V'B -+- VC

à cause du terme du- deuxième ordr» négligé dans A'.

4° g étant donné , et S't", désignant l’ensemble des corrections que doit subir x',, l’équation (a 5) donne encore ^

Or, x", se trouve être ici fonction des deux variables h’ et C, si l’on conçoit y", remplacé par sa valeur h' -+- /, équation (a a); il s’ensuit que l’équation précédente peut s’écrire

désignant la dérivée partielle de x*, relative à A*, et prise

en faisant abstraction de ce que C dépend implicitement de h". Substituons les valeurs précédentes, il viendra

logcol — f, 3 \ y/B H- v/C

log co« - (,

• J'Y, « VB V'c ^ C V itt" / \ C / JC

dC

Voici maintenant comment on utilisera les différences obtenues dans la constrtiction de la Table III , pour éviter le calcul de la dérivée D’après ce qui a été dit il y*a un instant, on a

on en tire, pour la valeur de la dérivée totale de x", par rapport à h’, puisque cette quantité reste seule variable indépendante ,

Jv'i / Jj'i \ dx\ dC

dk’ [ dk" ) de. dk"'

or, on a

dk- d/, dk-

en vertu des équations (a a éw) et (a a) : il vient donc

= /fl:.

dk- [dk-/^ ^ ^ de ’

et, par suite,

logcot - I,

a A' dx^ f k‘ y*, \ ifx*,

lY, > v/B VC C Ci*’ V cl de

<tr‘,

en mettant j’, à la place de y -1- A*.

Maintenant, soient

•Il

valeurs auxquelles on peut substituer les rapports ~ et Le premier de ces rapports étant une fonction du second considéré comme variable indépendante, qui est donnée par la Table III, on aura

• » • • dix •

et la valeur du coel&cicnt différentiel ^ se déduira des diilérences

successive» de la quantité ^ et de la différence constante des va-

leurs de Mais,/ étant ime constante donnée, on a Y»

(iz

dK = -^dy%;

substituant ces valeurs dans la précédente équation, on en tire /.dx*.=(z.

d'où, à cause de = i,

* dh

dk’

ds

x' — y — ■' <tc

On obtiendrait une expression encore plus simpie de la valeur

de —, en posant

(Les ‘quantités z' et ^ désignent ici les nombres contenus dans la troisième et la première colonne de la Table LU.) Ces relations donnent

dz='-dx„ dî = —

et l’on a,.à cause de dz =

d’où, en vertu de

dk‘

/ di'j ,

dk- dK ~ V J / •

Nous n’avot\s pas fait usage de cette fumiule, parce que la fonction ^ n’était pas encore calculée . quand nous avons entrepris le calcul de la Table V, qui donne la valeur de Y»

Les expressions (3a) et (33) sont, comme on le voit, entièrement fonuces de quantités que l’on peut déduire aisément de la Table 111. Enjoignant l’une ou l’autroà la deuxième équation (i 8),

on a tous les éléments nécessaires pour calculer à l’aide de la formule (3 1 ). ' • '

Les deux formules (3o) et (3 i) ont été appliquées au calcul de.s

deux Tables IV et V, qui donnent, l’une, les valeurs de et

l’autre celles de Y,. Ces deux tables ont été placées à la suite de

168 SUK L'ÉTABLISSEMENT

la Table 111. Nous les avons insérées.dans ce mémoire, non pour en ^ recommander l’usage, mais pour montrer, au contraire, que l’on peut se dispenser d’y recourir, attendu que les corrections que l’on en tire sont tout à fait négligeables dans la pratique, fin effet,

la plus grande valeur de donnée par la Table lV,estM-o,ooo5;

elle se mppôrte à 0,67 ; on en déduit i^/= o,ooo5 — Y,; à cause de e <C A", il vient /•/ <C o,ooo5 — Y, : or, — — 1 — —

est ici égal à o,33, on a donc S'f <Z o,ooo5 (o,33)’ Y,, ou cb / < o,oooo54 Y,. Si l’on suppose, par exemple. Y, = quantité qui n’est pas atteinte dans les constructions modernes, on aura o“,oo 1 . On aurait de meme, par la Table V, avec

ces données, — cb Y, C o“,oo48. Nous ferons observer que ces nombres se rapportent à des surbaissentents inusités : la limite de surbaissement admise dans la pratique est ^ ; encore convient-il

mieux de prendre le surbaissement entre ^ et -, Or le surbaissèment - répond à une valeur de égale 4 . 0,733 environ, d’après

la Table 111; en parlant de ce nombre, let supposant Y, = j 8“,5 , on trouverait J^/ < o”’,ooo 2 6; — cbY, < o*,ooia. Les siu’bai.ssements plus voisins de - donneraient des corrections encore plus faibles. On voit donc que, dans les limites de la pratique, on n’aura pas à craindre de faire une erreur de plus Je 1 millimètre, ou à peu près, sur des différences de niveau qui seront à peine déterminées d’ailleurs à ce degré d’approximation, lorsqu’on se dispensera de corriger les valeurs tirées de la Table 111 (').

(") Si l'on tcnail à appliquer les correcüons de fou Y,, on se servirait, ponrlça ralculer, de nombres fournis par les Tables IV et V, et de la valeur approchée de s oBie'nuc au n* 39 . A l'aide de ta valeur corrigée de f on de Y’, on «olculerait

au besoin U valeur corrigée de A*, par la formule (13] mise sous la forme

on aurait ensuite c par l'équation (36) ou par l'équation (37) jointe A Ta deuxième

PODMIE UE LK VoAtE ET DU MASSIF CONTRE LES CULÉES, INCLINAISON DU DERNIER JOINT SUR LA VERTICALE, VOLUME D'UNE DEMI-ARCUE ET DE LA PARTIE CORRES- PONDANTE DU MASSIF.

41. La réduction des formule.^ du n“ 28 c.st très-simple; iiou.s nous contenterons d’en présenter les résultats, renvoyant à ce numéro pour tout ce qui est relatif ■k l’exposé et à la discussion.

Les équations réduites qui donnent la valeur générale de l'angle a ont déjà été présentées n° 36; nous reproduirons l’expression de la tangente, en y mettant à la place de y“ l’ordonnée^", du point inférieur de l’intrados fictif, et poui- A sa valeur (3) : on aLU"a ainsi , pour déterminer l’angle a, du dernier joint avec la verticale, la formule

UngOL, =

à laquelle on pourra trouver plus commode de substituer les deux suivantes :

sin («, — a',) 1 =

sina',.

(34 bis)

Ces formules serviront particulièrement dans le cas des arches incomplètes, dites en arc de cercle, et ‘la valeur de y', qu’il conviendra d’employer est celle donnée sous la marque (u').

(On évitera l’emploi de ces formules en déduisant l’angle a, par vole d’interpolation, lorsque les calculs ou tracés qui vont être indiqués dans les numéros suivants amont été effectués.)

équation (i3)i et dans le cas de h donné, par la relation a = A* — h. Dûons enlin que les quantités Q*=z:-C etf* 2 =aefi,, néeessairefl pour le calcul des coordon»

nées et le tracé, s'obtiendraient à Taidc des formules (a5] et (i3), si la valeur de ne te trouvait pas déjà déterminéo. ^

Dans le cas des arches complètes ou en anse de panier, on aura simplement

cota, =j.^. (36)

Pour obtenir les diverses coordonnées qui se rapportent au plan de joint extrême, on aura d’abord

puis ensuite

• x\ = g 2 $, sina,, (38)

équation à laquelle on joindra la valeur précédente de y", dans le cas des arches incomplètes; mais, dans le cas des arches complètes, il sera plus court d’employer les valeurs suivantes, tirées des relations obtenues n° 26 :

Les piles ou cidécs sont soumises à l’action des pressions qui ont lieu dans le joint inférieur; la résultante de ces pressions, perpendiculaire au plan de ce joint, est

T, = vsXeft,,

et passe par le point dont les coordonnées sont X, = x", -h - e sino,,

J, = y', — -T e cosa,.

Les composantes horizontale et verticale de T, sont d’ailleurs T, cosût, et T, sina,.

Les culées reçoivent en outre les actions horizontales exercées

par le masaif qu’eUea. encaissent. La résultante de ces actions dépend des ordonnées des-^ints supérieur et inférieur de l'extrados, qui sont ‘ ' . , ' .

t ■ ff '

• y ^ = y — c C06ÛI,.