invariant du dix-huitième ordre figurer comme facteur dans l'expression générale Q y'A des invariants gauches, tandis que A, B, C se présentent seuls dans les invariants directs. Mais pour parvenir à notre conclusion, exprimons en A, B, C, K les coefficients de la forme canonique. En posant, pour abréger,

L = C + ^ ABC= + ^ A- [(3 B + A=)* (C + AB) - 3o AC(C + AB) - 9 AC=],

M = C^+- ABC - 4a'(3B-+AC+A^B), 2 24