I.W Srn I/ÉTABUSSEMENT
Il n>s seriiit nécessaire de recourir k ces procéd&j que si l'on voulait avoir égard à la différence dé densité du massif et des voussoirs. Or nous pensons que les ingénieurs qui tiendront assc* à la précision ^ur avoir égard k cette différence, ne reculeront pas devant l'emploi des méthodes de calcul ou des méthodes graphiques qui ont été Indiquées* dans la première partie; Faisons remarquer, à C-é sujet, qu’en suppésant seulement le produit (i - 7 ^ r) du même ordre de petitesse que les épaisseurs, ou du premîèr ordre, eê qui est très-admissible dans les arches de pont, il serait possible de joindre à nos tables de nouvelles tables destinées à corriger la solution obtenue' en- faisant i=M}'Le temps nous manque absolirment pour entreprendre ces nouvelles ' recherches. .,< •/ ,
I.’étendue'déjà considérable de notre Jravail, et la crainte d’abuser de la facilité que l’Académie a bien voulu notut offrir po'ur l'itnpression, nous déterminent à ne point publier ici le chapitre^ sur l’établissument des appareils dits poürails , lesquels, bien qu'ils présentent une grande analogie avec les arches de pont, ne doivent point cependant être considérés comme étant des cas particuliers d’arches de pont proprement dites. ' . ' • '
‘ SIHFLIFTCATIOS DES rOEMl'I.ES CESEEALES TOCB LES CAS OsnlSAmES ‘ .
• • qi'r'psbsentest LES Àscius DE rerr.
34. Los deux éléments de réduction auxquels nous aurons recours sont le rapport désigné par i , de la densité du m'assif à ceBe des voussoirs, et la hauteur h de la' chargé qui s’élève au-deSsus du plan boriEOntal taïq'ent à l’extrados; • ' ■ - '
. Le plus souvent, et c'e.st d’aMlcurs l’habitude du plus grand nombre des ingénieurs, on peut négliger la différence do densité du massif et- des voussoirs.' C’est ce que nOUs ferons dans tout ce qui va suivre , en posant • . • •
Cette relation permet d’efTe«tber immédutsmept-iine grande siim plification dans les forimiles {$'), en y réduisant à xéro les coefficients D et G et les ternies des autres coefficients qui ont (i — i\ pour facteur.
Quant à la hauteur de charge h , cette quantité est très-grande par rapport à l'épaisseur dans les timnels et dans les poitrails dont il a été question au numéro précédent. La grandeur de L perâiettrait aussi des sinqpli Gestions, et rendrait praticable femploi des séries à la place des fonctions elliptiques; mais nous ne nous occuperons point Je ces constructions, par la raison énoncée en terminant le même numéro. Dans les ponts, au contraire, la hauteur b est très-làible, et presque toujours plus petite que l'épaisseur de la voûte'. Nous avons déjà dit au n° 20 que la petitesse de h permet de «éduire l'échelle des modules des fonctions elliptiques au premier de la série , et qu'il suffit de calciüer une seule amplitude en outre de celle qui sert de point de départ à la série des amplitndcs. Nous avons fait de diverses manières le calcul de l’eiTeur qui en résulte, Oè nous nous sommes assuré qu'elle est à peu prés insensible dans le cas des ponts. Néanmoins, dans le calcul des tables, nnus nous sonunes astreint à ajouter la petite correction nécessaire pour obtenir le degré d’exactitude que l'on atteindrait en tenant compte, dans le calcul des fonctions elliptiques, d’uq module et d’une amplitude de plus.,
Nous commencerons par opérer sur les fonctions elliptiques des transformations indiquées par la petitesse de à ou de A*. L’expreasion de tang' équations (i'), montre. que si l’on y prend y' égalé l'ordonnée du peint inférieur de l'intrados, l’angle ^ sera plüs voisin .de go°' que de zéro : coiihzm; nous ne ferons usage des équations (r*) que pour établir une relation entre les coordonnées du point inférieur de l’intrados, il convient ici de substituer à l'angle p son complément; posons donc
' — yo* ~ • - •
Nous avons dit en outre que le module c est très-voisin de l’unité
FM SUR L'ÉTABLISSEMKNT •
dana la même hypothëae relative à* h" ; pour cette raison , nous
lui substituerons son complément b dmmé par la formule
si l'on fait, de plus, d’où.
sin^ =z b.
' ■ • eos^ = c,
on aura récbelle. suivante de/s modules : ' *
sm^, = tangî f - . sini/s = tang* i
' sin\//. = tang* i . .
celle des amplitudes deviendra '
■ ' cos(îÇ,' — |) = cos$ cosyff,*
cos (a 5, — $,) = cosS. coss|/,(, .. .
'• cos (a $. — = cQs^m-, cos\|/^,. ' .
Dans le cas où les angles ( seraient très-petits, on ne pourrait phu se servir de^ces formules; mais on en déduit les suivantes qui ne présentent pas les mêmes difficultés :
sin’(a|, — $ ) =3 sin’ S -f- cos’ $ sin*t^,. . • . . i sin’(aS, — 6,) = sin* Ç, -t- cos’S, sin’i^,' ' ' ' .
sin' {a £, — £,)== ain* h- coa* £», sin*
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Cea demëres fui^nules n« sont pas logarithmiques : il en existé ' d’autres qui ont l'aTantage de l’être { mais elles exigent que les modules se succèdent dkns l’ordre inverse de celui que nous avons adoplé; nous les aurions rapportées, s’il nous avait été nécessaire d’ell'ectuer les calculs au delà du premier module. Les précédentes, qui nous serviront au calcul de l’erreur que l’on coinmot en s’ar- ' rètantà ce module, montrent actuellement la rapidité avec laquelle l’angle ^ se rapproche de sa valeur limite, lorsque ^ est très-petit ou que c diffère peu de l’unité.
Enfin, les deux systèmes de formules ■ propres au calcid des , fonctions elliptiques elles'^ièmes deviennent : ,
F (c,, <p») — log cot ~
eo«*-è«, .
y cos* - 4',
' £(c„'^,) = cos5,,
E ^c,, , = 2 cos* i E(c.', <P,) -f- 2 jin'; F(c„ — cos (2 Ç, —
F (c, , 2 COS* '-\j/,E (c„ ^,) -f- 2 sin* ^ ij/i F (c, , ip.) — cos (2 5, — ê. ) ,
F(c ; ^ ) = 2cos*^if< £(c,, 2Bin*i|^ F{c,, ^,) — cos (a 5i — S )‘^
35. Nous limiterons d's^rd l’emploi des formules précédentes en faisant n i= i . De cette manière, il sera inutile de calculer et il suâira d'appliquer la première des formules qui donnent la série des Le calcul des fonctions F et £ se réduira ainsi à celui des formules, extrêmes de chacune des deux séries.
Ceci posé, les premières équations («') donnent, en vertu de
'• ; ^ ' ?•== aep,. ’ ^ >
‘*"g'P=îV
hr B— •
De cette dernière équation on tire les trois relations suivantes : .g .,a B /*-*’ . . .. . i- B-y
sin’£ = — ' • cos’c ■= — . lane'f = — ,
dont la première sera parbculièreipent utile. ' ' *
Nous avons posé plus haut : sin^ = 6, et 6* = i — c'; il s'ensuit
sini^ = V I — ■ c';
or, i — c’= vertu des équations (s"), il vient donc
