I. . ’ Il •f

ajoutons maintenant, membre è membre, cette équation et celle qui donne la valeur de p’, il viendra

mais, en vertu du théorème de Taylor, et en négligeant les termes du deuxième ordre, celte expression équivaut à ->•<%)'

p' -4- ^ Ap' « -t- - Aaj.

(*) Nous aurions^ évilé ce tour de démonslralioq en appliquant iniiuMialerDenl la proposition de Legendre eUx expresatonS 4e dx'-éS dy'. miMM sou» la rorme Do-.

■ II., !f- i«.i i(i; die’ S

.Kit

t-)!) II..

d'.|lj'‘

d- '.l'il

m SUR L’ÉTABLISSEMENT

Pour faire usage de cette formule dans le calcul des valeurs de Ax' et reprenons la valeur de p’ équation (w), rpie nous écrirons comme il suit :

-o’ — - fc f-t- — «*-i- ■ t y — I — — i|e*ooia , I l 3i i Ui / , »,

En vertu de la formule précédente et de la définition de la fonction nous aurons

Cette expression, qui contient plusieurs termes constants, se simplifiera notablement dans l’hypothèse t = i ; mais, quoi qu’il en soit, elle renferme encore l’inconnue - Ay': rappelons à cet égard qu’il suflit ici d’étendre l'exactitude aux termes du premier ordre, d’où il suit qu’on peut substituer à - Ay', sa valeur obtenue à ce degré d’approximation ; nous écrirons de cette manière

;A/=p'sin«^. (a-)

jr -4* - Ajr H 7 - f Co«

«•4- — Aa

et ce sera cette valeur dont il' faudra faire usage dans la formule (f*). I ■ .11 swÇqri II ' .

Résumons ces diverses operations.

Après avoir fait choix d’un intervalle Aa, d'après les principes énoncés plus haut, et avoir exprimé en rapport d’arc aa rayon cette quantité qui répondra à un petit nombre de degrés tel que a®, 3® ou 4't on disposera' un tableau par colonnes verticales en tète desquelles on écrira les diverses valeurs de a qui seront équi-

dutante.s; deux lignes horizontales seront réservées pour inscrire les valeurs de y’ et x’’(celle5 de ces valeu^ que l’on connaît tout d'abord répondent à a =o, cllçs sont A' == A -t- e et zéro); ou écrira ensuite les logarithmes de sina et cosa, puis de sin - Aaj et cos ^a-l- - Aaj : au moyen des valeurs inscrites dans la première colonne verticale, on calculera p' par la formide {**'), et - Ay'

par la formule («’); il sera facile ensuite de calculer p* H- - Ap' par la formule (<”), et les équations [r”) feront connaître A y” et Ax". On Inscrira ces diverses valeurs au fur et à mesure; puis, en ajoutant Ay' à la valeur de y' inscrite en tète de la colonne, et de même Ax' à i', on aura les valeurs de y" et x’ qui devront être inscrites en tête de la colonne suivante, F>a vérification des calculs contenus dans deux colonnes vfrticales consécutives s'obtiendra en prenant la moyenne arithmétique des deux valeurs de p',

et comparant cette moyenne à la valeur de p' ^ Ap' qui répond à la première des deux colonnes. Si les calculs sont exacts, ces deux résultats devront être sensiblement égaux.

. On continuera de la sorte jusqu’à ce qu’on ait dépassé les valeurs de y', et x', , dont l’une aura été employée dans le calcul dos formules (s*), et l’autre en sera résultée. Par interpolation, on pourra déduire des nombres contenus dans le tableau, la valeur de x’ correspondante à y' = y',; et, si l’on a bien opéré, cette valeur devra coïncider avec x',, sauf quelqift légère différence provenant de l’accumulation des erreurs dues aux termes du troisième ordre qu’on a négligés , en supposant que Aa ait été pris assez petit.

Les calculs étant vérifiés, on pourra compléter le tableau par la détermination des coordonnées de l’intrados réel et de l’extrados et des épaisseurs.

Le calcul des coordonnées de f extrados se fera par les formules

y = y" — € cosa.

12’i Sim L•ÉTABL1SSEME^T

La 'distance des deux intrados, suivant la normale à l'intrados

iictif, est donnée par la double (brmule .

If , I r’ ,

On en déduit, pour les ordonnées et abscis^s Y et X de l’intrados réel, les deux expressions

\ -H a Æ cos*, X = x' — 2 S sin».

Enfin les épaisseurs seront données par la formule ' s = e -f- a J.

(ies divers calculs sont de la plus grande simpbeité , et les valeurs obtenues étant réunies aux précédentes, il en résultera un ensemble propre à représenter complètement la forme et les dimensions de l’arche parvenue à son état permanent. Le problème que nous nous étions posé se trouve dès lors complètement résolu sotis le rapport analytique et soils celui des applications numériques : quelques mots nous sulüront pour indiquer fusage qu'on peut faire des procédés graphiques, dans le but d’éviter l’emploi des fonnules(/), quand on n’a pas en vue une exactitude supérieure à celle que fon peut obtenir en ayant recours aux tracés.

SOU'.TION ni- rSOBLÈMF. «U MOTE.V DU raOCBDÎS GSAPHIQllES.

3ü. La solution, que nous allons donner dépend de la construction de la courbe intrados au moyen de son rayon de courbm-e. Il n’entre pas dans notre intention d’expliquer ici comment on trace une courbe dont le rayon de coiu-bure est donné en fonction des coordonnées; chacun sait comment on peut remplacer un petit arc de la courbe par un arc de cercle d’une petite amplitude décrit avec le rayon de courbure correspondant au point milieu de cet arc. Nous renverrons, quant aux précautions à prendre lorsqu’on donne aux arcs une certaine amplitude, à ce que nous avons

dil sur ce sujet, dsns le troisième article de notre Théorie de l'équilibre des voûtes, S xxxvi. Pour que les procédés indiqués dans cet article s'appliquent au cas actuel , il nous sulTu-a de donner une construction du rayon de courbure : nous transformerons son ptpütion (w), en posant

, If 4 f’ . .

lang^=î— -, .«=.(5-.)-. b = ^e, •

et l'équation (ui) deviendra

— a CO»

Pourfonstruire cette expression, avant mené deux axes OX , OV,

I2f) • SUR L'ÉTABLISSEMENT

l'un faorixontal, l'autre vertical, on fixera lé sommet de l'intrados sur l'axe des y, k la distance OS = /<" = A -f- <; par le point S on mènera la droite SB faisant l'angle BS Y = |S; on prendra ensuite sur le prolongement de OX une distance OQ == “ 9> sur

OV, OQ'= q' : cette partie des constructions servira pour tous

les rayons de courbure. Nous supposerons, pour plus de généralité, la construction de l'intrados fictif parvenue en un point I par lequel est menée la normale IN. Prenons sur cette normale les distances 11' = a, vers l'extrados; 11' = 6, dans le sens opposé. Projetons le.s trois points 1, 1', T sur l'axe des y, et soient P, P’, P leurs projection^ nous aurons OP=y', PP' = a cos«, PP’ = b cosa, et, jîSr *te, *

OF = y'-|-6cQS«.

Actuellement, prolongeons la droite 1 P jusqu’à ^sa rencontre avec la droite BS en L, nous auroas PL = {y' — A') tangjS; rabattons le point L en L' sur la droite O Y, de sorte qu'on ait PL'=PTJ, il viendra ’ '

FL' = db [(y' — .A') tangjS — a cosa],

suivant que l’on aura PL' ^ FF : pour former le numérateur de

la fraction qui multiplie dans la valeur de p',. il reste à

ajouter avec le signe convenable la ({uantité ± PL' à q', ce qui se fera en transportant parallèlement à elle-même la droite P'L' en Q'p, de façon que le point L' tombe en Q', et le point P' en // qui devra être situé par rapport à Q' du même côté que P' par rapport à L'. De cette manière, on aura

0p[ = </’-+- (jr* — A') tang^< — a cosa.

Le rayon de courbure s'exprimera au moyen des lignes que l’on vient d<^ construire, et l'on aura

Pour éviter la construction de lignes de grandes dimensions dans le sens des x, ce qui obligerait à donner à l'épi^e de grandes dimensions à la fois dans le sens des x et dans celui des y, nous rabattrons le point P en P* sur le prolongement de l’axe des x, de sorte que l’on ait O P = O P. Or, si nous joignons P/,' , et que nous menions QR parallèle à P p', il eat facile de voir que l'on aura OR = p', car les triangles semblables OQR, OP’p' donnent la relation

ÔH Üp

TSTT

qui coïncide avec l’équation précédente. La position C du centre (Te courbure s’obtiendra ensuite, en portant sur la ■normale, de I. en C, la di.slance IC = OR. •

Cette construction du rayon de courbure de l’intrados fictif donnera le moyen de construire en même temps l’extrados, puisque ces courbes sont parallèles et distantes de la quantité e. Quant à l’intrados réel, il sera facilement donné par la construction des ^épaisseurs dont l’expression (y) est , ' ‘ .

Kn effet, prenons sur l’axe des x la distance OE' = c, et menons par le point E' une droite E'E', parallèle à O Y; menons ensuite par le même point E' une afttre droite .E'E' faisant avec la pre-

niière un angle dont la tangente soit 4— ou 4 ‘ ; l’abscisse PJ, ® .. .. " . 3

du point J de la droite E’E' ayant y" pour ordonnée, sera la valeur de l’épaisseur t correspondante au plan de joint qui se projette en IN. Si donc on fait ÎE =’«, et que l’on poite ensuite de E on i la distance ?!■= e, le point.! ainsi déterminé appartiendra à l’intrados réel. • ,

Il ne Sera peut-éti-e pas sans intérêt d’indiquer par une ligure , la disposition qu’affectent l’extrados et l’intiados fictif construite par le procédé qai vient d’étre indiqué, et dans l’Iiypotbèse i = i .

128 • . S(îR L'ÉTABLrSSEMEÜT

La Ggure ci-jointe rend sensibies les particularilés de la disposition dont il «èagit: • t

31 . Voici maintenant l'usage que l'on pourra faire du tracé de l'intrados au moyen du rayon de courbure, pour la détermination des constantes (n°* 22 et suivants), lorsqu'on voudra obtenir leurs valeurs approchées, sans avoir recours aux formules (V), ou qu'on pourra s’en tenir é l'exactitude doutées procédés graphiques sont susceptibles. On déduira des considérations relatives aux limites de e exposées ‘n“ 25 et 17, une première valeur approchée de cette inconnue. L'équation (e"), n* 2^1, donnera p, en fonction de l'arbitraire p, dans le cas des arches incomplèles, et q sc déduira de la relation q' = 3 ^ déjà plusieurs fois mentionnée. Dans le cas des arches en anse de panier, la quantité q devra être tirée de l'équation n* 26. Au moyen de e ét y, il sera possible de construire l'intrados réel, et si l'on a préalahiemeot tracé une droite parallèle à l'axe des x, A U distanqe / au-dessous du

ÜE^ ARCHES DE P&NT J2ü

somoiel de cet intrados « on const|itera si cette droite rencontre la eourbe à une distance de l’axe des y égale à la deoii-ouvertiire QU différente de celle-ci. Dans' le premier cas, la valeur de e d'où l'on-sera parti sera la valeur cherchée; dans le second, il faudra recommencer le tracé en adoptant une valeur de e différente i de la première, et appliquer pour la correction» de cette valeur l'une des méthodes dont il a été question i la fin du n° 24. U est claiique le dernier tracé oorrespoitdant à la valeur de e.qui donne la demi-ouverture ou abscisse g, pour. une flèche f ou une ordonnée égale à A -t- e, -ÿ- /, prés«ite la solution graphique du problème qui consiste.à déterminer la forme entière de l'intrados et de l'extrados, puis les inclinaisons des plans de joint et les rayons de «xjiirbure. Dans le tracé définitif comme dans les tracés préliminaires, la construction des courbei» se trouve ramenée à celle d'aro de cercle de plus ou moins d’étendue, ainsi que nousd'avons annoncé dans le i?* 1.

On pourra vérifier l'exactitude des tracés successifs ou du tracé définitif dans le cas des arches incomplètes, en calculant l'angle extrême. *, par la formule'” [m"), où y", doit avoir la valeur donnée par l'équation (iv* ), et comparant cet angle à celui donné par le tracé; ces angles doivent coïncider, quelque fausse que soit l'hypothèse sur la valeur de e. Dans le cas des arches en anse de panier, si l’on mène une droite parallèle à l’axe des x à une distance égale à f au-dessous du sommet de l'intrados réel, il faudra que la normale au même intrados menée par le point d'intersection de la droite et de l’intrados coïncida avec cette même droite. ’’

LOMP.4RAISON ORS MICHBS ETABLIBS SÜIVABT LES PEIIfCIPES PEÉCÉOEKIS, tVKC r.gl.LKS DONT L’ISTSADOS Pflisstns LIS FOSMSS Al'JOVRD>Hrl BN USAGE.

3*2. Ayant effectué divers tracés cfarches incomplètes , conformément à la théorie que nous venons d’exposer, nous avons coni- , paré ces tracés à ceux fournis par des intrados ayant en réalité la forme d'arcs de cercle , et asstjÿetlis aux mêmes conditions rela-

SÜK L'ÉTABLISSEMENT

tives à la flèche et à l'ouverture que les précédents. Les voûtes en arc de cercle présentent, ainsi que Cela doit être, moins de convexité vers les reins que les intrados déduits de notre théorie , et il semble, au premier abord, qu’il ne doive y avoir aucun inetmvénient à s’en tenir à l’emploi de l’arc de cercle, à cause de la facilité de sa construction. Oit tomberait néanmoins dans une grave erreur en admettant cette conséquence. En effet, si-, comme il est vrai, l’arc de cercle et la courbe’ théorique, qui coïncident au .sommet et aux naissances, laissent entre eux un assez faible intervalle vers les reins, on admettra aisément qu’en remplissant cet intervalle , c'est-é-dire en passant de l’intrados indiqué par la théorie à l’arc de cercle, on n’ajoutera pas sensiblement à la charge totale de l’arche, et que dès lors la situation de la résidtante des pressions restera sensiblement la même que dans le premier ras. Cette résultante passera vers le milieu des joints qui répondent à l'appareil théorique. Or supposons qu’en substituant l’appareil en arc de cercle à ce dernier, on conserve néanmoins les mêmes épaisseurs, ou encore, des épaisseurs constantes égales à celles qui ont lieu aux naissances, il arrivera que vers le tiers de la distance de celles-ci au sommet, à l’endroit du plus grand écart que présentent les deux courbes, les points qui correspondaient au milieu des anciennes épaisseurs se «trouveront plus voisins du nouvel extra-

dos, au point de n’en être éloignés q*u^ du j ou <îu ^ de l’épaisseur totale : la résultante des pressions s’approchera donc d’autant de ce nouvel extrados, et la distribution des pressions dans chaque joint se trouvera considérablement modifiée. On peut facilement reconnaître que l’addition de matière prpvenant du passage de la courbe théorique à l’arc de cercle, doit avoir pour efl'et une augmentation de la charge générale de la voûte, si la différence de convexité est notable, et qu’il en doit résulter une plusgi'ande convexité dans la courbe de la résullanle des pressions; celle-ci doit donc en réalité se rapprocher plus du nouvel extrados que s’il n’y , avait aucune augmentation de charge. Admettons seulement qu’elle

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DES AHtHES DE PUNT. ' * 131.

s'cn rapproche en déCni^vc d'une quantité égide au tiers (*) de l'épaisseur du voussoir^ la pression totale dans le joint n'ayant pu qu'augmenter, il en résultera que la pression par unité de surface deviendra au moins double de celle primitive qui était uniforme : or, si la pression primitive était déjà égale à la limite des pressions . <^'on peut faire supporter sans inconvénient aux voussoirs, il arrivera qyo ccuai-ci ne seront plus capables de résister à l'artiou de forces dont les i^ensités ont été doublées; de là naîtront des phénomènes plus ou moins prononcés de rupture par écrasement. . et qui pourront compromettre gravement .la stabilité de la- cons- ' truction. Inversement, on conclura de ces considérations, que si des arches en arc de cercle présenteol toute la stabilité <lésirable , on pourrait leur substituer des archesjètablies suivant nus prin^ cipes, et dans lesquelles les pressions maximum par unité de sur- ‘ face se trouvant réduites de moitié, par exemple, il serait facile de réduire en même temps les épaisseurs, et, par suite, les frais de construction; d'tme quantité .notable. •

Eniin nous ajouterons que les mêmes considérations s'appliquent aux arches en anse de panier construites d'apiés des procédés qui donnent à l'intrados une forme plu.s ou moins voisine de celle des ellipses. Toutes ces courbes présentent, comme l'aii: de cercle, moins de convexité vers les reins que celles que nous proposons. l,a deuxième partie de ce mémoire sera accompagnée d'épures qui présenteront la compvaison des profils circulaires ou eUiptiques avec ceux dont nous avons exposé la théorie.',,^

■- - 1 - ; S-. , itjr . —

(*) En M bftMnt sur le prinçipe asses généralement athnta ac U iMporUoiuialilé des prorondeurt dtmprMsion aux intanaités des preseioiis. on dénranlre ee rSauhal . bien connu t que si deux corps prismatiqites sonl an contact aaixant une &ce plane, et qu'on vieanc t les soumctlrc t des pressions dont la rêsollaiHe perpendiculaire à celte face, et sititee'dans un plan qui la partage sjnteiriquenieni, passe à une dislaucc d'une arête. épit au tiers de U distance de celte arête à celle oppoaés , la pr^wTn par unilê de suriace, vers la première, s'élèxara an double de la prttsion moyenne, tandis qu'eUe dèeroilra jusqu'à dexeuir uuHe vers l'arête opposée.

SUR L'Éf'ABDSSKUËNT

DEl'XIÊME PARTIE.

1 33 . La deukièine piulie de notre traTail diffère, à quelque.** égards, du mémoire qui a été présenté à l’Académie des Sciences dans la séance du >4 décembre i84d, et sur lequel un rapport a été fait dans la séance du 36 octobre i 85 a. *

üe mémoire, dans lequel nous avions restreint nos formules au CW ordinaire où les noatérianx qui forment le massif peuvent être oonsidéréa comme présentant sensiblement la même densité que (les voussoirs, renfermait divers exemples de l'application de ces fonnuies par voie de tltonnements, au cas des arches incomplètes dites en arc de cercle, et des Tables à double entrée pour le cas des arches complètes ou rn anse de panier, tables qui dispensaient if effectuer les calculs par tétonnementS' dont il vient d'ètre ques* ' lion pour le cas dc« autres arches. Nous avions prolité de la facilité que nous offraient cas tables pour nous livrer è l'examen d'un Wfes grand nombre d'arches en taue de pnnier -construites depuis longtemps. Le mémoire était suivi d’une applicabon de la théorie générale, aq cas où la chai^ qui s’élève au-dessus de la clef est . très-grande , et nous avions choisi pour exemfdc celui que nous offre l'appareil connu, dans l'art des constructions, sous le nom de peitfvil. •

. Dans leur rapport, MM. les (xHnmisSaires ont exprimé le désir que des tables ^fussent aussi construites pour abréger les calculs relatifs à l'établissement de.s arches dites en arc.de cercle. . S.\xmoment où l'impression, de notre mémoire a été décidée, nous avons songé sérieusement è nous rendre au vœu exprimé par la Commission, et à combler ain.si une lacune que nous regretti'on.s noiusmeute de laisser daus uotre travaiL' .... - .

Après un mûr examen , noos avons reconnu que le problème relatif aux arches incomplètes, qui nécessiterait la construction de tables à triple entrée, si l'on tenait à conserver les données et

inconnues que nofts avions introduites dan* la première partie de notre mémoire et dans le mémoire présenté en dernier lieu . n’exige que le calcul de tables à double eDtrée,' si l'on exclut les termes du deuxième ordre ou dépendants du carré des ■ épaisseurs, . et que l'on .substitue aux données et aux inconnues d’autres quantités. (Par exemple, à l’égard dès données, il convient de substituer la quantité A' t= é é à la donnée h.) De cette manière, on n'aurait^ il est vrai, que des valeurs approchées des inconnues, et qui conviendraient dans les cas les plus ordinaires; mais on aperçoit la possibibtc de construire ime nouvelle table A double entrée, d’une petite étendue, qui fournisse la correction de la valcur'de l'inconnue principale. Le même ordre d'idées s’applique ail cas des arches en anse de panier, et In construction d'une table k simple entrée est alors suffisante. Théoriquement, la solution déduite de cette table exige une correction; mais on peut s’a»' ^iirer que, dans les circonstances les plus défavorables, la coi^ rection qui porterait sur la düTérence de niveau du sommet de l’intrados ou des naissances avec' la chaussée, dépasserait'^ peine un millimètre, et que, dans les limites ordinaires de la pratique, la correction qui resterait presque toujours au-dessous de cette quantité, serait toujours négligeable : en sorte que la table relative aux arches en anse de panier peut être considérée comme donnant des solutions exactes au point de vue pratique. Cette table, d'un usage très-simple, remplace la table à double entrée que nous avions construite tout d’abord. Quant è la transformation que notis faisons .subir aux données, elle est telle que l’une ou l’autre arbitrairement, des deux quantités h et p,, peut toujours être donnée a pnun. ^ ’ • — • .'•i '

Nous exposerons dans cotte deuxième prtie les principes qiii^ nous ont guidé dans la construction des tables pour les deux espèces d’arches dont nous traitons, et nous insérerons cès tables à la lin du mémoire. Comme* elles dispensent d’effectuer, par voie de tâtonnements, les calculs ou tracés qui seraient indispensables sans leur secours, nous ne donnerons point d'exemple de ce genre.

iS.

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