A^— 9D > o, A < o, N <; o, cinq racines réelles

( ^^9 ) » Elles s'accordent avec les résultats auxquels est parvenu M. Sylvcster dans le Mémoire déjà cité, et j'observerai, pour en faciliter la comparaison, c|u'oii a, entre A, B, C et les quantités désignées par J, K, Tj, A dans ce ÎMémoire, les relations suivantes :

J --= A, R ^ -B, 9L=;C^- AB, A = A'- a'-L.

» Mais la marche que j'ai suivie ne saurait conduire à ce fai', si important et si nouveau en Algèbre, des crileria renfermant un paramètre variable entre certaines limites, et qui me paraît une des plus belles découvertes du savant géomètre anglais. C'est dans une autre direction que je vais encore un instant suivre ces questions intéressantes, en tn'occupant du système des fonctions dont les signes servent à déterminer le nombi-e des racines réelles, comprises entre des limites données.

« XI. Après avoir remplacé pir des invariants, dans les équations de degré supérieur au qu.itrième, les expressions données par le théorème de .Sturm ])our la détermination du nond)re de leurs racines réelles et imaginaires, on est amené à se demander s'il n'y a pas, à partir du cinquième degré, ime modification correspondante à découvrir dans le système des fonctions que ce théorème célèbre présente sous une seule et même forme analytique pour les équations de tous les degrés. On peut ainsi })enser à retrouver leurs propriétés caractéristiques dans certains covariants, afin de les employer alors au même usage; mais ce sont des covariants doubles qui m'ont paru s'offrir an moins de la manière la plus immédiate et la plus facile, comme je vais le montrer.

» Mon point de départ est dans une généralisation du système des fonctions

V = (.r-rt)(,r -/;)... (x~ /■),

jiJ{x — a) [.c— b)

que je vais d'abord iniliquer.

(3o) » Eiiijiloyan' avec JI. Sylvester(*), afin d'abréger, le symbole Ç <7,6,...,^) pour désigner le produit des carrés des différences des racines a, b, . . . , g, je poserai

V'„ = (j:' - a) (x' - Z.). . . (j:' - A-) Ç(fl, A, c,..., A), de sorte que -~ sera l'inviirianf de la forme quadratique

2 ?^ ('•• + '^•'' + rz' /, + ... 4- «' ^)^

» De là on conclut déjà, d'après le principe de Jacobi, que le nombre des variations de ia suite

(i) V, -ip,, \\,..., \''„

est égal au nombre des racines réelles de l'équation V = o comprises entre .r et x', plus le nombre des couples de racines imaginaires. Cette dernière quantité se déterminant en faisant jc = x' , on voit que les nouvelles fonctions qui sont à deux variables remplissent le même objet que celles de Sturm. J'ajoute qu'elles ont absolument les mêmes propriétés, et bien que je n'aie pas à les employer ultérieurement, j'indiquerai, à cet égard, les propositions suivantes.

» Soit

V>, = A, jc"-' -f- B,x"-'-' -!-...; les coefficients A,, B,, . . . étant des polynômes entiers en x' du degré /, ou

(*} On a 'flicory of thc syzygelic relations, dans lis Transactions /j/iilosnp/iitjiits de i853, p. 457.

(3, ) aura entre trois fonctions consécutives, ^Vu ''^i» ^Vn 'a relation suivante :

Aj \V. - [A,, A, X + (B,, A, - A,. B,^]^, + A;, \V, = o.

» On voit ainsi qu'elles poiu-ront de proche en proche s'obtenir en partant des deux premières, 'C'o ou bien V qui est le premier membre d<! l'équation proposée, et '<>, dont voici lexpression. Supjiosaut que V soit donné par la fonction homogèney(x, j) pour ^" = i, on aura

en faisant de même j- = i .

» C'est donc nniquement dans l'introduction de cette quantité à la place

de la dérivée V, = -7- que consiste la modification apportée aux fonctions

du théorème de Sturm, et, pour bien en montrer l'effet, je vais employer succinctement le mode de démonsti'ation de ce théorème fondé sur des considérations de continuité, en laissant fixe la quantité a' et faisant croître j" de x^ à X. Partant pour cela de l'équation

IX — a

je remarque si .v' es! en dehors de ces limites et supérieur à X, par exemple, <\ se comporte exactement comme la dérivée V,. D'ailleurs, quand une fonction intermédiaire quelconque 'C,- s'annule, 'C',.., et •<>,>, sont de signes contraires; donc l'excès du nombre des variations de la suite (2) pour X = X(,, sur le nombre des variations pour .r = X, est égal au nombre des racines réelles de l'équation V=o, qui sont comprises entre jr^ et X. En supposant x'< j^^, on pourrait encore raisonner de même, mais en faisant décroître x de X à a'^. Enfin, fpiand x' est compris entre Xg et X, on trouvera que l'excès du nond)re des variations pour x = jT;, sur le nombre des variations pour jr = X représente le nombre des racines réelles comprises entre Xq et x , moins le nombre des racines comprises entre x' et X, et ces résultats s'accordent évidemment avec l'énoncé donné plus haut. » J'indiquerai, en second lieu, la relation

W, et U, étant des polynômes rationnels et entiers en x et x' . I>e premier W,

■ ( 32 ) est l'iiivarianl de In forme quadratique

2 (-v - a) Ur' - a) {/„ -^ af, -^ a- /, + ... ^ n'-> l,^, )-,

de sor;e que la suite des polvnômes à deux variables

donne par les variations, absolument comme la suite des fondions %'',, le nombre des racines réelles comprises entre x et jc', augmenté du nombre des couples de racines imaginaiies. Pour avoir l'expression de U,, soit

5 ip) = (« -Pii^- ^') + (/' - l') {b - x' j -H . . . + {^" -P){k- x') =2] (« - P) (« - ^'). et de même

et ainsi de suite. On trouvera ainsi

\J, = ^[x-a){oi'-a)b^a),

TJ, = 2^-^' - "y.^ - b).'x' -a]fy - lK^{a, b)0'{a, b),

U, = 2 (-ï- - «) (-^ - *) (^ - c) . (x— rt) (.r' - ^>) {.%'- c) Ç (rt, A, r] 0- (r/, /;, c),

» La loi de ces expressions est évidente, et bien que dans l'équalion (2) l'indice i ne doive pas surpasser n — i, on peut néanmoins les Ci.utiuuer jusqu'au terme U„ qu'on trouve aisément avoir pour valeur \'', ">;'„• On obtiendrait de même d'ailleurs

W„=V^?,„ d'où \V, = o, comme on pouvait effectivement s'y attendre. Mais cest la relation

( 33) qu on doit surtout remarquer; si, pour abréger, on représente par —■>

— ,■■■■, — les valeurs de la fonction V, pour x = rt, è,.... A', de sorte que

CAO

on aura les expressions suivantes :

On voit assez, sans aller plus loin dans cette étude, l'étroite liaison de ces nouvelles fonctions avec celles du théorème de Sturm dont elles reproduisent les propriétés analytiques. Elles servent ensuite de transition naturelle et facile pour arriver à celles dont je vais établir l'existence à partir du cinquième degré et qui sont des covariants doubles de la forme^ (j!% j), l'équation proposée étanty (x, i) = o. Pour cela, il suffira de remplacer la forme quadratique

qui donne naissance aux fonctions <', par celle-ci :

où l'on a, comme au § X,

rP(n),

En effet, les expressions ^ étant des covariants doubles, et les quantités n(rt) des invariants, tous les coefficients de cette forme seront des covariants doubles en x et y d'une part, jc' et j' de l'autre, et auxquels on pourra donner^ {jc, j) pour dénominateur commun. Mais je ne veuxpas m'éteiidre davantage sur ces questions générales, qui m'éloigneraient de mon sujet; je m'abstiendrai même d'appliquer ce qui précède à l'équation du cinquième degré, pour entrer ifnmédiatement dans l'étude de la méthode de résolution par les fonctions elliptiques dontM.Rrunecker est l'auteur. Les H. 5

( 34) recherches que je vais exposer m'offriront d'ailleurs l'occasion de donner un système spécial au cinquième degré de ces covariants en x et^, x' et y i\\\\ peuvent remplacer les fondions de Sturm.

>' XII. La Iransforinalion des fonctions elliptiques conduit à deux sortes d'équations algébriques de la plus grande importance pour l'Algèbre et la théorie des nombres; les unes sont entre les modules X et A", les autres

entre le multiplicateur ^ et le module. Ce sont ces dernières qui ont été, au point de vue de la résolution de l'équation du cinquième degré, le sujet des beaux travaux de M. Kronecker et de M. Brioschi, et comme les résultats obtenus par ces éminents géomètres me serviront de point de départ, je vais les rappeler succinctement.

n D'après un théorème de Jacobi, démontré dans le n° 3 des Annali di Mntemalica, année i858, par M. Brioschi (*), on sait que les racines de

ré(]uation du sixième degré enlre — = j: et k, savoir :

, — sin ani4« sinamSt)

sin ruaiii 4 u sincoaiii8u

« étant successivement ^ et ^ pour v = o, i, 2, 3, .\, s expriment

v/x^ = A„-+-p'A, -f-pA,,

(le la manière suivante.

» Désignons par yo"» celle qui corresponil a w = p » ce qui conduit

naturellement à adopter la notation \jxa> pour la première qui est donnée en faisant 00 = ^; on aura

, ^ l v'-'":^. 3= Ao ^5 , \lx,

\ V.f, = A, +p'A, + p'A,, \jx,

r, étant une racine cinquième de l'unité. Ces expressions remarquables n'appartiennent pas uniquement d'ailleurs à l'équation entre .r et k : elles se retrouvent à l'égard des racines des équations analogues (**) que donne

la théorie des fonctions elliptiques entre le module et les quantités x^,

(*) Le P. Joubert avait trouvé, de son coté, la même démonstration, en s'occupant delà formation des éfiualions entre M et k pour la transformation relative au cinquième, septième et onzième ordre {Comptes rendus, séance du 12 avril i858).

(**) M. Bbioscbi, Siil mcthodo di Kronecker pcr la risolitzione délie equazioni di qiiinto grado, nota 2", et le P. JouBF.nT, Comptes rendus, i858, p. 34 1.

(35; J^ T» ^ ( -^ +-7=^) > etc. L'idée hardie, et qui devait être si féconde,

d'étudier en général toutes les équations du sixième degré dont les racines s'expriment de cette manière, quels que soient Ao, A,, A2, revient on entier à M. Kronecker. Un premier résultat, obtenu mais non publié par le savant géomètre, a été donné par M. Brioschi dans le n° 4 des yinnali di Matemalica, année i858, et consiste dans la formation même de cette équation du sixième degré. Si l'on pose

A = A2+ A.Aj,

B = 8AJ A, A, - 2 A^Af A^ + A?A^ - A„ (AJ+ A|),

C== 32oA«A^A|-i6oAf,A«A3+ 20A2 A* A^ + 6A^ A^

-4Ao(32Aj-2oA^A,Aa+ 5 AJA^) (A^+ A^) + A;"-+ A.^",

elle aura cette forme remarquable (*) :

[x - A)'(x— 5A) + ioB(^- A)' -C(x- A) + 5B^ - AC = o.

» Un second résultat extrêmement important est dans l'abaissement de celte équation au cinquième degré (**). Les expressions données par la formule

l'indice v étant toujours un nombre entier pris suivant le module 5, sont en effet les racines de l'équation suivante, où 5' Il représente le discriminant (***) de la proposée, savoir :

j=-2oB/* + io(3B=- AC)jr^ ^- 2oB(5B=' - AC) 7- + 5(2iB* - 26ACB= + 5A^C^)jr + v'n = o.

Enfin cette réduite peut être simplifiée, et, en posant \ j = /\Z, M. Brioschi parvient ultérieurement à ce beau résultat (****) ;

, 5B , 5(c)B'— AGI I 4 ?r

^ --F ^^-^^6 ^+ 4:vn = o.

Il sert en effet d'origine à ces équations remarquables du cinquième degré

(*) M. Kronecker, Uber die Gteichungen funften Grades [Journal de Crelle, année 1861).

(**) Le cas particulier de l'équalion M et k avait été pour la première fois obtenu par le P. Joubert. ( Comptes rendus, séance du 12 avril i858.)

(***) On trouve aisément, pour A = o, n = (O — I2=B>}=; et pour B =^ o,

(****) N° 5 des Annali di Mntcinatica, année i858.

(36) dont les racines s'obtiennent sons forme explicite à l'aide des transcendantes elliptlqnes, et qni, à cet égard, offrent denx cas principaux. Le premier s'obtient en posant

alors l'équation du sixième degré en x n'est autre que la relation entre le multiplicateur et le module considérée plus haut, et, comme on l'a dit, on a

\fx ■■

sin anitd sinamooi sincoam4w sincoamSw

Quant à la réduite, elle a la forme trinôme

à laquelle j'ai eu pour but, dans la première partie de ces recherches, de ramener toute équation du cinquième degré. » Le second cas s'obtient en posant

A — O, D — ~ Jî^n' ^ — ^ '^TJn '

il conduit à la réduite

ou plus simplement, en mettant -pj- au lieu do z,

et c'est à cette équation particulière que la méthode de M. Kronecker permet, comme on le verra bientôt, de ramener le cas général. Quant à l'équation en x du sixième degré, ses racines s'expriment de cotte manière :

, — cos a m Ol to cos ani 4 w

V ar = 7 '

cosam4w cosamaw

'•) étant toujours -^ et g ; nous avons ainsi les quantités par lesquelles M. Kronecker est parvenu le premier à l'epréscnter certaines fonctions cycliques des racines do l'équation générale du cinquième degré, et par conséquent les racines mémos de celte équation. Mais je renonce à dire, en énumérant ces divers résultats, ce que je crois plus particulièrement appartenir au géomètre allemand et à M. Brioschi, plusieurs choses fonda-

( 37 ) mentales me paraissant avoir été successivement découvertes par les deux auteurs. Je citerai surtout ce qui concerne les résolvantes de l'équation générale du cinquième degré, dont les racines ont la forme donnée par les équations (i). J'ai étudié avec admiration l'analyse donnée par M. Brioschi sur ce point si important, et elle me servira de base pour les considérations que je vais exposer.

» XIII. Désignons par S,, l'indice étant un nombre entier pris suivant le module 5, les racines de l'équation (a, |3, y, 7', /3', a') (Ç, i)^ = o, de manière à représenter par ces formules de M. Betti, savoir :

où a, b, c sont également des nombres entiers pris suivant le module 5, les 120 permutations de ces racines. Elles se décomposent en ces deux groupes de 60 permutations conjuguées, savoir :

de sorte que toute fonction rationnelle des racines, invariables par les substitutions d'un de ces groupes, n'aura que deux valeurs distinctes, et s'exprimera rationnellement par les coefficients de ly proposée et la racine carrée du discriminant. Considérant désormais comme quantité adjointe cette racine carrée, on pourra se borner aux subtitutions I, et les fonctions des racines dont nous allons surtout nous occuper, qui ont seulement six valeurs, seront caractérisées comme ne changeant pas par les substitutions |^,^^j. Soit donc w = F (^0, ^1, £2) S3, £4) une telle fonction, et u,, ce qu'elle devient en remplaçant £,, par ^3^,^^, les six valeurs qu'elle pourra prendre pour les ^ 60 pernuitations I seront u, ?/<,, u,, u^, «3, «4, et le système de ces quantités donne lieu à la remarque suivante. Convenant de représenter la première par i/oa, et les autres par u,,, l'uidicc étant pris suivant le module 5, on vérifiera très-facilement qu'aux substitutions

,„ II. I iï. 1 u. I

correspondent

l.,) U.v) Ua»'

"«+) ) ( Wi,, ) 1 Ut

Mais les substitutions (A) répétées donnent toutes celles des formules I,

( S8) et il est visible qu'en composant entre elles les substitutions (B), on Irou-

vera pourrésullat j u^„^y [? a, b, c,d étant des entiers pris suivant le

' cn-i-d !

module 5 et tels que ad — bc est résidu quadratique. On voit danc que le (jroujte ^Q l'équation ou u, dans le sens de Galois, est le même que celui de I équation modulaire du sixième degré; mais cette remarque, que j'avais déjà indiquée (*), n'est qu'un premier pas vers un résultat beaucoup plus important donné ainsi par M. Brioschi.

» Supposons qu'au lieu d'être invariable par les substitutions ^^, ^, la fonction des racines qu'on vient de désigner par u soit cyclique, mais cliangc de signe quand on y remplace ^^ par S,^ ; on trouvera qu'aux deux

premières substitutions (A) correspondent celles-ci : | " !, " |,

et que le résultat de la troisième est représenté ainsi :

1 i/^ Ha n, //., //3 II;

Cela posé, faisons dans les relations (i) du paragraphe précédent :

Ap V 5 — k^ s 5 + Ao + A , -+- A, + A, -t- A«.

^ A, \ 5 = Ao + f/A, + /s'A., + p-Aj-f- ûA-,,

- \„ ^ j — ko -+- pf>', -+- p'-k., -+- f 'A3 + |(y'A,,

p étant une racine cinquième de l'unité, satisfaisant à la condition

^/S = p-4- p-- - p- - p\ et elles deviendront

yjx^ = K. v'^ -I- A-„ -f- A-, -f- Ao -I- A3 4- A,,