V-vf . r • IV i-rrf • IV • COft

Dun autre cote, si ion diUerentie 1 expression — - — et que l’on opère les réductions, on arrivera à la relation

, cosÿ

— L jArf(p — (i~c-) ^],

d’où l’on déduit inversement

■ÎD^

Substituant cette valeur de — dans l’expression düTérentielle cidessus, on aura

' . «°yc°»P .-c-, .iByco»p , td^

Or cette expression düTérentielle affectant dans l’équation («'} un terme du deuxième ordre, on peut y substituer à la place de c* sa valeur obtenue en négligeant ceux du premier et du deuxième , laquelle est, d’après les équations (g') et (f),

le* »’

on en tire .

c’ »j* II’

et, par suite.

Tv"’

Au moyen de ces diverses valeurs, le terme qui contient A* dans l’équation (e") se transformera en

Occupons-nous maintenant du factéur nous aurons

on peut écrire

* I — e*wn*^--

“Ti“ r 7« A*

on en déduit

puis, en ayant égard à l’équation (9’).

J* ‘ A . ,j«OPCOt^\

~ d^ = -[j — Sdp-+-c‘<l—^), et le deuxième terme du second membre de (e') devient

Réunissons les expressions {h’) et (i*) aux deux termes extrêmes du second membre de l’équation (e”), puis ordonnons; il viendra

-<-> lr-7*’'-<-î7-‘’ (^)'(‘-^r)‘i

.tlo^ CM0

) COtÇ

Avant d’écrire l’intégrale de cette expression, nous réduirons les coefficients de ses différents termes. Et d’abord considérons la quantité

qui fait partie des deux premiers coefBcients : substituons à c* sa

valeur

^ iK

qu'on obtient en -vertu de M* — N* = a K, la quantité ci-dessus deviendra

Soit, pour abréger,

la valeur {j’) de K pourra se mettre sous la forme

et la même quantité deviendra K.

en divisant haut et bas par K, , et substituant ensuite 9* & la place de K, , dans le terme du deuxième ordre ; mais si nous réduisons en série le facteur de M', la quantité dont il s’agit aura pour expression

effectuant le produit indiqué ici au moyen de la valeur [F) de M*, cette quantité deviendra

Réduisons les termes du deuxième ordre, ces termes deviendront successiven\,ent

il t . , H’ *'■ I

et l’on aura finalement

Cette valeur va nous servir à opérer la réduction des coefficients

de — et dans l’équation [f]\ en effet, pour former le premier, nous devons ajouter au second membre de (A*) les tenues

En ajoutant et réduisant, il vient .

r coeff. de — = h"' -)- 0' — 2 h’ e -J- e'.

Pour former le coefficient suivant, il faut ajouter au même membre les termes

et changer ensuite le signe du résultat : effectuant ces opérations,

on a

cocff. de A -4- 3 q' — 3 h' e '

On peut donner au coefficient de e* une autre forme en rempla-

çant H’ par sa valeur h"' -+- 3 q\ d’où résulte — z= a -{ ; on

trouve, en faisant cette substitution.

coeff. de Ad^ = —

En réunissant les termes en e' du coefficient du terme suivant, on aura

coeff. de d ^h’e+ ~ — i* — i — (i — i)*^ j e'j.

Au moyen de ces valeurs réduites des coefficients, l'équation (/’) devient finalement

Mdx’

. cos^