L'- 5M'C)A-' = -Î7BK
» Tous ces coefficients sont ainsi des expressions entières en A, B, C, K, ayant pour diviseur y/C^, et par conséquent un invariant quelconque sera une fonction entière des mêmes quantités divisée par une puissance de C. Mais les considérations précédentes ayant déjà conduit aux expressions P et Q\ A, entières en g, h, A, on voit que ce dénominateur, représenté par une puissance de C, disparaîtra nécessairement comme facteur commun. C'est le résultat que je m'étais proposé d'établir et qui autorise à regarder A, B, C, K comme invariants fondamentaux, puisque tous les autres quels qu'ils soient en sont t!es fonctions rationnelles et entières. M'arrétant à ce point dans la théorie algébrique des formes du cinquième degré, je reviens à mon objet principal en établissant la proposition suivante, qui sert de fondement à ma méthode, et montrera comment les invariants s'introduisent à titre d'éléments analytiques et jouent le principal rôle dans la résolution de l'équation du cinquième degré.
» V. SoitJ[.T^ j) unejorme de degré quelconque n, et (p[jc,j-) un de ses f avariants de degré Ti — 2 en x et jr; je dis que les coefficients de la transformée en z de l'équnlionj [x. i^ =; o, obtenue en posant
sont tous des invariants de J [x, j).
» Avant d'exposer la démonstration, je rappellerai qu'on nomme covariant de
tout polvnù[ne y [x^ y\ a, b, c,...) dont les coefficients sont fonctions entières de n, b, c,... et tel, qu'en posant
f{inX^ in'Y, nX + Ji'Y) == (A, B, C,...; ^X, Y)^ on ait
s(X, Y; A,R,C,...^= {nin' — ni'n)' '^ {niX ^ m'Y, //X + w'T; a. b, c,...). On voit qu'en faisant, pour abréger,
F,X,Y)=/(/«X + "/'Y, nX + !i'Y) et <I)(X, Y) = 9 (X, Y; A, B, C,...),
le polynôme <I> est déilnit de F absolument comme 9 de f.
» Cela posé, je considère les deux équations homogènes
(]iii donnent celles de l'énoncé pour^= i, et d'où on déduit aisément celles-ci :
( 'fy-^^? i^' y) = O' ^'^ i '^ , ^
sur lesquelles je vais raisonner. Si l'on y remplace les coefficients a, b, c,... par ceux (le la transformée A, B, C,..., elles deviendront
( z.^+X<I'tX,Y) = o,
et il s'agit de comparer le résultat de l'élimination de x et centre les équations (i) avec celui de l'élimination de X et Y entre les équations (2). J'observe à cet effet qu'on peut introduire x et j' au lieu de X et Y en posant
jc=^ iiiX-i- m' Y, j — nX -h n' Y, d'où
rlF df flf (IF , (If , (If
de cette manière les équations (2), en y remplaçant 0 (X, Y) par {mn'— m'nY (p{x,y), deviennent
Or, en multipliant la première par n, la seconde par n' et retranchan't, il viendra
z{mri' — l'i'n)'^ (,,x + «'Y) (m?i' — m'ny(p{x,r) = o,
( i3 ) OU évidemment
(if *
De même, en mullipliant la première par m, la seconde par m', et reIranchant, on obtient
Ce sont donc précisément les équations (i) qui se trouvent reproduites, en y multipliant ç [x^ y) par {mri — m' n^-* ou remplaçants par; — ; — ' , ,. ,
et il va être ainsi prouvé que les coefficients de la transformée sont bien des invariants de J [oc,y). En effet, cette équation en z sera, d'après un théorème connu, privée de son second terme, et si l'on désigne par D le discriminant, elle aura cette forme ;
J3l, B,..., pétant des fonctions entières de «, b, c, .... Maintenant, si l'on remplace z par , — -, r^—» elle deviendra
z"-+- [mn' - m' n)-'-- ^ z"-^ -h (w«' -/«'«)"-' ^ z"-' + .. .
-h [mn' — m'n"'~" — - = o,
d'où l'on voit que par le changement de rt, b, c,... en A, B, C,..., les coefficients p-'^'--*' ^» et, par conséquent, 3t, B,...,^, se reproduisent
multipliés par une puissance du déterminant de la substitution, et sont bien des invariants.
i> VI. Ce qui précède ne peut être appliqué aux formes cubiques et biquadratiques, qui n'ont pas de covariants linéaires ni de covariants quadratiques, mais plus tard on établira pour toutes les formes de degré n, égal ou supérieur à cinq, l'existence de divers systèmes de « — i covariants ilii degré n — 2. Désignant par
l'un de ces systèmes, et posant
•»• 1 • • II çf'^j ') • ....
] introduirai 1 expression z = —, , qm contient n — i quantités arbitraires /,, <2>--i 'n-o coinine formule générale de (ranslorination à l'égard de réquationy'foc, i) = o de degré quelconque supérieur au quatrième. On va voir ainsi disparaître en quelque sorte les coefficients de cette équalion, pour faire place aux invariants, et la suite de ces recherclies montrera comment ces quantités prennent le caractère d'éléments analytiques dans les plus imporlantesiquestioiis de la théorie des équations algé])riques. En ce moment, je me borne à observer que 51, l3,..., ^ deviendront des fonctions homogènes de <,, t^,...^ t„f, du second, du troisième, et enfin du n''"" degré, dont les coefficients seront des invariants de la formey (x, j"); et pour montrer immédiatement comment intervient leur propriété caractéristique, en prenant, par exemple, ^, je vais déterminer le degré de ces coefficients dans les divers termes t\, t?^, t, t^-, etc.
') Nommons indice tliin invariant ou d'un covariant ç (.r,^) l'exposant /, qui figure dans l'équation de définition
9(X, Y ; A, B, C, . . .) = imn' - m'n)'(p{fnX -+- m'Y, «X -+- n'Y; a, b, c,...),
et soient /,, /j,..., /„, les indices des covariants ç, (x, y), o^ix, j),..., 9ii-i{^'j j) qui entrent dans la formule génér.ile de transformation. D'après la démonstration donnée (§ V}, le changement de n, h, c,... en A, B, C,..., dans l'équaiiou en z, revient à remplacer t,, fî,..., par i,{nm' — m'n/>'\ tz[mn' — iti'n)'~*,..., et il en résulte immédiatement que l'indice du coefficient d'un terme quelconque t^ t^ dans % sera /«-h i^— 2. Mais ce coefficient a pour diviseur le discriminant dont l'indice est «(« — i); par conséquent rindicodu numérateur sera la somme /«4- i^ — 2-\- n{n — i), et son degré en a, b, c,... le double de cette quantité divisé par n, c'est-à-dire
'■ ~ h 2(n — i). En inli'oduisaul le dfgré o^ du covariant ipy.(x, j)
en a, i, c,..., au lieu de l'indice /'a, d'après la relation liy = «o\ — « -t- 2, cette formule se simplifie et devient o\. 4- â^ -h an — 4- On trouvera pour la forme cubique Î3, absolument de même, qne le degré du coefficient de txtit.^ est o\ ■+- oN -+- o\ ■+- 3ji — 6. Ce sont ces fonctions 21 et Î3 (jui jouent le principal rôle dans la réduction à la forme Irinùmede l'équation du cinquième degré, car cette réduction dépend de la résolution des équations J3l = o. S? = o. Et ici le |)oint qui m'a semblé le plus essentiel et m'a le plus préoccupé consiste à vérifier la première en ex[)riinant /,, t^, /,, t^ en fonction linéaire de deux indélerminées. La méthode à laquelle j'ai été amené repose en entier sur le choix des quatre covariauts du troisième degré qui entrent dans la formule de tiansformatioii,et voici comment on les obtient.
( «5 ) « VII. Une remarque facile à établir, et dont j'ai déjà fait usage ailleurs, me servira de point de départ. Elle consiste en ce que les coefficients des termes en | et vj, dans le développement de l'expression
OÙ tf[x, jr) et (p, [x, j) sont deux covariants d'une forme quelconque / (jT, j)^ sont encore des covariants de la même forme. En supposant 9 ("fi j) du second degré et 9, (.r, j) du troisième, on voit ainsi un premier CQvariant cubique doimer naissance à trois autres, et les éléments de la formule de transformation
tf< (j, 1) 4- f<<p;(.'-, 1) + fyj (-r, 1) + wtjijx, ()
semblent s'offrir d'eux-mêmes, en partant du covariant quadratique
? i>, j) = (a/5' - 4^7' -+- 3 7-) :c= -h (aa' - 3p,S' + 2 7/) aj + («'/3-4/3'7+37-)j%
et du covariant du troisième degré obtenu au § III, en opérant avec (f (jc, j^) sur la forme proposée /{x, y). Désignons, pour les introduire dans l'expression (i), par $(X, Y) et <I>,(X, Y), les transformées canoniques de ^(x, j^) et ç, (x, jr); on aura
$(X, Y) = v'ÂXY,
$, (X, Y) = /jiX' -t- 3 v'ÂX= Y + 3v^^XY= -+- fx'Y% et on pourra remplacer
par
<!>, [(? - »; VA) X, (? + 0 y/Â) Y], Posant donc
$, [(I - >5 s/Â) X, (? + •/, VA) Y] = ?»$. (X, Y) - 3f y,$, (X, Y)
voici, sous forme canonique, les expressions des covariants que nous
{ '6) soimnes tuiU d'alioiJ ameiii-s à prendre jjour 9i(.*i/)i ^2{x,j-), elc, à sa\oir :
«I), (X, Y) = v' (fiX' + 3 s  X= Y 4- 3 vl- XY- + ,a' Y») , a>s(X, Y) = A (jxX' + v^X^Y- v^^XY» - ^'Y»), <l>,{X,\) = \/'K'{iJ.X' -\k\'\ - vÂ-XY^ -H /Ji'Y''), <1>,(X, Y) = A^l.aX'-Ss^X-YH- 3vÂXY=- ^'Y').
Le premier est du troisième degré par rapport aux coefficients de la forme pro|)osée, on, si l'on veut, du troisième ordre (*), et a rerude M. Sylvesler la dénomination de canonisant. Sous cette forme de déterminant, savoir :
fil'^^, j)= 3
^.3 ^2j^^-^2 — Jt'
il sert de base au mémorable travail de l'illustre analyste sur les conditions de réalité des racines de l'équation du cinquième degré. Je me bornerai à observer, à son égard, que toute forme cubique [a, b, b', a') {x, yY admettant pour covariant l'expression
(a/;' — 3abb' + a'a-, b"" b' -h aba' — -xab'-,
— b'- b — ab'a' -h aa'b', — a//' + 3a' bb' — an'-) [x^j^,
on en tiie un nouveau covariant du troisième degré et du neuvième ordre (J/, (j:,;'), dont je désignerai la forme canonique par ¥,(X, Y), de sorte (pion aura
^F, (X, Y) = vÂ^ (2 \!¥- '5iJ.k 4- (J-'p.') X'
-t- 3 v'!» ( yF + fxpi' s ^ - -j-iik) X= Y
- 3 v'» (v'F + /J,a' \ k - 2/ji'A) XY-
- vF(2 v'F - 3 a.'/.- + iJ-ix'-) Y\
Le second covariant Çj [x, j), qui est du cinquième ordre, donne lieu à une
(*) Pour abréger, je désignerai désormais sous le nom d'orrfre, le degré des covariants ou invariants de /{x, y) par rapport aux coefficients de celte forme.
( '7 ) observation importante. Lorsque la pro|)Osée y (x, j)) admet un facteur linéaire au carré, il contient ce facteur à la première puissance, absolument
t \ , ■ , <lf df . . , , , . , . , ,
comme les dérivées — et — ; voici la démonstration de cette propriété.
» Désignant par c et t deux constantes arlntraires, j'observerai qu'en prenant pour les coefficients X, /a, etc., de la forme canonique
?=(X, fjL, V^, V^, p.', X')(X,Y)% les valeurs suivantes :
/X=^(3(7-^ 2t)tO-%
ik = --'■ -'
fJl' = 7(3t -I- 2C7)(7T%
\ X' = (6r-5ff)T= qui donnent identiquement
Xfi' — 4p. V^ + 3 A- = o, X'/j. — [\[j: y/Â- + 3 A = o, elle devient
(3t-4^)otS (6T-5ff)T'](X, Y)'.
On a donc ainsi, dans le cas d'une racine double, l'expression générale de la forme canonique, et, par suite, de tous ses covariants. En particulier, on obtient
(I)2(X, Y) = iA((7X + TY)[-(Q7+ 3T)ff-,
ce cpii établit la propriété annoncée. Mais on reconnaitra qu'elle n'appartient plus aux covaiianls ^^{x^y) et ç< (j:, >), et c'est ce qui conduit à les remplacer respectivement par les suivants :
qui sont encore du septième et du neuvième ordre, et où elle se retrouve. //. 3
( '8) On obtient en effet, dans le cas d'un factein- double, les expressions :
= - VÂ'(crX-(-TY.[(2 7 + 3T)<7», -((7+ aT)T7, ((7+ 3t)t-|:\. Y;\ 4*,(X,Y)+3A<Ds(X, Y)+961',(X,Y)
et si on les désigne de même par 9, (x,^) et ç^ {x, j) afin de ne pas multiplier les notations, leurs formes canoniques seront :
a>,(X, Y)= sÂ^(5,aX»-vÂX-Y-sXXY= + 5|x'Y»), <I>,(X, Y) = v'Â^bVÂfji + 96(avF - 3fxA- + ix'ij:-)] X'
-3vÂ'f3v/Â"s'Â- - 96(vr'-t- fJL.a'v - 2.aA)]X-Y -t- 3 \/Â5[3s ÂyÂ- - 96(v/^+ /Jia's Â- - i(j.'k)]\Y'
- n/Â^I" 7 n'Â/ji' + 9G (2 s F - 3y.'A- + ixu-)] Y' ,
ou encore
<D,(X, Y) = \T'[jg - 53/^ + 1 ioA;,a - G4 VvÂ|X'
- 3vÂ"' [(3g + i5r^ - 9oA)s À - 64X>^]X='Y -I- 3vÂ^[(3g: + I 5i // - 9oX-)s  - G4\a'- JXY'
- \'^'\i78- 53A + iioA);ji'-64X>vÂ]Y'.
» Tous les covariants dont se compose la formule de transformation pour l'équation du cinquième degré sont maintenant déiinis ^*), et il ne me
{*) Celui du neuvième ordre nicrile d'èlre remarqué; si l'on opère en effet avec le coviiriant (|uadratique sur <fi{x, y"\, on est conduit à un covariant du premier degré qui, dans le cas où la proposée contient un facteur linéaire élevé au carré, coïncide avec ce facteur. Sa forme canonique est
A'[(3g' -f- i5i /( — 90X ) V^ — 64"aV^]x — k\['ig-\- i5i /i — yoX) V J — t)4X(x"] Y.
Un résultat analogue a lieu pour toutes les formes /=(«, A,..., h', a')'..T,y)'> de degré impair et supérieur à trois. Soit, en effet, D le discriminant; M. Caylev a <lémontré que jiour D = o, le covariant
</D rfD d\-) r/D
( '9 ) reste plus qu'à montrer que l'invariant du huitième ordre D= A-+ 128B est le discriminant de cette équation. Effectivement les équations (i) relatives au cas d'un facteur douhie donnent
g = ( 3o^-+ 6it7- 3oT=)a'T% 23 A = (Go-- + i3tc- -+- 61- )G^r^,
d'où
et en remplaçant g, k, k, par leurs valeurs en A, B, C,
A^-Hi28B = o,
ce qui fait voir que D s'évanouit bien dans le cas où la proposée admet deux racines égales. L'invariant du douzième ordre D, = aSAB + 16C, qui se présentera bientôt, pourrait être appelé second discriiuinant, les deux conditions D = o, D, = o exprimant que la proposée contient deux facteurs linéaires doubles.
» VIII. Nous voici parvenus à un point bien important et qui servira d'épreuve à toutes les considérations précédentes, c'est le calcul de la forme quadratique à quatre indéterminées désignée par %. Déjà nous savons que les coefficients de cette forme sont des invariants, je vais prouver de plus qu'ils contiennent tous le discriminant D, comme facteur, le coefficient du seul terme t^ étant excepté. Reprenons à cet effet l'expression
^ tfii^:, i) -(- K(fj(x, i)-|-i'cp3(x, i)-\- (V<fi{x, i)
et soit pour un instant
0(,r) = ^^92(•^) 0 + ^fdi^i >) -I- '^''P*('^» 0»
je dis qu'en nommant x^, x, , x^, x^, x\ les racines de l'équation proposée, la quantité 0(a:"„) seradivisible par(j"o— x,) (jt,,— Xj^ [Xg— Xj) [x^ — x i) .
devient la piiissanee ri'""' du facteur contenu alors dans/" au carré. Or en opérant sur ^(j:,))
avec la puissance du covariant qiiadralicjuc du second ordre de la forme proposée,
le cuvariant du premier de^ré et d'ordre 3« — 4- aiifjuel on sera ainsi amené, sera évideminenl, pour D = o, ce facteur linéaire. Dans le cas de « = 3, niais dans ce cas seul, il s'evauuuit ideulifpiement.
Remplaçons à cet effet -. ^, -, ^, - dans0(x) par leurs valeurs en fonc-
r» y. CL y^ CL a
tion des racines, Q{jcJ prendra évidemment la forme suivante :
II (-^0' •^1, "^2' '^SJ -^4),
n désignant une fonction entière. Cela étant, plarons-nous dans le cas de fleiix racines égales, en supposant par exemple Xo = x,, chacun des covariants qui entrent dans 0 .ri, et par conséquent cette fonction elle-mèmt-, s'évanouira pour .r = x^- H en résulte que U{jc„, x,, .Tj, .r3, x,) s'annule quand on y fait x^^x,, et il en serait de même pour
Xg = X^) Xq — ^a> "^0 — "^4 !
dou l'on voit que celle expression est divisible par
{x„ — X,) {x„ — x^) [Xg—x^) {x„ - .r,).
On peut donc, en désignant par $(x,) une fonction entière, écrire
tf,{x, l)
Cela posé, et observant que l'équation en z n'a pas de second terme, j'exprime — par la somme des carrés de ses racines, ce qui donnera
le signe V dans le second membre se rapportant aux diverses racines x = Xo, X,, etc. Or, on sait, par un théorème élémentaire, que
se réduit à une fonction entière, et l'on voit par là, qu'à l'exception du coefficient t-, tous les termes de ~ sont entiers^ ce qui démontre la proposition annoncée.
» Déterminons maintenant l'ordre de ces termes à l'aide de la formule du § VI,
et qui s'appliquera, en prenant pour ô*, , o\, o\ , o\ , les valeurs 3, 5, 7, 9.
Pour les coefficients de t-, ti>, v"^ ; u', uw, u'', on obtiendra it-s nombres 12, i6, 0,0; 16, 20, 24, midtiples de quatre; quant aux coefficients de tu, tiv, uv. v%K', ce seront des invariants d'ordres impairement pairs : 14, 18, 18, 22, et par conséquent tous sont nuls, car en les divisant par le discriminant qu'ils contiennent en facteur, l'ordre des quotients est inférieur à 18, qui est le plus petit degré possible d'un invariant gauche. On reconnaît ainsi, et avant tout calcul, que % est la somme de deux formes quadratiqu* s à deux indéterminées, l'une en t et i', l'autre en u et xv, de sorte que le mode de solution de l'équation 21 = 0, dont dépend essentiellement la réduction à la forme trinôme de l'équation en 2, se présente de lui-même en égalant séparément à zéro ces deux formes.
» Voici cette équation qu'on obtient par une méthode facile :
J [D,<=-6BD^i^-D(D, -ioAB)f=j ^^' i +D[-BM=-f- 2D,^^iv-^-(9BD- ioAD,)î»'^] = o,
D, , comme on l'a dit plus haut, est
25AB+ 16C, et eu posant
B,l'- 6BBtv - (D, - 10 AB) P- = o.
Bu-- 2D, mv- (9BD - ioAD<)ti- = o,
on trouvera, si l'on écrit, pour abréger,
N = DÏ-ioABD, -hgB^D,
ces valeurs bien simples :
3BD-+ V ND D, -H v/n
t= ., U=-^XV.
Aussi avais-je pensé qu'elles étaient la conclusion définitive de ma méthode, lorsqu'un nouvel examen de l'équation (i) me fit apercevoir cet autre mode de solution oià des invariants du huitième ordre seulement figurent sous les radicaux carrés. Eu l'écrivant ainsi :
D,(^- — Di^^ -f- 2Duiy - loADîv^) ■+- BD(ioAi'= - 6(i> - u- + gDii'^)^ o,
on la vérifie si l'on pose
<2 D('=-i- 2Duw- ioADn'^= o,
loAi'^ — Gt'.' — n- ■+- f)I)u'- ::= o.
Or, en faisant
/ = -^ V DT, ;/ ^ U -f- 5 AW, p = -L V, u' = W,
ces équations deviennent
T= v='-4-4UW =o, 5AV=-»-3v'DTV+ 0=*+ loAUVN -f-(25A= - 9D)W» = o.
La iiromière est satisfaite par ces valeurs :
T = 6W--U, V = oW-+^iu,
où c reste arbitraire, et en les substituant dans la seconde, il suffira pour la vérifier également de |irendre
|5' = 5A + 3vf).
)) Deux voies s'ouvrent donc comme conséquence de ces deux modes de solution, pour achever la réduction à la forme trinôme en calculant et résolvant léquation du troisième degré JD = o. Et connue on ne peut voir d'avance aucun motif de préférer Tune à l'autre, toutes deux doivent être suivies afin d'en comparer les résultats, et reconnaître les irralionnalités qu'elles introduisent dans la formule de substitution. Mais me sentant plutôt attiré vers la méthode de résolution de l'équation du cinquième degré à laquelle ]\I. Krouecker a attaché son nom, j'ai préféré consacrer à l'approfondir le temps que ces calculs paraissent exiger. J'indiquerai cependant quelques cas particuliers où ils s'abrégeraient beaucoup, eu supposant par exemple D, = o ou B =^ o ; car il suffirait de j)rendre dans le premier,
v= o, « = 3\ Dir,
et dans le second,
Enfin, si l'on avait
5A -H SyD = G,
ce qui rendrait illusoires les expressions de T et \, on devrait poser
d'où
/=-î=VDT, « = 5AW, v=--^T, »>=W.
(23 ) En m'arrètant donc à ce point, en ce qui concerne la premièie méthode de résolution, je vais encore, avant de m'occuper de la méthode de M. Kronecker, déduire de ce qui précède la détermination, au moyen des invariants, du nombre des racines réelles ou imaginaires de l'équation du cinquième degré.
i> IX. Les résultats obtenus dans l'étude des formes à deux indéterminées, indépendamment de leur intérêt propre, paraissent avoir pour conséquence de donner à la théorie des équations algébriques une base nouvelle, et je ne pense pas m'éloiguer trop de l'objet principal de ces recherches en montrant de quelle manière les nouveaux éléments de l'Algèbre, invariants et covariants, s'introduisent dans les questions résolues pour la première fois par le théorème de Sturm. Mais on verra leur rôle commencer seulement à partir du cinquième degré, comme pour rendre manifeste, sous un nouveau poi«t de vue, la profonde différence qui sépare les équations des quatre premiers degrés, seules solubles par radicaux, de celles des degrés supérieurs. Ainsi ou a déjà remarqué que la formide générale de transformation
n'a pas d'existence effective à l'égard des équations du troisième et du quatrième degré; mais, ces cas exceptés, je vais donner la déhnition des « — i covariants qui servent à la composer.
» Je dis, en premier lieu, que toute forme du degré n ailmet un covariant quadratique du second ordre en supposant ii impair, du troisième pour n = 4* + 2, et enfui du cinquième pour /i = 4' + ^, ce qui exclut le cas de n = 4"
» On a effectivement, pour les formes du second et du troisième degré [a, h, a) {jc,j-)-, [a, b, //, a') (x, j^y, ces covariants :
{au' - h\'[a,b,a'){x,j)\ (rt-rt'' -H l^nb'^ 4- ^a'b^ - 'dlrb" - Gaa'bb']' X {b- - ab\ bb' - au', b'- — a' b) (.r, jY,
d'ordre 2/-f-i et l\i-k- 2; on en conclut par la loi de réciprocité l'existence, pour les formes de degré aZ + i et 4'+ 2, de covariants quadratiques du second et du troisième ordre. Pour le dernier cas, il est nécessaire de partir des formes du cinquième degré, et je vais établir qu'elles ont un covariant quadratique d'ordre 4' +■ 8. J'opère à cet effet sur le covariant
cdbique et du troisième ordre, ayant pour expression canonique
$. (X, Y) = VA (fJL, sÂ-, sÂ-, -x') (X, Y)\
avec le cnvariant linéaire et du cinquième ordre obtenu au § II, savoir :
A(vÂ-X-t-vÂ-Y).
On parvient ainsi au covariant quadratique et du huitième ordre, savoir :
sÂ^A[(s^-fA)X*-(vÂ-K)Y=],
et il sulfit de le multiplier par A' jjour obtenu- l'ordre ^i-^8, de sorte qu'on conclut, par la loi de réciprocité, comme précédemment, l'existence d'un covariant quadratique du cinquième ordre pour le degré ^i-i-8.
)i Ce résultat peut servir de base pour généraliser la notion dos formes canoniques (*) telle qu'elle a été donnée au début de ces recherches; mais actuellement je me bornerai aux conséquences que voici :
» Désignant par ç {x, j) le covariant quadratique auquel on vient de parvenir, j'observe qu'en opérant sur la proposée avec y {x,j) on obtient un covariant du degré n — 2, que je représenterai par ç>, {jc,j). Cela posé, et en recourant de nouveau au théorème dont il a été fait usage au § VII, le système des n — 1 covariants du degré « — 2 pourra être défini par les coefficients des termes en S et 0 dans l'expression
.1 A la vérité, et dès le cas de n = 5, ces covariants ne sont pas ceux qui ont été emiiloyés; mais ils présentent cet avantage d'avoir des transformées extrêmement simples, qu'on peut obtenir explicitement si l'on y fait la substitution propre à ramener <p{jc,)') à la forme monôme \AXY. Et c'est ainsi qu'on peut démontrer qu'ils sont linéairement indé|)endants ; mais j'arrive immédiatement, sans m'arrêter à ce point, à mon principal objet, qui est d'obtenir, au moyen des invariants de la forme proposée y" (.r,j)), le nombre des racines réelles et imaginaires de l'équation f{x, 1)^0.
(") On ne pourrait plus, en considérant par exemple le septième degré, déterminer les coefficients de la transformée ^ = (>, (t, v, \p, \fi, v', p', X') (X, Y)' en fonction de W = g, fin' = //, v/ := X et /. Il sera nécessaire de joindre à ces quantités, v — v', ^ — u.', et même > — >.' qui s'expriment faiilemeiU par des invarianls gauches; jiar cela seul on peut juger quelle différence sépare le cinquième degré des degrés supérieurs.
( ^5) >■ X. Acei effet je rappellerai le principe, dû à Jaco])i(*), qu'en réduisant à une somme de carrés, par une substitution réelle, la forme quadratique
[to + (1/,-h >rt, + . . . + a"-' l„ ,r- + (/„ -f- //, -f- l)- /,+...+ b"-' /„,,,- + . . . + (/o + kl, + A-/, + ... 4- /."-'/„,)%
où a, b, . .., Ix sont les racines de l'équation proposée, le nombre des carrés alfectés de coefficients négatifs est précisément égal au nombre des couples de racines imaginaires. Et si l'on fait
7ro(.r), ;:, (jr),..., 7:„| (j:*) étant des fonctions rationnelles quelconques de X, le même fait a lieu à l'égard de la forme plus générale
Or, en prenant
n [oc] -to + j^j^^ -,
tous les coefficients seront des invariants de f[jc^ y), et par conséquent, si on la réduit à une somme de carrés, ce seront bien des invariants dont les signes détermineront le nombre des racines réelles et imaginaires de l'équation f{x, i) = o. On peut encore observer qu'en posant
on aura
n^(«) + \V[b) + ... + n^k) ^,itl + '^-'[a) + 4)- (A) -+-... + a''^ (A),
de sorte qu'il suffit d'opérer sur la forme quadratique à « — i indéterminées
F = 0- (rt) + <D= (*) + . . . + <I'- (A-).
C'est ce que je vais faire dans le cas de l'équation du cinquième degré, en supposant comme précédemment, pour obtenir la réduction à la forme
(*) Uber cincn algclirnisclun Fumlamentnlsatz urid sviiic Aruvcnduiigcn {^Journal de Crellr, t. L); iforez aussi une Noie i\i: M. tJorchardt faisant suite à l'article de Jacobi. //. A
{a6 ) trinôme,
<yi(.'-, i) -f-Hij»,(-r, l) -hv<fj(,x, i) -4- n'y, (j, r)
ce qui donnera
^DF = [!), /- — OBD/i' - D(D, -ioAli)i'-J
+ D[- B«- + 2D, «ir + (()iîD — ioAD,)tv-].
» J'observerai d'abord que le discriminant désigné par D est le produit des carrés des différences des racines, multiplié par le facteur positif 5\ et on en conclut aisément que la seule condition D < o est nécessaire et siitfisante pour que l'équation possède deux racines imaginaires et trois réelles. Mais l'hypothèse D > o convient aux deux autres cas de cinq racines réelles ou de quatre imaginaires, qu'il s'agit donc d'examiner.
» Pour le premier, F doit se réduire à une sonune de carrés tous affectés de coefficients positifs; ainsi il faut et il suffit que les formes quadratiques
(I) D,<--6r)D/P— D(D,- ioABu'=,
(II) -BM-+2D,Mtv4-(9BD- ioAD,)tv"
soient définies et positives. Faisant donc, comme au § VIII,
N = D;- loABD, -i-girD,
ou atu'a les criteria suivants :
» Pour le second, deux des coefficients des carrés doivent èlre négatifs, ce qui est réalisé de deux manières différentes : d'abord par la condition imique N > o, car les formes (I) et (II) seront ainsi des différences de carrés, et ensuite en les supposant toutes deux définies, l'une étant positive et l'autre négative. Cela donne avec N < o les conditions
ou bien celles-ci
c'est-à-dire simplement liD, > o.
B On remarquera que p irmi ces criteria ne figure point la combinaison
( 27 ) et le motif de cette exclusion est qu'on supposerait ainsi les formes (I)el (II) définies et négatives, c'est-à-dire F réductible à quatre carrés affectés de coefficients négatifs, ce qu'on reconnaît impossible d'après son origine même. Le tableau suivant peut donc résumer nos conclusions :
N > o, une racine réelle, quatre imaginaires;
N < o, BD, <; o, une racine réelle, quatre imaginaires;
N < o, BD, > o, cinq racines réelles.
h Mais voici un autre système de criteria auquel va nous conduire la méthode suivante.
» Supposant toujours le discriminant positif de manière à n'avoir à distinguer que deux cas, j'écris, comme au § VIII,
-DF = D,{t-- Di'--^2Dmi'-ioAn'^) + BD(ioAv=- Gtv — n""-^ gBiv^).
Cela posé, soit pour un instant
^J = t- — D^'-h aD;<u' — lo ADh%
^ := loAi»^ — 6ip — u^+ 9D1V-', d'où
(p+ w^=[f= — (3u;t-+(ioAu — Djt^']-[co«=— 2Dm(v + D(ioA — 9u)u'^].
On observera qu'on peut rendre un carré parfait chacune des deux formes (fuadraliques en t et v, u et n>, en posant
9 w^— loAu -I- D = o,
(le sorte qu'en nommant u et 0/ les deux racines de cette équation, on aura
<£ H- co ^= (< — Z'j>vY — w (n w) »
et, par conséquent,
D. <r + BD^= ^^^^ [t - 3.'.r- .' [u - l ».)']
» Or voici les conséquences de cette nouvelle décomposition en carrés : >) Supposons les racines w imaginaires, c'est-à-dire aSA^— qD < o, on
( 28 ) pourra (Widemment poser, en désignant par T, L, \ , W des fonctions linéaires réelles de /, ii, r, \\\
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