I CM

DES AnCHES DE PONT.

19. Maintenant l’intégration de l'équation dilTérentielle de l’intrados se trouve dépendre des fonctions elliptiques. En efifet, po.sons, comme le fait Legendre,

po.sons en même temps

i:=r'-4-v-îA'cH-^c>. 1

B = 3 o’ — a II’ e i — i* — 3 — a (i — iV— )e*, j

nous aui'ons, en intégrant ré<[uation (f), et supposant ar* nul en même temps que

M * i n/ n 17 / a>$<p ,, sin^ co*^ . ^

X =A,F(c,ip)-B.£(csip)+C— ' — -t-D — hG — -, — ,[o^

(*) Nous Icroris remarquer que les coefficients B et C, comparés aux exprès sions (f) et [f], donnent

B — M\ C— iK.

H est probable quen suivant dans l’intégration une marche plus directe, on aurait obtenu ces relations a priori. Cela eut été d’autant plus intéressant que nou^ ne pouvons offinuer leyr exactitude que jusque dans les termes du deuxième ordre inclusivement. (Au lieu de rcclierclier les moyens de réduire les développements analytiques dans cette partie du Mémoire, nous avons préféré consacrer le temps dont nous pouvions disposer, au calcul des Tables que l'on trouvera à ta fin de la deuxième partie.) *

Les équations précédentes simplifient la valeur de c' qui devient

et l’on peut écrire y B à la place de M, dans l’équation (o').

Telle est l’éqiiation de l’intrados qu'il s'agissait d'obtenir, et dans laquelle x’ se trouve implicitement affecté du double signe, en vertu de la relation (o'). Nous n'avons tenu compte que de l’un des deux signes en discutant les parties des deux branches de la courbe qui s’étendent vers les x positifs; la symétrie autour d’un axe (jui se <^onfond actuellement avec l’axe des y en vertu de la valeur nulle de la constante de l’intégration, nous a dispensé de nous occuper des deux signes à la fois. On voit mainteaant qu’on ayant égard au double signe de tang^, l’équation (o") re'présente la courbe dans toute son étendue.

On remarquera, ainsi que nous l’avons annoncé plus haut, (pie l'expression de x’ perd deux termes lorsqu’on suppose i = i ; en effet, cette hypothèse rend nuis les coefficients D et G, en même temps (pi’elle simplifie les valeurs des trois premiers.

Avant de faire usage de l'équation (o'] en l’applicpiant à la question des arches de pont, il convient d’indicpier un procédé rapide pour le calcul des fonctions F et F, et de vérifier Texactitude des coefficients (n').

CALCOL DES FOSCTIOSS F ET F..

20. On emploie deux procédés différents pour le calcul de ces fonctions, suivant que le module c est voisin de l’unité ou de zéro. 11 est facile de voir que , dans la question des arches de pont , ce module diffère peu de l’unité : en effet, c* ne diffère de i, en

vertu de l’équation (ç'), qiie de la quantité — ; or le carré /i*' de

l’ordonnée du sommet de l’intrados est en générai assez petit par rapport à a f ', à cause de la grandeur du produit e fji , , équation [s) ; c* diffère donc peu de l’unité.

Dans cette hypothèse, on calcule une échelle de modules c,‘, c,, c„. . ., c, par les formules suivantes;

» Vc|

DES ARCHES DE PONT. b"

ou calcule pareillemenl une série d’amplitudes Çi, , par les équations

sin (a^i — =c sin^p,

sin (a(p, — 9.) =

sin (a<^, — (p,) = c, sin<p,,

sin (a(p„ — <P*-i)=

et l'ou s'arrête, dans le calcul des modiües, au module c, qui devient égal A l’imité, du moins, au degré d’approximation que l'on veut obtenir; on poursuit le calcul des amplitudes jusqu’à celle ip, qui correspond à c, = 1 , d’où résulte l’égalité de toutes les amplitudes suivantes. On a ensuite, entre les fonctions />’ des module.^ et amplitudes de mômes indices, les relations

F(c„ (p.) = logtang(45“-i-^P.). f)

(') Le logarithme qui figure ici est un logarilbme népérien ou hyperbolique.

SLR L’ÉTABLISSEMENT On en déduirait, en multipliant ces équations membre à membre.

mais le calcul de la fonction E exige , lorsque c diffère peu de l'unité, que l’on fasse usage des fonctions F intermédiaires.

Au moyen des modules, amplitudes et fonctions F précédemment calculées, les formules suivantes serviront au calcul de la fonction E :

F(c„^.,^„,)=(i+c,k-i)F(c. ,^„) -t-( i-c,..., )F(c, ,<?„) -c,K-. si'»'?.-.

E (cj,— ,, — *) — ( * *) E ( I Cm i) F^Cb i, ^r— i) » sin^R — i.

F(c, ,ip,) =j I -4- c.) F{c, . ip,) -I- ( i — c.) F(c, , p,) — c, sinp, , F(c, ,0,) = (i -t-c,)F(c„p,)4-(i— c,)F(c..p.) — c.sinp,, F(c, P )=:;(i4-c )F(c.,p,)-(-(i— c )F(c,,p,)-c sinp.

I.es fonnules qui précèdent peuvent paraître longues calculer; pourtant il n’en est rien, dans le cas qui nous occupe : en général, il suflira de calculer un seul module et ime seule amplitude, ce qui réduira le calcul de F et de E à l’emploi de la première et de la dernière formule de chaque série.

On poiu-rait profiter de la petite différence que nous admettons entre c et l’unité pour réduire les intégrales (m’) en .séries ordonnées suivant les puissances de (i — c’); nous préférons nous en tenir aux formules que nous venons de reproduire, attendu qu’elles sont encore facilement applicaliles au calcul des fonctions F et E lorsque c diffère beaucoup plus de l’unité que nous ne l’avons supposé.

VKIlIFICATIOtl DE L'EIACTITEDE DES COEFFICIEATS (n*).

21. Nous ne prétendons pas donner ici la vérification générale de CCS coefficients, ce qui conduirait à des calculs fort pénibles; mais seulement les vérifier dans quelques <;as particuliers. Nous allons diflérentier l’équation (o"), et pour cela, considérons la fonction

ftin^ eoé0

nous aurons, en diflerentiant.

. sin^ cniÇ

dip

. c'»in*^oos*3 ,

k — — — dip.

et, en faisant successivement dans cette formule k = i, k = a et A' = 3, nous obtiendrons .les différentielles des parties variables des derniers termes du second membre de (o*). Quant à celles des premiers termes, elles résulteront de la suppression du signe / dans les équations (m'). Nous aurons ainsi

Mda;'= A ^ + C d?

Or nous avons, équation («'),

1 4^ dy

et, d'après l’équation (a),

I ds^

en faisant abstraction du double signe; on en tire

m SLIR L'ÉTABLISSEMENT

égalant le üecond membre de cette équation à la valeur de M A ^

tirée de l’expression de Mdx", il vient

7'+(A'— e)'— y* = A— BA’-t-C ^cos*<p — sin'^ +c'

• /cu**^— sin*® «in*® cos*®\ ^ /co«*®— siü*® «in*® co«*®\ i

+ ü(— - + ar-— )+G(— ^ +

(]elte relation entre y“ et ^ étant générale, doit pouvoir être aisément vérifiée dans certains cas particuliers.

Soit, en premier lieu, y" = h" ordonnée du sommet de l’intrado.s, l'équation (o') donne tang(^ = o, d’où sin*^= o, co.s*^ = i , et A ~ I . Ces valeurs étant substituées dans l’équation (p°), il en résulte la relation suivante entre les coefficients.

q' — aA'<-f-e* = A — B -h C -f- D -|- G. [q‘)

Soit, en second lieu , y' = — (h' -|- a — ordonnée du point de la branche supérieure le plus voisin de l’axe des x, l’équation (o') donnera pareillement tang^ = o, et l’on aura comme tout à l’heure sin’^ = o, cos’^ = i ; mais le point dont il s’agit appartenant à la bratiche supérieure, nous devrons, d’après ce qui a été dit au n" 1 5 , donner à A le signe — », d’où résultera A = — i . .Substituant ces valeurs dans l’équation {p'), il viendra

Soustrayons membre k membre cette équation de la précédente , nous aurons d’abord

-h er = tiD,

puis, en divisant par a et M'ansposant,

Or cette valeur de D est précisément celle qui fait partie des éqmtions (n'); il est donc seulement nécessaire de vérifier la relation (q") pour que les deux équations (q’) et (r") se trouvent à la fois vérifiées.

Il suffit de jeter un coup d’œil sur les équations (n’) pour voir que la somme des termes de l’ordre de q' contenus dans les seconds membres, en y changeant le signe de B, se réduit eSectivement à q', ainsi que l’exige la relation (f*). La somme des coefficients des termes du premier ordre qui ont tous h’e pour facteur est — 2 -H 2 — T -I- 2 somme nui se réduit évidem-