ÇJl
d’où, en différentiant, ’
.ajoutant membre à membre cette équation et l’équation diflérentiellc précédente, il vient, pour l’expression transformée.
dz = d
Transfonnons le facterir — du deuxième terme du second
membre de (t), et pour cela repreoona la valeur primitive de Z', nous aurons
extrayons maintenant de la fraction qui formé' le second membre de cette équation, la partie entière qu’elle contient, la division donnera
Enfin, extrayons aussi la partie entière de la fraction qui
affecte le dernier terme de l'équation (f), nous aurons
et, par suite,
Au moyen de ces diverses valeurs, l’équation (f) deviendra
lu!:, d—
ou, en réunissant les termes de même forme,
17. Exprimons maintenant les facteurs qui contiemient z* en fonctions de nous aurons d’abord, en vertu de l’équation (p'),
N* 0* co**<3 -+- N* 8in*'2
.-+-z*=:i-+--tang*p = .
ou
te — (6* — Nq «io'p e'oo»*^ ’
Sl’B L’ÉTABLlSStMENT
on en déduit
tH-«* e*— N’
Posons
il viendra
i-fr-t* 1 — (c* -+-«!*)
Nous allons faire voir que c,’ est une quantité du deuxième ordre de petitesse. En effet, la relation précédente donne, en mettant pour c* sa vdeur { 9 '),
et il en résulte
-Hc,*,
les valeurs (f) de 0’, et (/’) de M’, ne dilfèrent que dans le.s termes du deuxième ordre, et la différence de ces termes se réduit à
si l'on a égard à la relation [b'), on en déduit
Or pour former la valeiu- de c,', en négligeant les termes du troisième ordre, on doit négliger, dans les facteurs M*, N* et 0 *, les termes du premier et du deuxième ordre, puisque le facteur que nous venons de calculer est du second; ces facteurs se réduisent dès lors à H‘, k"‘ et H’, et il vient simplement
La valeur de c,’ est donc effectivement du deuxième ordre, ainsi que nous venons de l’annoncer. Nous profiterons de cette circons^ lance pour éviter les fonctions elliptiques de troi-sième espèce. • Considérons, en effet, la fonction
nous aurons, en développant cette fonction suivant les puissances de c,*, au moyen du théorème de Taylor, et nous bornant au terme en C|',
I — (e*-+- e/) >in’Ç
I tin* P ^
I— -c*iinV (i — c* sin'ij)* *’
et la valeur ci-dessu.*i de — - — ,
pourra s’écrire
en faisant asage de la formule (/),
coé*0 tin’^ cos*^
on tire de là
coê*^ ^ co**^ ^ ^
puis, ail moyen de l’équation (p)»
X N iin^co«^ si&Vco«)9 A* ,
(on remplace ici, dans le terme du" deuxième ordre, le rapport ^ par ^ qui n’en diffère que de quantités du premier ordre, et ne donne lieu, par suite,. qu’à des erreurs du troisième).
En élevant au carré les deux membres de cette équation, il vient
lU SLR L’ÉTABLISSEMENT
équation dans laquelle ^ tient la place de ^ au dernier terme, par
les memes raisons que tout à l'heure.
Substituons maintenant les diverses valeurs que nous venons d’exprimer en fonctions de <p, dans l'équation (a') dont nous midtiplierons préalablement tous les termes par M, puis à la place de M sa valeur — tirée de (s'), et enfin i la place de c,*, sa valeur (w'); il viendra, en né^igeaint des termes d’ordree supérieurs au second.
Mdx' =
. lin^ oœP
Il devient indispensable de présenter ici le développement de chacim des. coefficients, que l’on effectuera sans peine au moyen des valeurs de 0*, ni* et n*:
I " coefficient = — 9’
coefficient = -t- 2 j^9* — z h’ e -+coefficient = -1- 2 — 4 A'e -|-
Le quatrième coefficient n'a point de changement à subir. Quant au dernier, observons qu’il suffit d’avoir égard au terme du premier ordre, dans la valeiu- du produit 4 ^, puisque ce dernier coefficient est lui-même du premier ordre. Or nous pouvons tirer
la valeur du rapport -, de l’expression obtenue ci-dessus de la dilTérence 0’ — M'; elle donne, en effet,
en substituant l'unité au rapport — dans le tenue du deuxième ordre; on en déduit
Cette quantité ne différant de l'unité que par un terme du deuxième ordre doit être réduite à l’unité dans l’expression du produit — , ce qui réduit ce produit à la valeur de N développée jusqu'aux termes du premier ordre inclusivement; or, la valeur (f) de N‘ peut s’écrire
et lors même que h’^ qui est toujours > e, serait très-petit, on aurait encore, aux termes près du deuxième ordre,
Le dernier coefficient a donc pour expression a!^A'e-t-a(^)*eV
^ Au moyen de ces valeurs des divers coefficients , l’équation différentielle ci-dessus devient
Mdr' = ~[9‘ — Ji-l-i-) e*]^
r h"e a / A . ^.\ 1 r N* âin*® oos*^
. /» — i\t 4'* MU*®
(—) iîf — i^]
Développons les produits indiqués dans le second membre, et négligeons les termes d’ordres supérieurs au deuxième, nous aurons
}Adx'
. □ 1^,. i A'e f i , J e'] îÇîd^
— iWA"*
dip
18. Commençons par effectuer la réduction des termes du deuxième ordre qui ont A’ en dénominateur. Ces termes peuvent s’écrire
sin*^ cot’^ fk^
sin*^ -H cos’pj dp,
et la dernière parenthèse de cette expression donne
k"' / fv .
— sin'ip -I- cos*^ = 1 — fl — — j sjn’^ :
or on peut substituer dans cette valeur, à la place de —, le rap- N* • . . . “
port — qui n’en diffère que de quantités du premier ordre, et,
par suite, ne peut produire que des erreurs du troisième; il
en résiilte que te facteur i — — pourra être remplacé par c’ d’après (f')>et que fou aura, en ayant égard à la relation [r')i
■ — sm*^ -f- cos*^ = A*,
valeur exacte aux ‘quantités près du premier ordre.
La somme des termes du deuxième ordre qui ont A’ en dénominateur se réduit ainsi à
Les termes qui ont A* en dénominateur dans la valeur de Mdx* peuvent se grouper ainsi qu'il suit :
2 1^9’ — r A'eJ sin’^ cos’^j
«’l «“•'P — cos*<pj dip
■ 6 co«’p / k"' , \ J
-f- JT «■ (a cos’ip — — sin'^j d<p.
(Dans les deux derniers termes, qui sont du deuxième ordre, on a remplacé le rapport ^ par — qui n'en diflère que de quantités du premier ordre.) Le premier de. ces termes va se réduire aisément ; en effet, on a, en ayant égard aux relations (»'), (r') et (le'),
^ sin'^ H- cos’9 = 1 sîn’^ = i — (c* -t- c,*) sin*^,
— sm*(p -h cos*(p = A* — 2 — - sin'<p;
en substituant cette valeur, le premier terme donne
[ > I» T co»'^ J , /i— i\« k’’ sia*f co*’^ . ,
^.-.ht\~^d<p — à(—)-c'—^d<p. (a)
Pour transformer le deuxième terme, écrivons la parenthèse sous
la forme
A'* . fh'^ , \ ,
— sin’ip — cos'ip = — [— sin’p-I-cos'pj ’ Ir
puisqu’il s’agit ici de termes du second ordre , on aura d’après ( y'),
— sin'^ — cos*^ = — A* -t- a — sin*^, et le deuxième terme donnera
i , -.1 . co>‘p J 8 , 1., . «inV «“'P /I»,
— 7; -H t; (> -H i') ÿ;e’ ^ dtp. (i )
Enfîn écrivons la parenthèse du troisième terme sous la forme
2 cos’^ — — sin'^ = a feos*^ H- — sin*(pj — 3 — sin'^,
on aura, de la même manière.
a cos’^ — — sin’^ z= 2 A’ — 3 — sin*^,
et le troisième terme deviendra
Sa . coi*^ 16 fc** . aio*® coi*ip .
-e' — dp-.j-e‘ — — d<?.
Le seul terme qui contienne A' en dénominateur dans l’équation [x') est
Observons que l’ensemble des termes (/], («'), (&'), {c) et (<Tj est l’équivalent de la somme "des ' cinq termes compris entre le premier et le dernier du second membre de [x]; il ne reste, pour former ^expression transformée de la valeiu- de Mdjr’, qu’à réunir
CCS icrmes aux termes extrêmes du second membre de (x'). Effectuant cette réunion, et ordonnant en même temps, il vient
M da:' = — [fl- i A'e -t- (a — i i-t- 1-) e«] ^
r . ’ l» * Ir.
/l — i\i «n‘9 coi»Ç J
18 bis. Nous allons nous trouver obligé de donner des formules de réduction applicables à l’équation qui précède. Proposons-nous d’abord de réduire l'exposant élevé qui entre au dénominateur du troisième terme de son second membre.
On arrivera par la différentiation, et en opérant convenablement les réductions, à la formule suivante :
