COI

V I — -cosa* —

)4li - SUR L’ÉTABLrSSEMENT’ '

or,' M i’on néglige les termes du quatrième ordre, eHe se i*éduira à

cosa = cos» — J - 8in*« : . .

on en déduit aisément ^

sin (a — a ) = T- 7^ sinot •

Cette équation, jointe à celle qui donne l’angle »' par le sinus de sa moitié, sera d'un emploi jdus commode que les formules précédentes, pour calculer l’angle ».

L’interprétation géométrique de cette relation entre les angles » et »' est facile. Déterminons, en effet, 1’angle‘des intrados réel et

V «r • d.iè I e* j t» » • / i

iictil; son expression est — vertu de 1 équation (x):

or, CD négligeant les termes du troisième ordre , cette expression coïncide avec la valeur de » — a! donnée par l’équation précédente. Il eu résulte que l’angle »' est l’angle que ferait avec l’axe des X la tangente à une courbe dont les éléments seraient symétriques avec ceux de l'intrados réel par rapport à la tangente à l’intrados fictif.

Avant d’aller plus loin, il est indispensable de résumer les relations que nous venons d’obtenir; nous y joindrons une relation nouvelle en posant C = 4Q*. Q* étant ime quantité qui nous • servira dans le calcul des coordonnées par voie de différence. Pour ' éviter le recours à la première partie du mémoire, nous reproduirons les natations.

luisuiis DES FOSMILKS SIUPLirlÉES POCE LE CAS OÔ LE MASSIF ET LA VOÔTE* SOKT DE MÊME DESSITÉ.

Notations.

36. L’axe des y est vertical et passe par le sommet de l’arche; l’axe des x est horizontal et situé dans im plan parallèle au plan des tètes, qui est élevé au-dessus du plan tangent à l’extrados d’une quantité h représentant la hauteur d’une couche de matériaux

de même densité que ie inassU' et dont le poids serait égal à celui des couches de deosilés diverses qui surchargent la voùt^i.^

• Nous désignons par: t * ./ ••

A 4a hauteur de la charge qui s’élève au-dessus de la def réduite à la densité du massif, comme il vient d' être dit. Ai sorte que II désigne l'ordonnée du sommet de l'eatrados; <

e l’épaisseur ficU va. de la voûte ou la distance constante .entre r«atrados>et l'intrados fictif, mesurée suivant la normale commune à ces deu» courbes; * r ' * - - *

A' l’ordonnée du sommet de l’intrados fictif; ’ *

x', y et P les coordonnées et le rayon de courbure, de l’extrados;

x’, y“- et p' les coordonnées du point de l’intrados fictif situé sur la bormale à l’extrados menée par le point (x', /); et le rayon de courbure de l’intsadlE fictif, au point (x', y);

/- X, T les cootVonnées du. point de Fintrados réel situé sur la même normale;

a l’angle de cotte normale avec l’axe des y ou du plan de joint passant par le point (x', y') avee4a verticale;,

si' on angle auxiliaire très-peu différent de a, et dont la significitlon géométrique a été donnée à la fin du numéro précédent.

e l’épaisseur réelle, ou la distance comprise entre le point (x', y') de l'extrados et le point (X,Y) de Fintrados réel;

' S la distance comprise entre le milieu du joint réel et le milieu .de l'épaisseur fictive, en sorte que 3^ désigne la distance des points (x', y'] de l’intrados fictif et (X, Y] de l’intrados réel;

P la hauteur d’une colonne prismatique de la matière des voussoirs, dont le poids produirait sur une base horizontale la pression qui a lieu dans le plan normal à Fextrados mené par le point

A la dimension de l'arche dans le sens perpendiculaire au pian des têtes ou parallèle aux génératrices;

■w le poids de l’unité de volume de la matière des voussoirs et du massif; -, . . ' . • . - '

I&6 ’ SUR L ÈTABLlSSEME.\t'

T et Ma pression totale et la pression par onitè de surface qui ont lieu/lans le plan normal à l'extrados mené 'par le point (z', ÿ);

l) la poussée horizontale qui résulte des actions .exercées par le massif sur la face verticale de la-cülée qui passe' par l'aréte . infériedrc do l’extrados;

B l’ordonnée du point d’application de cette résultante; ' '

' V le volume des matériaux de la demi-arche et du massif limité dans le sens horizontal par des plans verticaux menés par le sommet et le point inférietur de l’extrados parallèlement aux généra^ Iriccs ; *■ - • ' • . .

y la flèche de l'arche , ou la montée ; '

g la demi-ouverture.

• Les indices o et i serviront à désigner les valeurs particulières que prennent les diverses variables au sommet de la voûte- et aux naissances (à l’exception de l’indice #qui affecte les lettres et ^ dans les expressions des modules et amplitudes des fonctions elliptiques). ^ ~

Voici maintenant les relations dont nous aurons à faire usage pour calculer l’abscisse d’un point de l’intrados, fictif en fonction' de l’ordonnée , déterminer la situation de la normée et l’intensité des pressions: . , '

h Ti- e, . ■ (»)

aep,. (a)

Ki7

sin(a5, —

*>n5 = pV/ —

x'= A' log cot ^ — (\/B+\/C) cos5, +(\/B+V/B— /’) cos(a S)| ( 4)

(Pour plus de clarté, on a supprimé les doubles signes, ici et dans les expressions suivantes; on pourrait toujours les rétablir au besoin, en se rappelant que les courbes Intrados et extvdos sont symétriques par rapport à l’axe des y : tout se rapporte ainsi à la partie de l’arche située du côté des x positifs.)

sin a

cosa = —

tang* =

VÜ^

on peut aussi calculer l’angle a au moyen des deiu formules

8ina .

> (*) U arrive souvent que le deuxième et le troisième terme du seoood membre sont peu différents : il &ut alors calculer ces termes avec une figure de plus que le premier, à moins qu*on ne remplace oes deux termes par le suivant, que Ton obtient après quelques transformations,

y* cos* (*

VB4-y/B-/’ \ I

>VC /»•(>{, — î) -I- CO* {,)

(^anl au dcmirr, U ot presque intonsible pratiquement; malgré cela, non» en avons tenu compte «Uns le calcul des tables dont il sera queation ci-apréa.

V = y' H- ai cosa, y' =y — e«osa,

X = x' — ai sina, x' = x’ c sina.

Les ordonnées des |K>ints extrêmes de l'intrados fictif sont

J, — h", y", = / -I- A' H- a i, — ai, cosa,; (lo)

celles des points extrêmes de l'intrados réel sont

Y.=: A*-4-ai., Y,=/-+-A'H-ai,; (i i)

et la valeur de la demi-ouverture est

j = X, = x', — ai, sina,. (la)

Les relations entre les pressions qui ont lieu dans les plans de joint extrêmes données par les équations (l*) et («') sont enfin

fX, — /-T-.

/l/t-vO 3 (^ '

Nous n'avons point à dire ici conynent on devra se servir de ces formules, et pratiquer, suivant le besoin, les éliminations. En traitant de la construction des tables destinées à éviter les calcul.s par tâtonnements, nous montrerons, dans les numéros suivants, comment nous avons fait usage de ces formules; mais nous devions les rassembler tout’ d'abord.

DE IA COSSTnrcTION DK TABLES AmXOPRIÉES X LA DKTEKMINATIO.V DE.S INCOSMKA.

OASS LE CAS DES ARCHES ISCOHPLÈTKS, DITES E.1 AÂC DE CXMCLt.

37. De ce qui a élé exposé au n“ 24, il résulte que si Ton se donne, dans le cas des arches incomplètes, les quantités /, g.

/<, |U, ou fi, et I, et que l’ou attribue à l'épaisseur e une valeur hypotliétique, ou pourra calculer la valeur de g en fonction det< cinq autres quantités, à l’aide des formules générales. Comme nous avons fait i = i , la valeur de g n’est plus fonction , au moyen des équations du numéro précédent, que de quatre variables indépendantes; mais l'homogénéité de nos formules permet de substituer aisément la recberchc des rapports des variables à la recherche de leurs’ valeurs absolues ('), en sorte que le problème serait ramené à celui de la construction de tables à triple eqtrée , problème à peu près inabordable pratiquement. Or la difficulté qui se présente ici peut être levée en substituant à la donnée A, l’ordonnée Y, du sommet de l'intrados. Les problèmes qui se présentent dans la construction des chemins de fer comportent plutôt, comme données relatives aux arches de pont, les diflerences de niveau de leurs diverses parties, que l’épaissaur rigoureusement déterminée des couches de matériaux qui s'élèvent audessus du sommet de l’extrados.

Admettant donc la quantité Y, comme l’une des données du problème, nous remarquerons que, si l'on fait abstraction des termes du deuxième ordre ou qui ont en facteur le carré de l’épaisseur e, et que, de plus, on prenne pour inconnue la quantité

Q'ou -C, l'épaisseur e disparaîtra complètement des équations; en sorte que g sera seulement fonction de f. Y, et de finconnue Q*.

(’) Nous proCicroDs de U circoosUnce pour présenter une remarque qui eût peutêtre été mieux placée ailleurs , et que le lecteur ouni sans doute faite. Les relations que nous avons établies, ajrant lieu entre des rapporta de grandeurs linéaires, restent les mémM dmé les areisM da pro61a semMaUes, od les longueurs homologues sont entre dies dans nn même m^poct ; il l'ensnil que, dans les arches sentblahlcs , 1s quantité p , qui détermine les pressions par unité superficielle entre les voussoirs en des points semblablement placés , est proportionnelle aux dimensions linéaires bomolô^as des arches que l'on compare. La pressicn totale par unité de longueur mesurée paraUdement aux génératrioei de l'intradoo, qui eat représentée pu pe, et détermine la pousaée dans le joint infièrieur quand p pmd la valeur particulière p, , ae trouve , par suite , proportioaneile au carré des dimensions homolognes.

En effet, se donnant Q*. Y, et f, les équations (i i) et (lo) donnent A' = Y, et j", = /-H f’, aux termes près du deuxième ordre ; les équations (3) donnent C = 4 0’. B = C -t- A’’; et, en faisant y' — /, dans les équations (4), celles-ci permettent d’obtenir la valeur de x', qui, en vertu de (i a), est égale à ÿ, aux termes près du deuxième ordre. Introduisant les rapports de lignes au lieu de

leurs valeurs absolues, il arrive que -, par exemple, n’est plus

fonction que de y et de^,. et que la solution approchée du

problème se trouve dépendre de la construction de tables à douljle entrée seulement.

En suivant la marche qui vient d'etre indiquée, nous avons calcnlé effectivement des tables qui présentent la suite des valeurs

de - relatives à des valeurs fixes de et à des valeurs variables

du rapport dix tables de ce genre ont été calculées pour des va- Y. '

leurs de — égales à 0,4; o,5; o,6;. . . . ; i ,a ; i ,3. Or, la recbcrcbc de la valeur de ^ en fonction de y et de ^ à l’aide de ces tables

eût été pénible; il eût fallu même en augmenter très-notablement l’étendue pour les adapter à cet usage. Pour obvier à ces inconvénients, nous avons pris le parti de reloamer chacime des dix tables, c’est-à-dire de calculer par voie d'interpolation, à l’aide des tables primitives, de nouvelles tables qui donnent directement la

valeur de y en fonction de y et de j. Nous avons formé de cette

manière la première des tables à double entrée que l’on trouvera à la fin de ce mémoire, sous le titre de Table /. L’étendue que

aux exigences de l’art des constructions. Nous ne présenterons point ici' les détails relatifs au calcul des tables; disons seulement que nous avons fait usage des formules d'intercalation mentionnées, à propos du calcul des épbémérides des planètes, dans un mémoire sur la détermination de leurs orbites, inséré dans la Connaissance des Temps pour i85a.

’ nous lui avons donnée nous paraît répondre

DES AHCHES DE PONT La Tablo I donne la valeur approchée de et, par suite, celle de Q', aux termes près du deuxième ordre. Cette première approximation permet de calculer la valeur des termes négligé.s, et d’en tenir compte ensuite. En effet , ces termes étant du deuxième ordre ou dépendants du carré de e, il suffit d'obtenir la valeur approximative de e en fonction des données. A cet égard , se donnant pi, 'par exemple, la deuxième équation (i3] fait 'connaître p,, et, si l’on élimine q' entre les équations (a) et (3), il vient

d’où

3 q* il'

équation dans laquelle on pourrait négbger j e au dénominateur. La valeur trouvée de e, |>our être admissible, doit, en vertu de l’équation ( i ), donner une valeur h = h’ — e qui ne soit pas négative , et qui soit au moins égale à celle réclamée par l’expérience.

Si,. au lieu de se donner p^, on se donnait h, il viendrait par l’équadon (i), , . ,

la valeur de p, s’en déduirait :

* jc, (i6j

, rv» ^ ‘- i-a Sitiltq.v: : - r

et la première équation ( 1 3) donnerait celle de pi, ; oette dernière devrait être compatible avec la résistance des matériaux employés, pour que la solution fût admissible. ‘

Dans les deux cas, il est donc possible d’obtenir tme valeur approchée de e; nous allons dire actuellement quel usage il convient d’en faire, pour corriger la valeur de Q* déduite des tables.

152 SUR L'ÉTABLISSEME\T

Enuniéronsles quantités négligées dans le calcul de laTable I. I® Nous avons fait h" = Y,; il résulte de la première équation (i t) que h’ doit recevoir la correction

2° Nous avons pris y", = / -J- A'; la deuxieme équation (to) montre que l'on doit appliquer i y', la correction

S^y', — h' -h Q S, — 2iîi cosa,.

ou simplement

J^y", r= — 2 S, cosa, ,

en vertu de la relation précédente.

3 “ Le terme en e* de la valeur de A' ayant été négligé, il s’ensuit que x*, doit subir la correction- spéciale

log eot —

3 \/b-4-vc

4 “ Nous avons fait simplement y = x',; il résulte de l’équation ( 1 2) que g doit recevoir la correction <Nx', — 2 S, sina, : comme, d’autre part, la valeur de g ne doit pas changer, on a cette équation de condition,

S^x', — 2 lî, sina, = o.

dans laquelle nous devons regarder «bx*, comme étant la variation de x', qui résulte des trois corrections que nous venons d’indiquer, et d’une correction inconnue J^(Q') ou J^C qu’il s’agit de déterminer : x", étant donc considéré conune fonction de A”, y", et G, nous aurons

-t- ( 9 ) J\A' -H ^ ^ J^C — 2i, sinsi. =0:

dans celle équalion, désigne la dérivée partielle de a;', par rapport à h', obtenue eu faisant abstraction de la variation que x", subit par suite de ce que varie avec A'; le terme ■— ^y'i oomjprend cette variation.

Substituant les valeurs obtenues plus haut de />A' et

et observant que l’on a ^ J^C = 4 (Q*); il viendra

lof eot - f,

- ; «• - +4 t JV(V) = O.

Nous avons d'ailleurs, première équation (8),

ou, en négligeant les quantités du troisième ordre, équation (3),

En négligeant les quantités du deuxième ordre dans la première équation (5), ce qui ne donnera lieu qu’â des erreurs du quatrième dans le résidtat, on aura encore

Ciin«, y.co.(je.-<) VA-./.’''

Substituant ces valeurs dans l’équation de condition, on en tirera

COt “

“'C ' ' (v'B-+-VC (-\ilAy ,ca»(>6 — f)VB— y ) '

Pour faire usage de celle formule, il reste à déterminer les valeurs des deux dérivées et obtenir de

deux manières différentes.

En premier lieu, si l’on clTcctue les différentiatioas à l’aide des expressions du n" 3f), cl que l’on néglige la variation du dernier terme de x' , on parvient, après des trtmsformalions que nous nous dispenserons de reproduire , aux deux valeurs suivantes :

(— )=A logeot-s,— -r-p — v'B— >,

' ■'* / IV/B-t-v'Cl' » L"“f. ' J ^ —

i/,'V'BcM(a{. — f)

-!i' tang(a I. — S) -H A'

co»(aî, — f) I

VB-/," VB

-[cos$, — cos (a 5, — S)]|,

6 fi; = 3 log cot i 5. - [-i- - (V/B -t- V'C) sinS.l - îlZlüîÜiiZj'

- - ■-) O . L«»«. '' ' J» Cv'BV/B^,'-

I VB — Vi VL \/B

En second lieu, désignant la 'dérivée partielle de x’, par rapport è A*, il vient, en vertu de ce qui a été dit plus haut,

rfx", / «ix'", \ ^ dy", ' ^ ^ ■

rfT ~ iïpj ^ ■JT’ < V. . \,.:y

ou simplement, - • m «k..

Jk’ J/.’

à cause de i, a' équation (lo). Qr, on a, équation (6),

— vÇTTZTîv/rrTT;’ .

valeur qui donne , en ayant égard aux relations établies au n* .35 ,

et né^geant les termes du deuxième ordre, , .

^ • VB-jr> /,««(»{.-?) '

>/,eo.(aft — f) «VB—

DES AnCHES DE PONT. .155

‘ Mainte’naBt, C o«l 40* étant, en vértu^dii retoamement des' tables, une fonction de.ÿ et Y, ou de x', et h", il vient -

JC J » , JC

pour obtenir la dérivée partielle on doit supposer Q* oti C constant; alors cette équation; en y faisant o, donne

■ JC •

lU', ■ dp'

if

dx\ ' ' ; -

ils ' ^ t

I.a dérivée partielle s'obtiendra psereillement en Taisant = o, et il viendra •

A l’aide de ces diverses valeurs, on tirera de l’équation ( 17 ),.

I5« • SLR L’ÉTABLISSEMENT

Or, les nouvelles dérivées partielles que nous venons d'écrire se idéduisent «rsénient des tables retournées, en prenant les différences de la fonction *uc^ssiveipent dans le sens vertical et dans le sens horiaonlal. et faisant usage de la formule connue

dx

Ax f

qui sert i obtenir la dérivée d'une fonction a réduite en table, au moyen de ses différences Au, A'u,... et de la différence constante Ax de la variable. jL - . , i

Il suffit ici de faire A<r o, i ce qui conduit à prendre lesdifférences de dix en dix ternaes dans le sens vertical, et de ternie en ternhe dans le sens borixontal, poin-'obtenir des valeurs de — — ' et, par suite déJ^Q,*, qui corrigent assex exactement celles de Q*. Lies tables -primitives ou des valeurs de ~ auraient bien pu

donner im'otédiÿtemettt les dérivées partielles mais il nau- , . ' . . , ■ ''àx\ '

rait pas été po.ssiide d’en déduire aisément les dérivée --p, tant

à cause de la divergence de la série des diOé^nces Au, A*u,,.'.î

qu’à cause des limites relatives'à ^ qu’il eût fallu reculer en aug-

mentant démesurément l'étendue de 'ces tables. . ' ' ' .

Nous avons calcolé les tables qui donnent les valeurs de la ^(Q*) '

fonction — - on les trouvera à la suite des tables de la valeur de soüs le titre de Table II. Ayant obtenu une valeur approebée de e’, 'comme il a été dit.au n” 37, on en déduira' aisément i à l’aidç de la -Table 11, la correction ■/'(Q*) à’appbquer à la„v^eur de Q* fotlrnie parla Table 1; et l’on aura,, pu les équations ( 1 1),.

(8) et (3). . . ^

6 ce

.(ai)

Les valeurs corrigées de Qf et h' poiuront être a}q>bquées

au

DigtLiCG 6y ■ÇOogle

caiciii d'une valeur plus exacte de e au moyen de l'une ou de l'autre des formules . (i 4) et (*^)> suivant les caS'Q. Connaissant àictnellcment Q‘,*A*ve et p,,'t’e'niploi d’un petit nombre des formules du n° 36 fournira tout ce qu’il est nécessaire de connaître pour procéder au calad des coordonnées, rayons de cdurbiue, poussées, etc. ' • • ••;

COKSTMICnOR DSS TABI.BS POUR LS CAS DBS ABCBBS COMFL^TBS.'

OC m ÀItU DS PASISS. . ' ■

39. Nous avons vu, n*' 26,'connnent la condition de' la vertioaUté des tangentes extrêmes introduit une équation de condition .entre lès constantes ,' et réduit d’une unité les arbitraires du problème relatif aux arches complètes.' Il est clair, si l'on se reporte aux' considérations q>résentées n* 37, que la substitution de la constante h’ 4 is constante h permettra de ramener la solution du problème 4 la construction d'une table à -simple entrée.' Cest 'ce qui se. vérifiera du reste aisément par le fait même. ^

.. L’équation de condition que nous venons de rappeler est (cTj

' ’** . » * en ébniiaantq* entre celle-ci et la a* équation (3), U vient immédiatement ' ••• ,fi*^ ' *. £ •. ~ . /

(') Noua indiqnrronA un moyen d'éritèr te caioial d« é‘ (Q'J, M d’obtenir, néan-' iDoim oné solution esacte jusipie dans les termes du deuxiênie^ordre. Ce moysa consistcraïl i accepter U valeur approchée de Q\comme exacte, étii en déduire les ndearsde e er^.t procédant ensuite Sn calent des ceordohnées ou aU tracé dé l'intandos, on'e'arrétnrail k l'ordonnée de Tintredosféel; qui répond, soit é la 6èche. 10 ^ à U deqii-ouv.ertare données , et l'on prendrait à U place de l'une d'entre dlea, celle fuunée par' le calcul ou le tracé. A la vérité , ce. ne serait pas la solution du proUéfée pro|ioaé, mais bien celle d'un problème du même genre, dans lequel lés' données diOtreraienI Irésqseu. des données du pryMéine pnmitif. Or il est tré s v a r e ' que 1rs données soient tellement bien fisées'.' qu'on ne puisse leur faite subir, en pra-.. tique, la trésqietite variation qu’entraînerait le mode dé solution qui vient (Tétre

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