I.a valeur de A* est
A* = 1 — c* sin’^ = cos’^ -t- è’ sin‘9, . -
ou
A* = sin'Ç cos*$ sin*^;
de celle expression comparée avec la première des relations non logarithmiques entre les amplitudes, rapportées plus haut, on tire
A* = sin* (a S, — Ç) :
mettant dans la valeur précédente de A*, pour sin'f , cos'£ %t sin<('-, leurs valeurs données ci-dessus, il vient • '
et l’on a simplement
A = sin(aÇ, — Ç) = p.
Le troisième terme de la valeur de x’ devient de même
C ûn^ co«^ B—
B—*'*/ . - , /îT i ir*
= — rr- 7: sinÇ cosS = \/B — y ’ v/ 1 7
(en supposant les angles ^ et £ compris entre 0° et 90®), ou, en vertu de la relation précédente.
C sio^co*^
— cos(aS, — Ç). - ;
Les fonctions elliptiques limitées dans leur développement, comme il a été ooüvênu, se réduisent à ^ ^
F{c, P) = — ^ logcot
co«*-4-
£(c,ip) = acos*'|^cos{, -t-a sin*^ ^logcot — cos (a Ç, — Ç)
Ito SUR L'ÉTABLISSEMENT
A l'aide des valeurs que nous venons d'obtenir, et à cause de D = O , G = O, l'expression de ± x' se réduit d'abord à
rfc ir'= -L.F{c.(P)~ V/B .E(c. ^)~t-VB— /• cos(a I ^ i)
(on écrit ici le double signe devant x', parce que l'on suppose les angles ^ et ( compris entre o’ et 90°, ce qui suffit dans le problème des arches de pont) : en substituant dans cette .dernière équation les valeurs des fonctions F cl E, il vient
± i' = i col - Çi — a V^B cos* - \ff cos5,
V/Bco»*i* ’ ’
-4- (y/B cos(j s. — S).
On petit encore chasser l’angle yf/ : en effet, l'on a
a cos* - u/ = i,-f-cos^ = i-(-i/ I — — = iH -,
ce qui donne
3 V^B cos* ^ = y B -f- y/c.
D’un autre cété, le numérateur de la fraction qui multiplie log cot - 5, peut s'écrire
A lBsin*d- = A— i A’*;
or, on a, par les équations ( 3 ), .
et, par suite.
d’où . ,
soit, pour abréger.
VB-t-Vc’
il viendra finalement' • •
x' = .V log cot — (y/B -f-\/ C)cos6, -H (V — ^v*') cos (2 Ç, — |)
05 bis. Sans enDer dans tous les développements qui seraient nécessaires pour effectuer les calculs, nous allons dire brièvement comment nous avons obtenu la correction qu’il faut apporter à la valeur de x’ pour parvenir au même degré d’exactitude que si nous avions poussé le calcul des fonctions elliptiques jusqu’à l'eniploi de l’amplitude
Nous avons posé d’abord
O désignant une quantité très-petite que nous avons obtenue en appliquant le théorème de Taylor à la relation '
8in'(a5, — S,)=sin’$;-t-cos*Ê,ain*^,i
la valeur de .a est, aux termes près des ordres supérieurs,
<7 = I cetÇ, taing'
Qïiant à la valeur de*tabg ^ : de la relation . - '
1A2' on tire
d’où
2 y/B sin* = ^/B — ^C,
lane -ip = ,
'VB-t-v/c
quantité dont la quatrièmê puissance est très-petite.
En faisant toujours usage du théorèn\e de Taylor, on trouve’ aisément
1 I » I I » I cot Cl
log cot-Ç, = log cot-ç. — J — tang*
cos$, = cos5, — J cosS, tang*^»^.
A l'aide de ces valeurs, on obtient pour expressions approchées des corrections 4 appliquer aux fonctions F cl E,
JNF = ltang‘lV/(lpgcoli$.— ^).
S^E~ tang‘^d> ^logcot — cos$,J;
et l'on en déduit, pour la correction de la valeur- absolue de x’,
Fx' = — -V/B Ung* '-}}t 1 2 log cot — i) cos|. j,
en négligeant les quantités de l’ordre de tang'-^if; Dans cette . expression , la parenthèse croît à mesure que S, diminue ou que A* tend vers zéro; mais le facteur tang* \f/ décroît plus rapidement que la valeur de la parenthèse n’augmente» èt s'annule avec A'.
Une expression encore susceptible de simplibeation est celle de la tangente de l'angle a que fait la normale à l’exUados avec la verticale : l’équation (m*) dans laquelle ]es quantités a. et y* ont été'
' dKs Arches DE PONT. lis
notées de Tindice i, devient, en rétablissant la généralité de cette formule, • -
tanga =
on en tire aisément, au moyen des relations précédemment établies entre les quantités A, B et C, 'et négligeant' les termes en e*, .
sma ==; —
cosa
La dernière de ces équations va nous fournir ün moyen plus rapide de calculer l’angle a. En y substituant la valeur de A en fonction de C obtenue précédemment, puis multipliant haut et
bas par'^, on a ■ .
cosa = :
soit
kr* ' . ‘
cosa' = I — a — ,
d’où
équation qui
sera très-propre à déterminer l’auxiliaire a'; la valeur
de cosa deviendra
cosa
