I.W SUB L ÉfABLlSSEMENT

équation à laquejie il feut joindre la valeur de obtenue n® 2Ç,

On tire de ceUe-ci. * -

cette valeur permet d’écrire C sous la fcutne ’ ’ , ;

OU

bien

i O* un autre côté, lès équations (lo) et (i i) donoent'

• • • ' ■' ' Y, — 7'i WaJ. cosse,; . ■ • "■ .

’ or observons que a et cosa,' sont des quantités du deuxième . ' ordre; leur produit étant du quairicme, on aura donc, é des

quantités près de cet ordre, •;

' ' V-' ' ». ,' yi. ^ ^ »w* . . , •

' Mainteïiani, il^st évident quo, si Ton se doime l'ordonnée' Y, des ■ ■ naissances,; et l'une des quanülés f et A*, çn pourra, en négligeant . •

les termes du deuxième ordre, obtenir la valeur de x'< à l’aide* dés équations (ad). (à’îijt'ét^S), j<)lÿea i la relation B s=C -H- A'*

■ ^t aux équations (4^, Là de!q|ir«j|tvt||g^ g tirée de ré«pUlit|a (O. - , peut d’ailleurs i’éoÎHVt: ■’-y. HWlf»»

,• ■ '-Oipitizeci by CjO'ogle

DES AilCH^ DE PORT. . 15Ü

elle se Kéduh é j =3 xti,' lorsqu’on nég^gé,lM termes du 'second ,<ordre.'i^à,U quanti^^ est fonction des deux, variables Y^^et ^

ou A’; Cl le rapport -^ë trouve* par suite, être (onction d’une.

seule variable'qui esti^ôû— , suivant que l’on sc donné l’ime

bu l’autre des deux variahlês/ et A'. •. ' / '/

La-Table lU insérée à. la fin de ce niémoire contient, dans une première colonne , la suite des valeurs de. y. et. dans une seconde, les valeurs- correspondantes de Le rapport^ des nombres de la deuxième et de la premiérè colonne est donné dans une troisième colonne. De Cette manière notre table -permet de trouver fune des trois quantités /, g et Y, an moyen des dèux autres. 11 est vrai que, théoriquement * les valeurs tirées de la Table III sont Seulement approximatives i mais nous verrons bientôt qu’en pra-^ ■tique, on peut les considérer 'comme exactes. ' ‘

' Les valeurs de / et h' étant connues,' du moins approximativement, il devient possible de calculer l’épaî^ur «; ert se don- ^nânt Tune ou l’autre des quantités p, et A. , ’

En premier lieu, soit donné jx, : la deuxième équation (i3) fait connaître fi, à l’aide dé fq. 'L’équation (c*) jointe à la relation A =’A" donne ' ' ‘ .

et, & cause de f* = 2 e fl,, on obtient ioimédiatcmenl . ■

■ La valeur de e s’eu déduira en négligeant d’abord le-tenne j e su

' dénora'inateur, et y substituant ensuite sa valeur obtenue par une . première approximation. ‘ ,

On obtiendnit aussi la valeui\dc e sans passer par fi,, au moy«n de là formule ' ^ t

mais, comme la valeur de fi, sert au calcul de g’, il sera préfé- ' raLle d’employer l’équatien (’i6). . '

Quelle que sort, au surplus, celle des’ deux expressions (a 6) et (37) dont on ait Fait usage, la solution trouvée devra, pour être 'admissible, satisfaire & de certaines conditions. Nous ne mentionnerous pas la condition e ^ o, attendu que les valeurs de fi, et ft, seront toujours prises beaucoup plus grandes que y’, et A'; cette condition sera donc toujours remjpbe. Mais il faudra' que l'on art toujours e A*, et, en outre, que la quantité A = k ’ qui èn résultera, ne soit point inférieure à une limite fixée par les conditions particulières A l'établissement de la chaussée. Si ces conditions ne sont Pas reinpbcs, il faudra modifier les données. On diminuera l’épaisseur^e en choisissant des matériaux plus^ résistants.' -, ' ■ « ■ ‘ . - ^

'' £n second lieu, si Ton te donne la. hauteur A de la surcharge, on aura immédiatement ’ . ■ . ‘ ‘ •

Vf' • i,.-'. '■ .* . ■ ' ■

et il faudra s’assurer si la plus grande valeur, de p est compatible avec la nature des matériaux employé». A cet égard, ''on aura par l’équation (a 6), ^ .

et la. première équation (1 3 ] fera connaître ensuite p,. Dans le cas -où la valeur de p,‘ se trouverait être trop forte, U faudrait aug- ' roenter s..et par suite A'.. ^

La valeur de e étant supposée connue au mbms approximatir

V' * -DES AKCHÇS DE 1»0NT- ' MH '

vemmtv'n»tit aypna à rechanter qo«Ue»«orceoUoâ» d«ivent subir les tnconnaçà <&> problèone d4dmtee de la Tabiu ill/ '*'

''' 40. Les vijubies/, Y,', tontra iesqudUes la Table. III établit une dépendance mutuelle, sont au nombre de trois; et ron|teut SC donner deux de ces variables arbitrairement^ ce qui fouruti trois comhinaisoqs distinctes ; mais» la denii.^uvfirture g étant toujours au nombre des données, 'nous^n’iiùroqs à examin^ que les deux Mmbinaisohs'qtû- comprennent des deux systèmes'de données g. Y, et g, ‘ • ' ' ^ • -'y* V *

Première -eombinaitohS—lËlaitl donnés j^et Y,, trouver la coi^ rection de la valeur de f tirée de la Table 14- x.

Les quantités négligées dans la constnictton de cette table sont faciles à rétablir, maintenant que la valeur de e est connue appiroxiiiiativement. Soh,"!»® effet, i^/la correction iticonnuè de /.

1 ° L'équation (a a) a été apjdiiptée en négligeant- tê terme du deuxième ordre- et en faisant usage d’une valeur seidemènt*approchée de/; on aura donc '' >’ ' * .

a* L'équation, (a a bis) donne beii à des corrections du même -^nre; leur Mranae est ■ : ” • ’ ,

. ... ' • . ^ iî' A- ■ , V

3® l.,a valeur île x\ a été 'calculée en négligeant le.lornic, du deuxième ordre contenu dans A';' npus devons dope, en vertu de l'équation (i) èt'de la valeur de A', appliquer à x', la correction

4® Le terme du deuxième ordre ayjmt été négligé dans t’équ»*

l62 ■ • SLR L'ÉTABLISSEMEMT- ' • .

" tiou (3â)ii si nous désignons par la correction de x', qui résulte de celles que nous venons d'indiquer, et que nous obser- . vions que y .doit conserver une .valeur consUntê cl donnée , nous

aurons X ■ : .

Or. X*, peut être considéré coinme une fonction des deux variables A' cl C, données paj Ics^ épations (a^ et (a 3). puisque / n’entre dans x', que par ces variables; et l’équation précédente devient,

'du, en mettant pour (<bx',), S^h“ et <bC leurs. valeurs, . . '

•î\v6-eVC ® cj dC "^4C /*

op en tire

, Vb VVC ■!“ c."" c.dtr t; j dc - .

On peut encore utihser ici Ics'dilléreitccs obtenues en calculant la Table III,* poiu éviter le calcul direct de la dérivée En effet, puisque x", est fônOtTbn de V et C, on' a

et, cOmine K et G sont d’ailleurs fonctions de la seule variable /, •

en vertu des équations (as) et (a 3) privées de leurs termes du deuxième ordre, on a, pour expression de la dérivée totale,

'tis" X dk" ^ dz"i de

1/ Ir 1/ ~dc 1/' ■

ou, en vertu des mêmes équations, '

dk’’

^ valeur de la dérivée partielle qu’on en tire étant portée dans celle de il vient, à cause de h’ = y", — f.

log Ml - {,

If J V B-t-\/C

y, k- dx\ T ~ G~d/

dx’i

~îf

Il est clair que, y’, étant constant, on peut substituer à la déri-

vée la dérivée qui se déduit immédiatement des diffé- ' dL

rences foiuuies par la Table III. Quant à la dérivée nous en

avons donné l’expression, (i8). Cette expression et quelques-imes de celles qui servent à calculer x’, ou g reçoivent des simplifications provenant de la condition particulière aux arches complètes (*) ; nous nous dispenserons de les présenter ici , attendu que

{') Le) qnanlitii fc' et C (si) et (i3), étant privées deleara tennei du deuxième ordre, foumistent aiiément la relation

— ic,

qui permet de timplifier le calcul de x’i et de aea dérivéea partielles , dena le eu dea archea complètea.

16(1 * ' SUR L’ÉTABI.ISSEMENT

nos tables n'ont pas besoin d’ëtre étendues au delà des limites que nous leur avons données, et qué, sauf cette application, l’exposé des formules serait sans objet.

Deuxième combinaison. — Etant donnés f et g, trouver la correction de la valeur de Y, tirée de la Table III. Soit Y, la correction cherebée.

1 ® A cause de y", = Y,, on tire de l’équation (a a)

a® L’équation (a a bis) donne *

<bC = 4/J\Y. -t-5(n-ai')e*.

3® La valeur de r', doit, comme plus haut, recevoir la correction spéciale .

iog cot - f ,