I.,a valeur de cette résultante est

elle agit 'horizontalement dans le plan qui a pour ordonnée

> ri'' y «y»

-Ij,

Eiifin, le volume V des matériaux de la demi-arche et de la partie du massif limitée horizontalement paé des plans verticaux menés par les génératrices du sommet et du point inférieur de l'extrados, s’obtiendra en observant que le poids «V de ce volume est égal il la composante verticale T, sina,; on aura donc

V = Xefi, sina,

expression dans laquelle sina, poui;ra être pris égal à i, lorsqu'il s'agira d'arches complètes. . > ■ • ' ,

A l'égard des piles, nous rappellerons q^ue, 1>^ extrados des deux arches voisines ne se coypent pas au-dessus des derniers plans de joint, ou si, en d'autres termes, ceux-ci conservent leur laideur, les assises horizontales des p'des, à leur partie supérieure, seront sôumises à des pressions verticales représentées par des hauteurs qui n'excéderont* pas p,; en sorte que, les piles étant supposées construites de matériaux aussi résistants que ceux de la vodte, il sufiira, pour qu’elles résistent au poids des voûtes et- du massif, que leur largeur ne soit pas inférieure à la somme

172 SUK LÉTABLlbSEMENT '

(ies projections horizontales des joints des naissances. L'excès de largeur à leur donner dépendra de l'action de causes étrangères, telles que celle «le l'eau dans lés graïules crues, etc. '

CALCIL DES CnonunsSEBS, ISCLISAKON DKS JUISTS, SWOSS 1>K r.OliHBI HE, KrAI.SSS(iRS. BTC.

•'l2. .Nous renverrons au n“ 29 pour 'ce «pii est relatif à l’objet niètnc des calculs; nous présenterons inuiiédiattnueiit l’expression du rayon de courbure de l’intrados lictiî réduite eu vertu «fe l’hypothèse i =: I . I.a formule (f"), en ayant égard à la valeur d«* Q' tirée de la deuxiènïe étjuation (3), se réduit à

f* co»«

Nous proliterons de la forme simple de celte expression; pour • obtenir une valeur de p' -f- - Ap* be'aucoup plus approchée que celle à laquelle se réduirait notre formule (t”) en y faisant i = i.

l^expression de-p' donne .

p'y*=Q’ — ^ e* cosa.

On aiira également en un autre point où la- normale fait l’angle a Aa avec la verticale, ' ' ■

(p' -t- Ap’)(/ ■+- A/) ^ e' cos(a-è Aa). ,

Cette équa^on et la précédente donnent par sonstraeliop (/ -4- A/) Ap' H- p'A/ = — j «J* [cos {a - 4 -, Aa) — cosaj

= -f- -e'.sin fat - Aa) sin-Aa;

DEà ARCHES UF, PONT de celle-ci, o» tire exactement

p'Ar'— — (f*Tiio |s>4-*Aal«in~Af

Ap’ \ ’

Si, maintenant,. on substitue k A y" sa valeur approchée . Ay' = ^p' -I- - Ap' j sin^a -t- - AaJ Ajx,

et que l'on remplace au numérateur 3sin-Aa par Aa, il viendra

Ap' = -

fi' 1

Ap')

| — if»

P -K -Ap'

Hi — A A *

sin^a -t- - Aaj Aa.

Faisant disparaître le dénominateur, et rangeant Ap"' avec les quantités connues, on en déduit

Ap* =-

sin^a -t- - Aa j Aa. •

On voit qu’en négligeant e* et Ap”', on ne' négligera dans Ap' que des termes du ttbisième ordre; les erreurs qui en résulteront se compenseront en partie, pui.sque les termes négligée sontde signe.s * contraires ("). De cette manière il vient simplement

lAp

— p'^Utt|C>H*Aa) Aa

• («-!>• - As lAa

{‘4 On éviterait l'erreur que nous négligeons, en prenant p' pour variable indépendante au beu de a, ^ taisant Ap* = — e V p dans ce eu, i cause de

174 SUR L ÉTABLISSEMÉNÎ

d’où, en ajoutant p’ aux deux membres et rMuisant,

-p'iiD ^U“*--Aaj ,

P -f- ; Ap = P -

• - p' sin

Cette valeur est très-approchée; «lie ne donne que 7 à 8 «11111mètrbs d’erreur sur des rayons de courbure de 60 mètres«env!ron , et dans l’hypothèse de A a = 2°.

-On peut obtenir cFautres expressions de même forme, et qui

diffèrent de la précédente en ce que les deux facteûrs 1 et - de p' au numérateur et au dénominateur, sonf remplacés respectivement par - et i , ou même par o et

Voici l’usage de cette formule : en partant des valeurs initiales de a, y' et x', qui sont respectivement zéro, h' et zéro, et faisant varier l’angle a d’une quantité Aa égal» à a° ou 3 ®, les accroissements correspondants de y’ et x’ se déduiront de la valeiu* de p*

et de celle de p' -t- ^ Ap", jointes aux deux suivantes: *

Ay" = ^p’ -I- - Ap'j sin j Aaj A«, A®' = f^p’ -4- ^ Ap'j cos^at -t- j Aaj Aa.

àconazn — a sin H — Aaj»in-Aa, l'équalion pr»^cé<lcnlc donnerait tréa-

approxinutivenient ^

à CO»« aw — •

Ap*

p -V y Ap

L*em|^oi de cette formule exigerait *ie recours aux T^les de sinus naturels; elle •erait facile à appliquer de a = o* i a = 9^*; mais, entre go* cl 180", on ne pourrait a'en servir qu*aulant que la constante - A p* aurait une valeur dïsoluc inférieure

au tniiiimtim de p*. Eàntn 180* et 860", il. faudrait üûr^ Ap* « -t- e \/

. Non-seidement la valeur de. p’ H- - Ap"sert A obtenir \y' et £kx’ , mais elle offre en même temps un précieux moyen de vérifier les calculs successifs de p'. et y'. En effet, ayant obtenu, au moyen de^p’ Ap’, k; différence Ay'; celle-ci ajoutée 4 y' fera connaître 1» nouvelle ordonnée y -(- Ay'-du point où la normale f»*t avec la verticale l’angle a-f- Aa î et, si l’on calcule à l’aide de cette -ordonnée la nouvelle valeur, du rayon de courbure, et que l’on fasse la demi-somme de cette valeiu' et de. celle ’de p' d’où l’on est parti,. on. obtiendra un résultat qui coïnciderait avec

p' -1- ^ Ap' si nos formules étaieifl rigoui'eusement exactes. Dans tous les cas^ on prendra la différence entre p' -f- ^ Ap' et la

moyenne dont nous venons de parler. Cette différence ou erreur, qui prendra un signe déterminé suivant le sens de la soustraction, devra être très-faible, et sensiblement nulle au sommet de l’intrados; mais, si l’on détermine de la sorte plusieurs erreurs consécutives, en faisant varier chaque fois l’angle a de la quantité constante Aa, il faudra que la ‘marche de ces erreurs présente unerégularité facile à reconnaître; autrement Oti serait averti de l’eaistdnee de f%ittes matérielles dans le calcul,

A faide des valeurs obtenues 3e a, y' et x', les équations et (g) permettront de calculer l’épaisseur variables et les coordonnées de l'intrados réel et de l’extrados. On pourra vérifier ces dernières quantités et l’abÿcissé x’, en prenant leurs différences successives. .

Nous observerons qu’il n’est pas nécessaire de conserver la même valeur de Aa dans toute k ^ite des calculs. S'il.s’agit, par exemple , d’une arche complète , où l’angle a atteint sensiblement go”, on pourra, à partir de 3o® ou environ, augmenter l’intervalle Aa de moitié, sans inconvénient, si l’intervalle primitif s’est trouvé être assez petit de o° à 3o°; on pourrait même, à partir de 6o°, doubler-k valeur primitive de Aa. Les trois séries de calculs devraient alors ‘être vérifiées sépüréihent. <-

- * SfSIPUriC\TION DI- TIl/kCF, DE L'l|ïTR.\lX>S EJCTIF Al MOVER PR SON RArOFr • ' “ » - . ^DE COURBURE.